基于比较的初中数学素养考查研究
缪琳++苏圣奎
摘 要：数学素养，通过国际学生评估项目（PISA）测试的影响已经越来越受到人们的重视.通过比较近四年上海数学中考数学试卷结构要素，探索作为国内教育改革标杆的上海，是如何通过中考数学试卷的导向作用，培养学生的数学素养.结果表明：立足四基，培养学生的数学知识素养、数学思想方法素养，发挥中考评价对数学教学的正导向作用；突出能力、注重思想、关注应用，重视对学生数学核心素养的培养，从而激发教学活力，体现教学价值，引领教学方向.
关键词：数学素养；中考数学；试卷结构
从2009年上海首次参加PISA测试夺冠，到2012年再次蝉联冠军，上海基础教育让国人震惊，也让世界震撼！国内外的学者、专家纷纷关注上海基础教育，国人对数学素养的关注也逐渐升温. PISA测试除了给上海的评价改革带来启示，同时也是在国际教育平台上肯定了上海自1998年开展二期课改以来所取得的成绩.因此关注上海PISA2012测试再次夺冠的同时，我们也需要了解上海基础数学教育改革在落实、评价、发展“数学素养”方面有哪些值得借鉴学习的.中考作为义务教育阶段的终结性考试，承担着评价和选拔功能.因此研究作为教学“指挥棒”的中考数学试卷，对我们了解、借鉴上海基础数学教育关于数学素养培养情况有着积极的意义.
2004版《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》（简称《上海课标》）中强调“构建所有学生必须的共同基础，加强数学的应用和实践”[1].正是基于课程标准的明确要求，上海中考试卷自2008年起无论在基本理念、知识结构、内容安排，还是实施操作上都稳中求变.本文以近四年的上海中考数学试卷为载体，通过对试卷结构特点做具体剖析，阐述上海中考数学试卷特点，探讨中考数学试卷结构要素，进而了解上海数学中考，了解其培养学生数学素养的关键所在.
上海自2004年《上海市普通中小学课程方案》发布之后，中考数学试卷一直以《上海课标》和《上海市初中毕业统一学业考试评价指南》（以下简称《评价指南》，2016年前为《考试手册》）为命题依据.下面结合《评价指南》，根据孔凡哲、马云鵬对试卷结构的分类标准[2]，对2013年至2016年上海中考数学试卷结构进行分析比较.
1 试卷显性结构分析
2016年的《评价指南》对试卷结构的要求是“整卷含选择题、填空题和解答题三种基本题型，选择题6题，共24分；填空题12题，共48分；解答题7题，共78分.”考试总分150分.对近四年试卷试题结构进一步分析，如表1、表2、表3、表4所示.
表2 选择题（题号）
表3 填空题（题号）
表4 解答题（题号）
上述表格信息显示：选择题共6题，“图形与几何”考查2题，其余模块考查各1题.填空题共12题，“数与运算”考查0-1题，“方程与代数”考查3-5题，“函数与分析”考查2题，“数据整理与概率统计”考查2题，“图形与几何”考查3-5题.解答题7题：第19题的考查基本涉及“数与运算”及“代数与方程”，第20题考查“代数与方程”，“函数与分析”的考查基本放置在第21题（仅2016年放置在第22题）；“图形与几何”的考查基本放置在第22题、第23题（仅2016年放置在第21、23题）；第24题考查函数综合；第25题考查几何综合.上述数据分析可知，近四年中考试卷试题结构基本一致.
2 试卷隐性结构分析
下面从知识结构、认知结构、难度结构等指标分析近四年试卷的“隐性结构”特征[2].
2.1 “知识结构”特点分析
《评价指南》中要求“整卷试卷各知识内容的分值比例大致如下：“图形与几何”部分占40%，“数与运算”部分占5%，“方程与代数”部分占28%，“函数与分析”部分占19%，“数据整理与概率统计”部分占8%.”如表5、图1所示.
表5 近四年上海中考数学试卷“知识内容”结构特点（全卷满分150分）
上述图表的信息表明，近四年中考试卷考查的知识内容：“数与运算”的考查分值在4—12分之间（占比在2.7%-8%之间），平均为8分，是五个知识主题内容中考查比例最小的；“方程与代数”的考查分值在36—40之间（占比在24%-26.7%之间），平均37分，基本维持稳定均衡的状态，难度小，是学生得分的重点；“函数与分析”的考查分值在27—32分之间（占比在18%-21.3%之间），平均29.5分，值得关注；“数据整理与概率统计”保持12分（占比8%）的考查力度，也是学生容易拿分的知识领域；“图形与几何”的考查分值在58—71分之间（占比在38.7%-47.3%之间），平均65.5分，是五个知识领域中分值占比最高的，兼具基础性和选拔性.
2.2 “认知水平”特点分析
《上海课标》及《考试指南》中把认知水平的划分为以下三个层级：记忆水平、解释性理解水平、探究性理解水平.如表6、图2所示.
表6 近四年上海中考数学试卷“认知水平”结构特点
上述图表的信息显示，近四年中考试卷考查的知识内容来看：最关注层级2“解释性理解水平”的考查，其考查分值在58分—68分之间；其次是层级3“探究性理解水平”的考查，其考查分值在41分—50分之间；最后是层级1“记忆水平”的考查，其考查分值在41分—42分之间.层级1“记忆水平”对“图形与几何”在考查较少，主要集中在“方程与代数”，其次是“数与运算”、“函数与分析”、“数据整理与概率统计”.层级2“解释性理解水平”的考查主要集中在“方程与代数”、“图形与几何”、“函数与分析”等知识内容模块.层级3“探究水平”则主要考查“图形与几何”，其他知识内容模块很少涉及.通过上述数据分析，近年中考试卷在“数与运算”、“方程与代数”、“函数与分析”、“数据整理与概率统计”模块上主要考查基础知识、基本技能，在“图形与几何”模块不仅关注对知识本质的理解，更关注在不同的情境中进行有效思考、把握本质联系.
2.3 難度结构特点分析
《评价指南》中对试卷难度结构的要求：“基础知识和基本技能部分占全卷总分的50%左右……试题的难中易比例控制为1：1：8，考试时间100分钟”.
表7 近四年上海中考数学试卷难度结构特点
表7的信息显示，近四年中考试卷整体变化不大，试卷难度略有起伏，稳中有变.从均分估算难度值来看，近四年均稳定在0.8左右，其中2016年为0.89，难度值高于预期，2015年为0.79，略低于预期.
3 试卷特点评析
从四年试卷的分析中，我们可以看出试卷的整体发展是以培养学生的数学素养为根本目的，通过多维度的考查，了解教育教学上学生在各个素养上的发展情况.
3.1 立足四基，发挥导向作用
分析比较近四年试卷的试卷结构、知识模块、考点、难易度不难发现这四套试卷在试卷结构、知识内容、难度设计等各方面保持基本稳定.试卷注重通性通法、淡化特殊技巧.解答题设置多个小问题，层次分明，难度适中，兼顾区分，体现了对数学知识价值反映和解决简单问题能力的要求.整卷特点可以概括为“突出四基，关注应用、适度区分”.试卷对初中数学的数与运算、方程与代数、函数与分析、数据整理与概率统计、图形与几何等五大知识内容领域保持适当的考查比例，较好地体现了中考数学的定位以及对知识与技能目标考查的有效性.在全面考察四基的同时，引导教学上培养学生的数学知识素养、数学思想方法素养，有利于促进数学课程目标的实现，减轻学生过于繁重的学习负担，发挥中考评价对数学教学的正确导向作用，有效主导了义务教育阶段的教学目标.
3.2 突出能力，激发教学活力
数学能力是数学素养的重要组成部分，试题突出对应用意识、创新意识、运算能力、推理能力、抽象概括能力、空间观念、统计观念等重点基本数学能力的考查，关注对学生数学运算、数学抽象、数学建模、数据分析、直观想象及逻辑推理数学核心素养的培养，发挥中考的选拔功能，落实课程标准理念，做到以考促教、促学，激发数学教学的活力.
3.3 关注应用，引领教学方向
任何素养的产生离不开知识，数学素养只有在数学学习的过程中生成，是个体对数学的体验、感悟与反思[3].试卷适度体现了对数学三种语言：文字、符号、图形的互译基本考查要求要求，使得数学素养考查得以外显.在应用性问题的考查上，试题选择上关注试题材料背景的适切性和多样性.如以“前往迪士尼乐园的出行方式统计”、“航拍无人机”、“物流公司机器人搬运”、“高架桥隔音板设置”等社会热点或民生问题为素材设计了相应的试题.让学生体会到数学来源于生活，又应用于生活，适度体现数学建模素养，彰显数学知识的应用价值，引领数学教学方向.
3.4 注重思想，体现教学价值
“用数学的思维或眼光审视现实世界，选取数学的思想方法来分析主体面临的实际问题，积极应用相关数学知识与技能来解决问题，并以数学精神来审视问题解决的结果是否适合现实问题情境.[3]”这就是生活数学化，也是在数学教与学的过程中需要培养的数学素养.史宁中认为，数学基本思想“是数学发展所依赖、所依靠的思想”[4].数学思想体现了对数学学科的基本理解与把握，是实现数学核心素养的方法与能力.[5]近年来上海数学中考试题对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般等重要数学思想进行了内敛、平和的考查.试卷的设计由易到难，以基本题为主，考生入手容易，能以平静心态进入考试状态，有利于各个层次的学生考出自己的水平的同时引导学校教学关注学生的知识素养、思想方法素养的培养.可以说试题在为考生提供广阔的思维空间的同时，尽显了数学思想的和谐、自然、普适的潜力，很好地体现了数学学科的教学价值.
参考文献：
[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.
[2]马云鹏，孔凡哲，张春莉.数学教育测量与评价[M].北京：北京师范大学出版社，2009：120-122.
[3]康世刚. 数学素养生成的教学研究[D].重庆：西南大学，2009：45 -63.
[4]史宁中.数学思想概论（第1辑）：数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.
[5]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程.教材.教法，2015（9）：36-39.
摘 要：数学素养，通过国际学生评估项目（PISA）测试的影响已经越来越受到人们的重视.通过比较近四年上海数学中考数学试卷结构要素，探索作为国内教育改革标杆的上海，是如何通过中考数学试卷的导向作用，培养学生的数学素养.结果表明：立足四基，培养学生的数学知识素养、数学思想方法素养，发挥中考评价对数学教学的正导向作用；突出能力、注重思想、关注应用，重视对学生数学核心素养的培养，从而激发教学活力，体现教学价值，引领教学方向.
关键词：数学素养；中考数学；试卷结构
从2009年上海首次参加PISA测试夺冠，到2012年再次蝉联冠军，上海基础教育让国人震惊，也让世界震撼！国内外的学者、专家纷纷关注上海基础教育，国人对数学素养的关注也逐渐升温. PISA测试除了给上海的评价改革带来启示，同时也是在国际教育平台上肯定了上海自1998年开展二期课改以来所取得的成绩.因此关注上海PISA2012测试再次夺冠的同时，我们也需要了解上海基础数学教育改革在落实、评价、发展“数学素养”方面有哪些值得借鉴学习的.中考作为义务教育阶段的终结性考试，承担着评价和选拔功能.因此研究作为教学“指挥棒”的中考数学试卷，对我们了解、借鉴上海基础数学教育关于数学素养培养情况有着积极的意义.
2004版《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》（简称《上海课标》）中强调“构建所有学生必须的共同基础，加强数学的应用和实践”[1].正是基于课程标准的明确要求，上海中考试卷自2008年起无论在基本理念、知识结构、内容安排，还是实施操作上都稳中求变.本文以近四年的上海中考数学试卷为载体，通过对试卷结构特点做具体剖析，阐述上海中考数学试卷特点，探讨中考数学试卷结构要素，进而了解上海数学中考，了解其培养学生数学素养的关键所在.
上海自2004年《上海市普通中小学课程方案》发布之后，中考数学试卷一直以《上海课标》和《上海市初中毕业统一学业考试评价指南》（以下简称《评价指南》，2016年前为《考试手册》）为命题依据.下面结合《评价指南》，根据孔凡哲、马云鵬对试卷结构的分类标准[2]，对2013年至2016年上海中考数学试卷结构进行分析比较.
1 试卷显性结构分析
2016年的《评价指南》对试卷结构的要求是“整卷含选择题、填空题和解答题三种基本题型，选择题6题，共24分；填空题12题，共48分；解答题7题，共78分.”考试总分150分.对近四年试卷试题结构进一步分析，如表1、表2、表3、表4所示.
表2 选择题（题号）
表3 填空题（题号）
表4 解答题（题号）
上述表格信息显示：选择题共6题，“图形与几何”考查2题，其余模块考查各1题.填空题共12题，“数与运算”考查0-1题，“方程与代数”考查3-5题，“函数与分析”考查2题，“数据整理与概率统计”考查2题，“图形与几何”考查3-5题.解答题7题：第19题的考查基本涉及“数与运算”及“代数与方程”，第20题考查“代数与方程”，“函数与分析”的考查基本放置在第21题（仅2016年放置在第22题）；“图形与几何”的考查基本放置在第22题、第23题（仅2016年放置在第21、23题）；第24题考查函数综合；第25题考查几何综合.上述数据分析可知，近四年中考试卷试题结构基本一致.
2 试卷隐性结构分析
下面从知识结构、认知结构、难度结构等指标分析近四年试卷的“隐性结构”特征[2].
2.1 “知识结构”特点分析
《评价指南》中要求“整卷试卷各知识内容的分值比例大致如下：“图形与几何”部分占40%，“数与运算”部分占5%，“方程与代数”部分占28%，“函数与分析”部分占19%，“数据整理与概率统计”部分占8%.”如表5、图1所示.
表5 近四年上海中考数学试卷“知识内容”结构特点（全卷满分150分）
上述图表的信息表明，近四年中考试卷考查的知识内容：“数与运算”的考查分值在4—12分之间（占比在2.7%-8%之间），平均为8分，是五个知识主题内容中考查比例最小的；“方程与代数”的考查分值在36—40之间（占比在24%-26.7%之间），平均37分，基本维持稳定均衡的状态，难度小，是学生得分的重点；“函数与分析”的考查分值在27—32分之间（占比在18%-21.3%之间），平均29.5分，值得关注；“数据整理与概率统计”保持12分（占比8%）的考查力度，也是学生容易拿分的知识领域；“图形与几何”的考查分值在58—71分之间（占比在38.7%-47.3%之间），平均65.5分，是五个知识领域中分值占比最高的，兼具基础性和选拔性.
2.2 “认知水平”特点分析
《上海课标》及《考试指南》中把认知水平的划分为以下三个层级：记忆水平、解释性理解水平、探究性理解水平.如表6、图2所示.
表6 近四年上海中考数学试卷“认知水平”结构特点
上述图表的信息显示，近四年中考试卷考查的知识内容来看：最关注层级2“解释性理解水平”的考查，其考查分值在58分—68分之间；其次是层级3“探究性理解水平”的考查，其考查分值在41分—50分之间；最后是层级1“记忆水平”的考查，其考查分值在41分—42分之间.层级1“记忆水平”对“图形与几何”在考查较少，主要集中在“方程与代数”，其次是“数与运算”、“函数与分析”、“数据整理与概率统计”.层级2“解释性理解水平”的考查主要集中在“方程与代数”、“图形与几何”、“函数与分析”等知识内容模块.层级3“探究水平”则主要考查“图形与几何”，其他知识内容模块很少涉及.通过上述数据分析，近年中考试卷在“数与运算”、“方程与代数”、“函数与分析”、“数据整理与概率统计”模块上主要考查基础知识、基本技能，在“图形与几何”模块不仅关注对知识本质的理解，更关注在不同的情境中进行有效思考、把握本质联系.
2.3 難度结构特点分析
《评价指南》中对试卷难度结构的要求：“基础知识和基本技能部分占全卷总分的50%左右……试题的难中易比例控制为1：1：8，考试时间100分钟”.
表7 近四年上海中考数学试卷难度结构特点
表7的信息显示，近四年中考试卷整体变化不大，试卷难度略有起伏，稳中有变.从均分估算难度值来看，近四年均稳定在0.8左右，其中2016年为0.89，难度值高于预期，2015年为0.79，略低于预期.
3 试卷特点评析
从四年试卷的分析中，我们可以看出试卷的整体发展是以培养学生的数学素养为根本目的，通过多维度的考查，了解教育教学上学生在各个素养上的发展情况.
3.1 立足四基，发挥导向作用
分析比较近四年试卷的试卷结构、知识模块、考点、难易度不难发现这四套试卷在试卷结构、知识内容、难度设计等各方面保持基本稳定.试卷注重通性通法、淡化特殊技巧.解答题设置多个小问题，层次分明，难度适中，兼顾区分，体现了对数学知识价值反映和解决简单问题能力的要求.整卷特点可以概括为“突出四基，关注应用、适度区分”.试卷对初中数学的数与运算、方程与代数、函数与分析、数据整理与概率统计、图形与几何等五大知识内容领域保持适当的考查比例，较好地体现了中考数学的定位以及对知识与技能目标考查的有效性.在全面考察四基的同时，引导教学上培养学生的数学知识素养、数学思想方法素养，有利于促进数学课程目标的实现，减轻学生过于繁重的学习负担，发挥中考评价对数学教学的正确导向作用，有效主导了义务教育阶段的教学目标.
3.2 突出能力，激发教学活力
数学能力是数学素养的重要组成部分，试题突出对应用意识、创新意识、运算能力、推理能力、抽象概括能力、空间观念、统计观念等重点基本数学能力的考查，关注对学生数学运算、数学抽象、数学建模、数据分析、直观想象及逻辑推理数学核心素养的培养，发挥中考的选拔功能，落实课程标准理念，做到以考促教、促学，激发数学教学的活力.
3.3 关注应用，引领教学方向
任何素养的产生离不开知识，数学素养只有在数学学习的过程中生成，是个体对数学的体验、感悟与反思[3].试卷适度体现了对数学三种语言：文字、符号、图形的互译基本考查要求要求，使得数学素养考查得以外显.在应用性问题的考查上，试题选择上关注试题材料背景的适切性和多样性.如以“前往迪士尼乐园的出行方式统计”、“航拍无人机”、“物流公司机器人搬运”、“高架桥隔音板设置”等社会热点或民生问题为素材设计了相应的试题.让学生体会到数学来源于生活，又应用于生活，适度体现数学建模素养，彰显数学知识的应用价值，引领数学教学方向.
3.4 注重思想，体现教学价值
“用数学的思维或眼光审视现实世界，选取数学的思想方法来分析主体面临的实际问题，积极应用相关数学知识与技能来解决问题，并以数学精神来审视问题解决的结果是否适合现实问题情境.[3]”这就是生活数学化，也是在数学教与学的过程中需要培养的数学素养.史宁中认为，数学基本思想“是数学发展所依赖、所依靠的思想”[4].数学思想体现了对数学学科的基本理解与把握，是实现数学核心素养的方法与能力.[5]近年来上海数学中考试题对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般等重要数学思想进行了内敛、平和的考查.试卷的设计由易到难，以基本题为主，考生入手容易，能以平静心态进入考试状态，有利于各个层次的学生考出自己的水平的同时引导学校教学关注学生的知识素养、思想方法素养的培养.可以说试题在为考生提供广阔的思维空间的同时，尽显了数学思想的和谐、自然、普适的潜力，很好地体现了数学学科的教学价值.
参考文献：
[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.
[2]马云鹏，孔凡哲，张春莉.数学教育测量与评价[M].北京：北京师范大学出版社，2009：120-122.
[3]康世刚. 数学素养生成的教学研究[D].重庆：西南大学，2009：45 -63.
[4]史宁中.数学思想概论（第1辑）：数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.
[5]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程.教材.教法，2015（9）：36-39.
