一题两翼，“形”“理”兼得
陈纪韦华 陈秀娟
纵观近几何压轴题一般出现在数学试卷的最后一两题，分值大，综合性强.考查几何模块的核心知识：图形的性质与图形的变化，其结论证明或几何量计算重视考查学生的学科核心素养，具有很好的选拔性.纵观近几年各地市的几何压轴题，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力、运算能力为核心展开，命题趋势上大致形成两类：一是通过算证“确定性图形”，考查学生推理发现单一图形的性质;二是通过观察探究图形的“几何变换”，计算（证明）多个图形运动过程中变与不变的关系.这也与《课标》第三学段中图形与几何的内容相吻合，体现了中考命题的一致性原则.下面以2019年莆田市九年级中考质检数学卷第24题为例，探讨对几何压轴题中的“几何变换”与“解确定性图形”的思考，从战略的层面加深对试题的把握.
1 试题呈现
如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°<α<90°），连接BD交CE于点F图1 图2
（1）如图2，当α=45°时，求证：CF=EF;
（2）在旋转过程中，
①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论;
②连接CD，当△CDF为等腰直角三角形时，求tanα2的值
本题以常见的等腰直角三角形绕点旋转为载体，第1题从一般到特殊，当旋转角为45°时，探究CF与EF的数量关系，难度小，入口宽;第2题在第1题基础上，第①题利用角与角的转化，三角形的性质等，让学生经历观察、操作、试验，探究等腰Rt△ABC在旋转过程中的不变量，动中窥静，体现了从特殊到一般，有一定的区分度;第②小题当△CDF形状确定时，通过问题设计，让学生推理计算几何量，体现了从一般回归特殊的命题设计思路，问题的解决需要学生体会“解三角形”的思想，这在某种程度上与高中的“解三角形”相衔接.三小题层层推进，题与题之间和谐共生，考查效度高.从知识维度看，考查了等腰三角形的性质和判定、直角三角形斜边中点的性质、全等三角形（相似三角形）的性质和判定，三角函数等几何核心知识;从思想方法维度看，考查了特殊与一般思想、化归与转化思想、分类与整合等;从能力维度看，分层次分水平考查了运算能力、推理能力、创新意识、空间观念等，在解答过程中注重引导学生获取信息，对图形不断提炼，重新加工，通过深入思考、分析，從而有效培养直观想象、数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养.
2 解法简析
对于第1题笔者不做分析;
（1）对于第2题第①题，研究Rt△ABC在旋转过程中的不变量，EF=CF且∠CFD=45°.有如下解法：
思路1 立足于证中点的畅想，可通过作平行构造中心对称三角形来证中点
解法1：如图3，过点E作EG∥CB交BF延长线于点G.依题∠ADB=∠ABD，故∠EDG=∠CBF，又EG∥CB，则∠G=∠CBF=∠EDG，故EG=ED，EG=BC，因此△FEG≌△FCB，得EF=CF
解法2：如图4，分别过点A，C，E，作AP⊥BF于点P，CN⊥BF于点N，EM⊥BF交BF延长线于点M.证△EMD≌△DPA，得EM=PD，证△APB≌BNC，得CN=BP，又等腰△ABD中，AP⊥BD，得PD=PB，故EM=CN，故△EMF≌△CNF，因此EF=CF图3 图4 图5
思路2 利用分割点或端点构造位似三角形证中点
解法3：如图5，过点C作CP∥DF交ED延长线于点P，EP交BC于点Q.∠EDF=∠DBC，得∠BDQ=∠DBQ，则DQ=BQ，又CP∥BD，得∠QCP=∠QBD，∠QPC=∠QDB，则∠QCP=∠QPC，可得CQ=PQ，故PD=BC=DE，因此EFCF=EDDP=1，即EF=CF
思路3：进一步分析图形旋转过程，有AEAD=ACAB=2，∠EAC=∠DAB，则△AEC∽△ADB，可得∠ACE=∠ABD，则有∠CFB=∠CAB=45°.可利用45°角构造等腰直角三角形，结合用全等三角形证线段相等来解决问题
解法4：如图6，过点D作DG⊥BF交CE于点G，连接AF.可得Rt△DFG为等腰三角形，故DF=DG，则△GED≌△FAD，可得∠AFD=∠EGD=45°，故AF⊥CE，则EF=CF图6 图7
解法5：如图7，过点B作BG⊥BF交FC延长线于点G，连接AF.可得Rt△FBG为等腰三角形，故BF=BG，故△ABF≌△CBG，可得∠AFB=∠G=45°，故AF⊥CE，则EF=CF
解法6：如图8，过点E作EG⊥CE交DF延长线于点G.可得Rt△EGF为等腰三角形，故∠G=∠CFB=45°，又DE=BC，故△GED≌FCB，可得EG=CF，又EG=EF，因此EF=CF
解法7：如图9，过点C作CG⊥CF交BF于点G.可得Rt△CFG为等腰三角形，故∠EFD=∠CGB，△EFD≌△CGB，可得EF=CG，又CG=CF，因此EF=CF图8 图9 图10
思路4 利用“三线合一”来证明EF=CF
解法8：如图10，∠BFC=∠EAD=45°，故点E，F，D，A四点共圆，则∠EFA=∠EDA=90°，又EA=AC，故EF=FC
（2）对于第2题第②题，过点A作AP⊥BD于点P.又AB=AD，故∠PAB=12∠DAB=α2，则∠CBF=α2
用“确定性三角形”的思路审视，即需要研究三角形是否确定？如何确定？三角形中的角边中哪些元素是确定的？根据这些条件如何求出来其他的元素？也即是说三角形是确定的，必是可解的，可求的.因此，依题△CDF为等腰直角三角形，故CF与DF的比值确定.又CE=2BD，CF=12CE，故CF=22BD，因此CF与BF的比值固定.即在△CFB中，∠CFB=45°，CF与BF的比值固定，因此△CFB可解，即tan∠CBF可求
第1种情况，当∠CDF=90°时，如图11，△CDF为等腰直角三角形，则CF=2DF，又CF=22BD，则DF=12BD，故CD=12BD，可得tanα2=tan∠CBD=CDBD=12;图11 图12
第2种情况，当∠FCD=90°时，如图12，△CDF为等腰直角三角形，则CF=22DF，过点C作CG⊥DF于点G.又CF=22BD，故DF=BD，CG=12DF，故CG=13BG，可得tanα2=tan∠CBG=CGBG=13综上，tanα2=12或13.
3 试题推广
（1）几何变换既是学习的对象，也是认识图形的思想与方法.几何变换是“让图形在头脑中动起来”，来认识图形变化的内在联系和本质，是培养学生看到了什么，思考到了什么，想象到了什么？通过思考想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这也是合情推理，也为演绎证明奠定了基础.讲清几何变换思想，能更大限度地培养学生的直观想象和逻辑推理素养.对于上述试题的第①题，探究由等腰Rt△ABC绕点A旋转中的不变量，这让笔者进一步联想到，能否对等腰Rt△ABC进一步一般化推广
思考1 将等腰Rt△ABC一般化为直角三角形时，有何结论？
如图13，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，连接BD交CE于点F.则∠CFB=∠CAB且EF=CF图13 图14
思考2 将等腰Rt△ABC一般化为一对相似的直角三角形，有何结论？
如图14，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，Rt△ABC∽Rt△ADE，将Rt△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD交CE于点F.则有EFCF=tan∠ACEtan∠AEC=tan∠ABDtan∠ADB
思考3 将等腰Rt△ABC弱化为等边长的直角三角形，又有何结论？
如图15，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=90°，∠ADE=90°，AD=AB，将Rt△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD交CE于点F.则有EFCF=DEBC图15 图16
思考4 将等腰Rt△ABC弱化为更一般的三角形，结论又如何？
如图16，在△ABC和△ADE中，AB=AD，DE=BC，∠EDA+∠ABC=180°，將△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD并延长交CE于点F.则有EF=CF.图17
思考5 限制的条件越少，则研究几何的性质越本质.对于试题，可转化为核心问题“BC=DE，∠EDF=∠CBF，求证EF=CF”.这是一个典型的几何模型，可调整位置，抽象图形，如图17.因此，试题的命制技术上往往找准起点，把握特征，不断地将显性关系转化为隐性关系，构造不同载体的问题
（2）确定性思想是一种数学分析问题的方式，在解决问题时，战略上先思考问题是否“确定”，若这个问题的基本量都知道（或通过转化可得该问题的基本量），那这个问题就确定了，理论上这个问题可解，尽管可能求解时有一定的难度.后续往往不急于算解，而是在明确了做什么后，思考怎么做，做做看.例如，一个三角形的基本量确定了，该三角形的形状、大小（面积、周长、中线、高、角平分线、内切圆、外接圆等）都确定，在此基础上，解三角形——已知三角形的几个元素求其他的元素，方法为作高构造直角三角形（利用勾股定理、三角函数等），能更深刻地认识三角形的图形性质
思考6 分析后发现△CFB基本量确定，是可解的，可通过赋自变量，建立线与线，线与角之间的函数关系解三角形
如图1，若DF=mCF，BD=2CF，则BF=（2+m）CF.又cos∠CFB=CF2+BF2-BC22CF·BF，化简得BC=m2+2m+1CF.且S△CFB=12CF·BF·sin∠CFD=2（2+m）4CF2
思考7 通过条件转化，分析后发现△EFD基本量确定，也可解.因此也可求△EFD的其他元素，例如边、角、面积、周长等.
4 命题思考
试题的价值在于引导教师课堂中落实数学核心素养.一道好的试题，“形”“理”兼得，因此在解题教学中，应变试题的讲评者为试题的开发者.解题教学时先应强化通性通法的回归，例如本题先应引导学生利用几何直观从复杂的图形中分解、分析、构造基本图形，归纳出“证中点”和“解三角形”的解题模式.而后，在解题的过程中，将得到的方法、策略和思想进行内化、比较、提升.，例如可让学生思考：解题分为哪几个步骤？考查了哪些知识点及数学思想方法？还有哪些方法？最优解法是哪种？解题时“卡壳”在哪里？如何突破等，建构成自己的解题体系最后，正如数学家希尔伯特指出，“一个问题的解决意味着一系列新的问题的诞生”.解题后，教师还应当引导学生思考：一般化图形，弱化图形的形状，改变图形的位置，结论是否改变？改变、对换条件和结论，试题是否成立？变更问题的表述形式，是否可以化归？拓宽拓深试题的教学价值，实现数学核心素养的课堂落实
试题的价值还在于评价学生数学核心素养达成水平.几何压轴题对数学核心素养水平的测量，应该以核心知识（几何变换和图形性质）为基础，以数学思想方法、关键能力为引领.“一题两翼”，在几何变换中重视考查直观想象素养，“让图形动起来”，来研究推导图形间的位置数量关系，对图形的对称性等本质性质进行认识;在图形的性质中重视考查逻辑推理和数学运算素养，算证前“战略性”“确定性”地去逻辑分析问题，有条理地合情推理条件、结论间的逻辑关系，然后严密的演绎论证，准确优化的计算结果.同时，注重设问之间的综合性和层次性：分水平综合考查学生的多种核心素养.进而体现出个性差异，区分出各水平学生所达到的不同阶段性要求.
