费恩斯列尔——哈德维格尔不等式的推进

众所周知，在三角形中有著名的外森比克（Weitzenbocksinequatily）不等式（以下简称“W不等式”）：
在△ABC中，a，b，c为其三边长，Δ为其面积（本文下同），则
a2+b2+c2≥43Δ（1）
作为“W不等式”的出色加强当是著名的费恩斯列尔— 哈德维格尔（Finsler—Hadwiger）不等式（以下简称“F—H不等式”）：
在△ABC中，有
a2+b2+c2≥43Δ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2（2）
这一加强在初数研究中已流芳近一个世纪。趁寒假悠闲，激发起笔者对“F—H不等式”的一点新的欲望和期许……
1“W不等式”和“F—H不等式”的等价三角形不等式
在△ABC中，由余弦定理及面积公式，有
cotA=cosAsinA=2bccosA2bcsinA=b2+c2-a24Δ
等三式，及
tanA2=1-cosAsinA=2bc-2bccosA2bcsinA
=2bc-（b2+c2-a2）4Δ=a2-（b-c）24Δ
等三式.可見，（1）与（2）式分别等价于如下三角形不等式：
在△ABC中，有
cotA+cotB+cotC≥3（1′）
与
tanA2+tanB2+tanC2≥3（2′）
2一个相关三角形不等式“链”
联想起笔者曾在文[1]中所建的三角形不等式“链”（在△ABC中，有）：
cotA+cotB+cotC
≥13（cotA2+cotB2+cotC2）
≥12（cscA+cscB+cscC）
≥tanA2+tanB2+tanC2
≥12（secA2+secB2+secC2）≥3.
不由得茅塞顿开，领略到了作为“W不等式”的著名加强“F—H不等式”的真谛——三角形不等式（2′）加强了三角形不等式（1′）的缘故. 伴随而至地，作为更精准的三角形不等式：
secA2+secB2+secC2≥23（3′）
是否蕴育着F—H不等式的加强？我们的希冀可就在这里呵！
3F—H不等式的推进
记△ABC的半周长a+b+c2=s（本文下同），则由三角形恒等式：sinA2=（s-b）（s-c）bc，
等三式及面积公式，可得
secA2=1cosA2=2bcsinA2bcsinA
=2b（s-c）·c（s-b）2Δ
=b（s-c）+c（s-b）-[b（s-c）-c（s-b）]22Δ
等三式，一并代入（3′），并注意到2s-（b+c）=a等三式，有43Δ≤b（s-c）+c（s-b）-[b（s-c）-c（s-b）]2+c（s-a）+a（s-c）-[c（s-a）-a（s-c）]2+a（s-b）+b（s-a）-[a（s-b）-b（s-a）]2=a[（s-b）+（s-c）]+b[（s-c）+（s-a）]+c[（s-a）+（s-b）]-[b（s-c）-c（s-b）]2-[c（s-a）-a（s-c）]2 -[a（s-b）-b（s-a）]2=a2+b2+c2-[b（s-c）-c（s-b）]2-[c（s-a）-a（s-c）]2-[a（s-b）-b（s-a）]2.
由此可获得：
定理1在△ABC中，有
a2+b2+c2≥43Δ+[b（s-c）-c（s-b）]2+[c（s-a）-a（s-c）]2+[a（s-b）-b（s-a）]2 （3）
利用代数恒等式（ac-bd）2=（a2-b2）（c2-d2）+（bc-ad）2，可得
[b（s-c）-c（s-b）]2=（b-c）[（s-c）-（s-b）]+[c（s-c）-b（s-b）]2
=（b-c）2+[b（s-b）-c（s-c）]2，
等三式.所以，定理1亦可写成以下形式：
推论在△ABC中，有
a2+b2+c2≥43Δ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2+[b（s-b）-c（s-c）]2+[c（s-c）-a（s-a）]2+[a（s-a）-b（s-b）]2
由此可见，本文定理1是著名F—H不等式的推进，她与三角形不等式（3′）等价.
通过再深入地探研，笔者还得到了如下关于F—H不等式的又两个形式的推进：
定理2设△ABC的三边长为a，b，c，外接圆和内切圆的半径分别为R和r（以下相同），则
a2+b2+c2≥43Δ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2+8（2-3）r（R-2r）（4）
定理3在△ABC中，有
a2+b2+c2≥4-2rRΔ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2（5）
感兴趣的读者不妨一展身手.
参考文献
[1]李建潮.一个优美的几何不等式[J].数学通报，2015（2）.