用对称性求解圆锥曲线高考题
孔湛琦
对称性是圆锥曲线的重要性质，许多圆锥曲线问题，特别是高考中的圆锥曲线问题常与对称性有关.用好圆锥曲线的对称性往往能使问题化难为易，事半功倍.
图1例1（2012年福建理）如图1，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
分析直线l含有m，k两个参数，直線l与椭圆E有且只有一个公共点，m，k两个参数可以转换为1个参数.因为M为未知，加上点M（x1，y1）的两个参数就变成3个参数了，这样就给下一步的求解带来很大困难.大家知道椭圆E与直线x=4都是关于x轴对称的，满足条件的点M若存在一定在轴上，即M（x1，0）.这样3个参数就变成两个参数，问题也就容易解决了.这里巧妙地运用了图形的对称性，简化了运算，收到了很好的效果.
解（Ⅰ）椭圆E：x24+y23=1，解题过程略.
（Ⅱ）由y=kx+m，
x24+y23=1，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），所以m≠0且Δ=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，
化简得4k2-m2+3=0（*）.
此时x0=-4km4k2+3=-4km，y=kx0+m=3m，所以P（-4km，3m）.
由y=kx+m，
x=4，得Q（4，4k+m）.
椭圆E与直线x=4都是关于x轴对称的，满足条件的点M若存在，M点一定在轴上，即M（x1，0），则MP·MQ=0对满足（*）式的m，k恒成立.
因为MP=（-4km-x1，3m），MQ=（4-x1，4k+m），由MP·MQ=0得，
-16km+4kx1m-4x1+x21+12km+3=0，整理得4（x1-1）km+x21-4x1+3=0（**）.
由于（**）式对（*）式的m，k恒成立，
所以4x1-4=0，
x21-4x1+3=0，解得x1=1.
故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M.
图2例2（2015年四川理）如图2，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率是22，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
分析此题系2015年四川理的压轴题，属于高难度题目.此题也曾是山东省实验中学的一次考试题，得分率很低.很多同学的困难在于一是不知道|QA||QB|=|PA||PB|如何转化，二是Q点的坐标不知道导致参数过多不容易操作.事实上，椭圆E与直线AB都是关于y轴对称的，满足条件的点Q若存在一定在y轴上，即可设Q（0，y0）.
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于A，B两点.则A（0，2），B（0，-2），
由|QA||QB|=|PA||PB|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，
解得y0=1或y0=2.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件|QA||QB|=|PA||PB|，则Q点的坐标只可能为Q（0，2）.剩下的只需验证Q（0，2）对任意的直线l，均有|QA||QB|=|PA||PB|即可，即只需验证kQA+kQB=0，问题就简单多了.
解（Ⅰ）椭圆E：x24+y22=1，解题过程略.
（Ⅱ）椭圆E与直线AB都是关于y轴对称的，满足条件的点Q若存在一定在y轴上，即可设Q（0，y0）.
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于A，B两点.则A（0，2），B（0，-2），
由|QA||QB|=|PA||PB|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，
解得y0=1或y0=2.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足题设条件，则Q点的坐标只可能为Q（0，2）.
下面证明：对任意的直线l，均有
|QA||QB|=|PA||PB|.
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）.
联立x24+y22=1，
y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0.Δ=16k2+8（2k2+1）>0，
所以，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1.
kQA+kQB=y1-2x1+y2-2x2=k-1x1+k-1x2=2k-x1+x2x1x2=2k-2k=0.
所以∠QPA=∠QPB，从而|QA||QB|=|PA||PB|.
故存在与P不同的定点Q（0，2），使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立.
其实对称性的作用不仅体现在定值，定点问题，圆锥曲线的很多问题都与对称性有关.
例3（2016年全国新课标Ⅱ理）已知A是椭圆E：x24+y23=1的左顶点，斜率为kk>0的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（Ⅰ）当AM=AN时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2AM=AN时，证明：3
解（Ⅰ）设M（x1，y1），则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4，又A（-2，0），因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0，解得y=0或y=127，所以y1=127.
所以△AMN的面积
S△AMN=2×12×127×127=14449.
（Ⅱ）略.
例4（2013年重庆文）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使A1B1=A2B2，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）.
A.（233，2] B.[233，2）
C.（233，+∞）D.[233，+∞）
分析尽管此题是一道选择题，但是如果找不到合适的办法难度还是非常大的，因为不知从何处入手.但是如果心里装着圆锥曲线的对称性，题目就不难解决了.易知A1B1=A2B2，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也是关于x轴（或y轴对称）.由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角θ的范围是π6<θ≤π3，即33
例5（2017年全国新课标Ⅰ理）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1）、P2（0，1）、P3（-1，32）、P4（1，32）中恰有三点在椭圓C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
分析尽管（Ⅰ）不是很难，但是确是奠基步骤，有的考生就是因为不能求出椭圆的方程而导致整个题目无法得分.而出现这种情况的一个重要原因是不能断定4个点中哪3个点在椭圆C上.事实上P3、P4关于y轴对称，根据椭圆的对称性P3、P4一定在椭圆上（因为若不在，将不会有3个点在椭圆上）.然后就可判定点P2在椭圆上，而点P1不在椭圆上.有了这样的判断就很容易解决了.C：x24+y22=1，解题过程略.
以上几例充分说明对称性不仅是圆锥曲线的一条重要性质，还是高考命题的重要切入点.其实关于圆锥曲线对称性的应用还远不止这几例，只要我们有一个对称性的意识，心里装着对称性，就能发现其中之规律，让圆锥曲线的对称性应用发挥出最大的潜能.
对称性是圆锥曲线的重要性质，许多圆锥曲线问题，特别是高考中的圆锥曲线问题常与对称性有关.用好圆锥曲线的对称性往往能使问题化难为易，事半功倍.
图1例1（2012年福建理）如图1，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
分析直线l含有m，k两个参数，直線l与椭圆E有且只有一个公共点，m，k两个参数可以转换为1个参数.因为M为未知，加上点M（x1，y1）的两个参数就变成3个参数了，这样就给下一步的求解带来很大困难.大家知道椭圆E与直线x=4都是关于x轴对称的，满足条件的点M若存在一定在轴上，即M（x1，0）.这样3个参数就变成两个参数，问题也就容易解决了.这里巧妙地运用了图形的对称性，简化了运算，收到了很好的效果.
解（Ⅰ）椭圆E：x24+y23=1，解题过程略.
（Ⅱ）由y=kx+m，
x24+y23=1，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），所以m≠0且Δ=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，
化简得4k2-m2+3=0（*）.
此时x0=-4km4k2+3=-4km，y=kx0+m=3m，所以P（-4km，3m）.
由y=kx+m，
x=4，得Q（4，4k+m）.
椭圆E与直线x=4都是关于x轴对称的，满足条件的点M若存在，M点一定在轴上，即M（x1，0），则MP·MQ=0对满足（*）式的m，k恒成立.
因为MP=（-4km-x1，3m），MQ=（4-x1，4k+m），由MP·MQ=0得，
-16km+4kx1m-4x1+x21+12km+3=0，整理得4（x1-1）km+x21-4x1+3=0（**）.
由于（**）式对（*）式的m，k恒成立，
所以4x1-4=0，
x21-4x1+3=0，解得x1=1.
故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M.
图2例2（2015年四川理）如图2，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率是22，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
分析此题系2015年四川理的压轴题，属于高难度题目.此题也曾是山东省实验中学的一次考试题，得分率很低.很多同学的困难在于一是不知道|QA||QB|=|PA||PB|如何转化，二是Q点的坐标不知道导致参数过多不容易操作.事实上，椭圆E与直线AB都是关于y轴对称的，满足条件的点Q若存在一定在y轴上，即可设Q（0，y0）.
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于A，B两点.则A（0，2），B（0，-2），
由|QA||QB|=|PA||PB|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，
解得y0=1或y0=2.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件|QA||QB|=|PA||PB|，则Q点的坐标只可能为Q（0，2）.剩下的只需验证Q（0，2）对任意的直线l，均有|QA||QB|=|PA||PB|即可，即只需验证kQA+kQB=0，问题就简单多了.
解（Ⅰ）椭圆E：x24+y22=1，解题过程略.
（Ⅱ）椭圆E与直线AB都是关于y轴对称的，满足条件的点Q若存在一定在y轴上，即可设Q（0，y0）.
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于A，B两点.则A（0，2），B（0，-2），
由|QA||QB|=|PA||PB|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，
解得y0=1或y0=2.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足题设条件，则Q点的坐标只可能为Q（0，2）.
下面证明：对任意的直线l，均有
|QA||QB|=|PA||PB|.
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）.
联立x24+y22=1，
y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0.Δ=16k2+8（2k2+1）>0，
所以，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1.
kQA+kQB=y1-2x1+y2-2x2=k-1x1+k-1x2=2k-x1+x2x1x2=2k-2k=0.
所以∠QPA=∠QPB，从而|QA||QB|=|PA||PB|.
故存在与P不同的定点Q（0，2），使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立.
其实对称性的作用不仅体现在定值，定点问题，圆锥曲线的很多问题都与对称性有关.
例3（2016年全国新课标Ⅱ理）已知A是椭圆E：x24+y23=1的左顶点，斜率为kk>0的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（Ⅰ）当AM=AN时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2AM=AN时，证明：3
解（Ⅰ）设M（x1，y1），则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4，又A（-2，0），因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0，解得y=0或y=127，所以y1=127.
所以△AMN的面积
S△AMN=2×12×127×127=14449.
（Ⅱ）略.
例4（2013年重庆文）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使A1B1=A2B2，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）.
A.（233，2] B.[233，2）
C.（233，+∞）D.[233，+∞）
分析尽管此题是一道选择题，但是如果找不到合适的办法难度还是非常大的，因为不知从何处入手.但是如果心里装着圆锥曲线的对称性，题目就不难解决了.易知A1B1=A2B2，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也是关于x轴（或y轴对称）.由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角θ的范围是π6<θ≤π3，即33
例5（2017年全国新课标Ⅰ理）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1）、P2（0，1）、P3（-1，32）、P4（1，32）中恰有三点在椭圓C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
分析尽管（Ⅰ）不是很难，但是确是奠基步骤，有的考生就是因为不能求出椭圆的方程而导致整个题目无法得分.而出现这种情况的一个重要原因是不能断定4个点中哪3个点在椭圆C上.事实上P3、P4关于y轴对称，根据椭圆的对称性P3、P4一定在椭圆上（因为若不在，将不会有3个点在椭圆上）.然后就可判定点P2在椭圆上，而点P1不在椭圆上.有了这样的判断就很容易解决了.C：x24+y22=1，解题过程略.
以上几例充分说明对称性不仅是圆锥曲线的一条重要性质，还是高考命题的重要切入点.其实关于圆锥曲线对称性的应用还远不止这几例，只要我们有一个对称性的意识，心里装着对称性，就能发现其中之规律，让圆锥曲线的对称性应用发挥出最大的潜能.
