正态分布曲线教学感悟
洪云
1.正态分布概念及曲线的引入
正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，由中心极限定理知一个随机变量如果是众多的、互不相干、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布，服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都是0，通常感兴趣的是它落在某个区问的概率，离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数曲线描述，高中数学2—3介绍几种常用分布：两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布，当”充分大时，二项分布可用正态分布来近似，即二项分布的正态逼近，因此，在教学是有必要跟学生介绍离散型和连续型分布的区别与联系，
正态分布密度函数的推导是十分困难的，教科书采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的实际含义，而本节的教学重点应放在引导学生认识正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义上，教学中可采用直观方法：高尔顿板实验的方法（可利用计算机模拟）引入正态分布密度曲线，可以帮助学生理解正态分布曲线的来源，当然，教师要引导学生，在实验中，小球到底落到哪个球槽内，是很多次与小木块随机碰撞结果的叠加，并引导学生观察小球落到球槽的分布情况，使学生注意投放一个小球实验是一个随机实验，重复投放”个小球，相当于做了”次独立重复实验，随着实验次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，
2.正态分布密度曲线及函数的定义、性质
给出正态曲线图像后，虽然看上去很美，但教材上是不会说明这个密度函数是通过什么原理推导出来的，所以学生会搞不明白数学家当年是怎么找到这个概率分布，这个概率分布有何重要作用，因此，教学中，教师可以介绍正态分布曲线从发现到被人们重视进而广泛应用几百年的精彩历史！教材中列举了许多服从正态分布的随机变量的例子，比如某一地区同龄人群身高的分布，打靶所中环数等，教师可以引导学生分析为什么它们都近似服从正态分布，以加强学生对随机变量产生背景的印象，要的数学常量兀，e都出现在这公式中，数理统计领域中这个公式最能让人感觉到“神”的存在，因为这个分布戴着神秘面纱，在自然界中无处不在，让你在纷繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序！教师可以结合研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、某区间上的最值等方面来分析密度函数的性质，
数形结合在正态曲线的教学中尤为重要，正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系、单峰性、对称性、峰值的位置与大小、图像与坐标横轴围成的面积，这里前四个特点都可以根据函数曲线的形状及正态密度函数表达式得到，最后一个需要利用概率的性质，教材并没有给出具体证明，教师可结合几何画板直观展示两个参数u，σ对正态分布密度曲线位置、形状的影响，服从正态分布Ⅳ（u，σ2）的随机变量服从3σ原则，
3.全国卷中的正态分布
在长时间的福建高考数学卷中，几乎没见正态分布题目的身影，2016年起，我省高考将恢复使用全国卷，纵观近些年全国卷，正态分布亮相多次，有单独知识点考查，也有与其它知识融会贯通，这不得不引起我们的思考、重视，教学中，要注重解题方法与技巧，
例（2012年高考新课标全国卷·理15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件l或者元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布Ⅳ（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的为——，
考点正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义
专题计算题；基础题
数学思想方法数形结合
分析先根据正态分布的意义，知三个电子元件 的使用寿命超过1000小时的概率为1/2，所求事件“该
部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件l、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分布求其概率再相乘即可，
反思本题主要考察了正态分布的意义，正态密度曲线的对称性，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，
例（2014年高考新课标I全国卷·理18）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图，
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差；
考点正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差，
专题计算题；概率与统计，
数学思想方法数形结合，
分析由z服从正态分布Ⅳ（200，150），利用3σ原则求出P，
反思本题主要考察离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考察计算能力，
4.结语
著名统计数学家C.R.Rao这么说：在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的世界里，所有的判断都是统计学，如果说，充斥着偶然性的世界是一个纷乱的世界，那么，正态分布为这个纷乱的世界建立了一定的秩序，使得偶然性现象在数量上被计算和预测称为可能，高中阶段教材对正态分布介绍有局限，笔者的教学感悟也是有感而发，如果正态分布是一滴水，教师的愿望便是通过有效的教学，使学生都能看到它折射出的七彩虹，
1.正态分布概念及曲线的引入
正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，由中心极限定理知一个随机变量如果是众多的、互不相干、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布，服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都是0，通常感兴趣的是它落在某个区问的概率，离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数曲线描述，高中数学2—3介绍几种常用分布：两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布，当”充分大时，二项分布可用正态分布来近似，即二项分布的正态逼近，因此，在教学是有必要跟学生介绍离散型和连续型分布的区别与联系，
正态分布密度函数的推导是十分困难的，教科书采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的实际含义，而本节的教学重点应放在引导学生认识正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义上，教学中可采用直观方法：高尔顿板实验的方法（可利用计算机模拟）引入正态分布密度曲线，可以帮助学生理解正态分布曲线的来源，当然，教师要引导学生，在实验中，小球到底落到哪个球槽内，是很多次与小木块随机碰撞结果的叠加，并引导学生观察小球落到球槽的分布情况，使学生注意投放一个小球实验是一个随机实验，重复投放”个小球，相当于做了”次独立重复实验，随着实验次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，
2.正态分布密度曲线及函数的定义、性质
给出正态曲线图像后，虽然看上去很美，但教材上是不会说明这个密度函数是通过什么原理推导出来的，所以学生会搞不明白数学家当年是怎么找到这个概率分布，这个概率分布有何重要作用，因此，教学中，教师可以介绍正态分布曲线从发现到被人们重视进而广泛应用几百年的精彩历史！教材中列举了许多服从正态分布的随机变量的例子，比如某一地区同龄人群身高的分布，打靶所中环数等，教师可以引导学生分析为什么它们都近似服从正态分布，以加强学生对随机变量产生背景的印象，要的数学常量兀，e都出现在这公式中，数理统计领域中这个公式最能让人感觉到“神”的存在，因为这个分布戴着神秘面纱，在自然界中无处不在，让你在纷繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序！教师可以结合研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、某区间上的最值等方面来分析密度函数的性质，
数形结合在正态曲线的教学中尤为重要，正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系、单峰性、对称性、峰值的位置与大小、图像与坐标横轴围成的面积，这里前四个特点都可以根据函数曲线的形状及正态密度函数表达式得到，最后一个需要利用概率的性质，教材并没有给出具体证明，教师可结合几何画板直观展示两个参数u，σ对正态分布密度曲线位置、形状的影响，服从正态分布Ⅳ（u，σ2）的随机变量服从3σ原则，
3.全国卷中的正态分布
在长时间的福建高考数学卷中，几乎没见正态分布题目的身影，2016年起，我省高考将恢复使用全国卷，纵观近些年全国卷，正态分布亮相多次，有单独知识点考查，也有与其它知识融会贯通，这不得不引起我们的思考、重视，教学中，要注重解题方法与技巧，
例（2012年高考新课标全国卷·理15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件l或者元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布Ⅳ（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的为——，
考点正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义
专题计算题；基础题
数学思想方法数形结合
分析先根据正态分布的意义，知三个电子元件 的使用寿命超过1000小时的概率为1/2，所求事件“该
部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件l、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分布求其概率再相乘即可，
反思本题主要考察了正态分布的意义，正态密度曲线的对称性，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，
例（2014年高考新课标I全国卷·理18）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图，
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差；
考点正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差，
专题计算题；概率与统计，
数学思想方法数形结合，
分析由z服从正态分布Ⅳ（200，150），利用3σ原则求出P，
反思本题主要考察离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考察计算能力，
4.结语
著名统计数学家C.R.Rao这么说：在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的世界里，所有的判断都是统计学，如果说，充斥着偶然性的世界是一个纷乱的世界，那么，正态分布为这个纷乱的世界建立了一定的秩序，使得偶然性现象在数量上被计算和预测称为可能，高中阶段教材对正态分布介绍有局限，笔者的教学感悟也是有感而发，如果正态分布是一滴水，教师的愿望便是通过有效的教学，使学生都能看到它折射出的七彩虹，
