考虑螺栓连接刚度不确定性的带法兰-圆柱壳结构频响函数分析
李坤 曾劲 于明月 马辉 柴清东
摘要：提出了一种利用Chebyshev多项式代理模型来分析螺栓连接带法兰-圆柱壳结构频响函数不确定性的区间分析法。首先，利用8节点退化壳单元，通过有限元方法建立了带法兰-圆柱壳结构的动力学模型，从而求解系统的频响函数，并与实验测试的频响函数进行对比，验证了所建模型的有效性。然后，基于区间分析法建立了含区间参数的频响函数Chebyshev多项式代理模型。最后，考虑法兰处螺栓连接刚度不确定性，得到了单方向和多方向的连接刚度存在不确定性时的频响函数区间范围，并通过Monte-Carlo抽样法进行了验证。研究结果表明：Cheby-shev多项式代理模型具有较高的求解精度和计算效率，轴向连接刚度不确定性对系统的频响函数影响最大;螺栓连接刚度不确定性主要导致频响函数在系统第1阶和第3阶固有频率处形成较宽的共振带。
关键词：圆柱壳;连接刚度;不确定性;区间分析法;频响函数
中图分类号：O326;THll3.1文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）03-0517-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.010
引言
圆柱壳由于具有结构强度高、刚度大和质量轻等优点，因而在航空航天、海洋工程、管道、大型水坝和冷却塔等领域得到了广泛应用。在实际工程中，圆柱壳一般通过螺栓进行连接，但螺栓连接结构存在多种不确定性源，导致其动力学特性变得更加复杂，因此，对螺栓连接不确定性研究具有重要意义。其中，螺栓的预紧力、接触面的制造误差和螺栓松动等都是不确定性源，最终导致其连接刚度具有不确定性。
目前，对于圆柱壳的动力学确定性研究较多，在建模方法上多采用有限元法、解析法与传递矩阵法。此外，也有学者对采用螺栓连接的圆柱壳结构进行了相关动力学特性研究。Yao等基于有限元法，采用薄层单元进行螺栓连接结构参数化建模，从而降低了多螺栓连接的航空发动机机匣有限元模型的复杂度。Marc-Antoine等提出了一种新的块状模型，用于航空发动机机匣中螺栓法兰非线性动力学分析，所提出的模型较基于接触单元建立的模型，其计算效率更高。Tang等采用半解析法，建立了螺栓连接圆柱壳结构非线性动力学模型，并分析了边界连接参数对其动力学特性的影响。
然而，在实际工作中，随着运行环境的变化，圆柱壳动力学模型中很多参数具有不确定性，使得其动力学特性也存在相应的不确定性。Silva等基于概率法，分析了物理和几何参数不确定性对简支圆柱壳非线性振动和稳定性的影响。Hakula等利用随机方法求解不确定性参数下复杂壳体的频响函数，并用Monte Carlo仿真对其进行了验证。需要说明的是，当采用概率法进行不确定性分析时，不确定性参数的精确概率分布是很难获取的。因此，一种非概率方法-区间分析法被很多学者提出，并将其用于对转子、车辆、齿轮等的动力学不确定性分析。区间分析法对其具体的概率分布情况不做任何假设，只需知道不确定性参数上下界，即参数具有“不确定但有界”特点。
基于文献[2-19]可知，对圆柱壳的确定性动力学研究较多，只有少量文献[11-19]基于概率法对其进行了不确定性研究，较少有文献采用区间分析法对圆柱壳的振动特性进行不确定性研究。本文采用8节点退化壳单元，通过有限元方法建立了螺栓连接带法兰一圆柱壳的动力学模型，利用弹簧单元离散化建模模拟螺栓连接，并通过模态试验来验证所建模型的有效性。然后，考虑螺栓连接刚度的不确定性，基于Chcbyshev多项式代理模型和区间分析法，分别求解了柱坐标系下5个方向的连接刚度为不确定性参数时的频响函数区间范围，在确定性固有频率下，采用M0ntC-Carlo抽样法求解其频响函数区间范围，并对比了两种方法的求解精度和效率。最后，求解了多参数不确定性的系统频响函数区间范围。
1 模型建立与实验验证
1.1 有限元模型
图1为8节点退化壳单元，壳体内任一点的整体坐标可通过各节点的整体坐标（xi，yi，Zi）和自然坐标（ξ，η，ξ）的插值形式表示为
1.2 动力学建模与频响函数分析
如图2所示为螺栓连接法兰-圆柱壳边界条件模拟示意图。其中图2（b）为用壳单元模拟法兰-圆柱壳结构时，将结构离散为有限个单元体示意图。此外，本文通过在法兰上的每个节点施加空间弹簧单元来模拟螺栓连接。法兰壳体上所施加的空间弹簧在柱坐标系下有3个平动刚度和2个转动刚度，分别为径向u'轴、切向v'轴和轴向w'轴的平动刚度，以及绕u轴和v'轴的转动刚度。由于本文的殼体理论在柱坐标系下是5个自由度，而空间弹簧单元对应的每个节点是6个自由度，所以另外一个转动方向在弹簧单元刚度矩阵中对应的行和列用0来填充。
振型矩阵的每一列是一个振型向量，且作归一化处理，则模态质量矩阵为单位矩阵，即
1.3 实验验证
为验证所建模型的有效性，本文对频响函数进行了试验验证，采用锤击法进行模态测试，实验主要使用东华振动测试系统进行数据的采集和分析。图3为模态测试的试验件和测试系统，法兰与底座通过12个螺栓连接，并对每个螺栓施加同等大小的预紧力。
带法兰-圆柱壳结构的示意图如图4所示，这里忽略了法兰上螺栓孔的影响，圆柱壳的中面半径为R=（r1+r2）/2，结构的材料参数为：弹性模量E=200GPa，泊松比u=0.26，密度P=7850kg/m3。
实验中使用单向加速度传感器采集信号，采用单点输入单点输出对其进行模态测试，从而得到带法兰-圆柱壳结构的频响函数。此外，本文也采用ANSYS中的shell281单元验证了所建模型的有效性（如表1所示），ANSYS软件中也是在单元的柱坐标系下施加Matrix27单元模拟边界条件。需要说明的是，柱坐标系下（如图2（c）所示）每个弹簧各方向刚度为ku'=9.5×107N/m，kv'=7.36×106N/m，ku'=9.8×106N/m，kv'=1.8×104N·m/rad，kθv'=1.1×104N·m/rad。表1为前7阶固有频率对比，图5为本文与实验测试的频响函数对比，实验中加速度传感器的坐标位置为（R，0，L），激振点的位置也为（R，0，L）。
由表1可知，本文与实验的固有频率最大误差为第3阶，误差仅为1.4%，与ANSYS的最大误差为0.51%，从而验证了本文弹簧单元离散化建模模拟螺栓连接的有效性。
由图5可知，本文仿真与实验测试所得频响函数趋势吻合较好，仅在峰值上存在一定误差，这主要是因为本文使用的是比例阻尼，較难真实反映系统各阶模态阻尼，从而导致频响函数峰值存在误差。
2 基于Chebyshev多项式的不确定性参数区间分析
2.1 多维Chebyshev多项式
将式（23）的多重积分转化为数值积分，采用Gauss-Chebyshev数值积分，将复杂的多重积分转化为数值积分，而数值积分适合MATLAB数值计算软件进行运算，在保证求解精度的条件下，求解速度也得到明显提高，可得：
2.2 频响函数区间分析
考虑参数向量a具有不确定性，可用区间来表示不确定性参数的波动范围，对其具体的概率分布情况不做任何的假设，只需给定不确定性参数上下界，即参数具有“不确定但有界”特点。利用区间表示系统不确定性向量，g维不确定性参数可表示为
因此，可以通过式（25）来取得对应的配置点数，然后通过Chebyshev多项式求得频响函数代理模型。考虑到Chebyshev多项式逼近函数是在标准区间[-1，1]进行分析的，而旋转圆柱壳中的不确定性参数是任意区间的，所以可通过区间变换把不确定性参数区间[am，am]转变为区间[-1，1]，为
直接求解频响函数的区间范围比较困难，而利用Chebyshev多项式代理模型只需要少量的样本，从而把求解式（29）和（30）转化为求解式（22）的极值。
2.3 模型分析
螺栓连接带法兰-圆柱壳结构的连接刚度存在不确定性时，将引起频响函数的不确定性，将柱坐标系下某一方向的连接刚度k1用区间数学表示为式中βkj为不确定性连接刚度kj的波动系数。
Chebyshev多项式采用14阶展开，高斯积分点数为15，连接刚度的波动系数为10%，分析频响函数的区间范围。
分别求解柱坐标系下5个方向刚度单参数存在不确定性时的频响函数区间范围（图6-10），对比分析各方向连接刚度不确定性对频响函数区间范围的影响。
由图6-10可知，当不确定性参数的波动系数为10%时，w方向的轴向连接刚度的不确定性对系统的频响函数影响最大（如图8所示），并且第3阶固有频率附近的频响函数波动较大，由原来的单个共振峰变成了一个共振带，从而发生移频现象，固有频率大约在1291-1349Hz之间。其次是v方向的转动刚度的不确定性对频响函数也有一定的影响（如图10所示），第3阶固有频率大约在1316-1327Hz之间，另外3个方向的连接刚度的不确定性对频响函数基本不影响（如图6，7和9所示）。值得说明的是，频响函数的区间不是关于确定性的频响函数对称，在共振带处的最大峰值与确定性的共振峰值相比基本不变，而最小峰值却变得很小;在反共振带处的最小峰值相对于确定性的反共振峰变化不大，最大峰值却变大许多。
同时采用Monte-Carlo抽样法求解w方向的轴向刚度为不确定性参数时在确定性固有频率处的频响函数区间范围，Monte-Carlo抽样法的样本数为500，最后得到频响函数的区间范围，然后比较本文方法与Monte-Carlo抽样法所得到的频响函数区间范围以及比较两种方法的耗时。表2为系统确定性固有频率处对应的频响函数上下界，可知Chebyshev多项式代理模型与抽样法所得的上下界结果对比较好，误差非常小。在同一台计算机上，Monte-Carlo抽样法所耗时间为2286.2s，Chebyshev多项式所耗时间为85.2s，大约是抽样法计算时间的3.7%，从而说明了本文方法具有较高的精度和求解效率。
由于w方向的轴向连接刚度的不确定性和v方向的转动刚度的不确定性对系统的频响函数影响较大，而另外3个方向的连接刚度的不确定性影响较小，所以这里同时考虑w方向的轴向连接刚度和v方向的转动刚度为不确定性参数，波动系数均为10%，求解系统的频响函数区间范围，分析多参数不确定性对频响函数的影响，同时采用Chebyshev多项式代理模型求解固有频率的区间范围。由图11可知，螺栓连接刚度不确定性主要导致系统第1阶和第3阶固有频率附近的频响函数波动较大，可知多参数不确定性会扩大频响函数的区间范围。由表3可知，随着周向波数n的增大，固有频率区间范围波动越来越小。
3 结论
本文基于有限元法建立了螺栓连接带法兰-圆柱壳结构的动力学模型，并通过实验和ANSYS仿真验证了所建模型的有效性，其次，基于Chebyshev多项式代理模型分析了连接刚度不确定性对系统频响函数的影响，并通过与Monte-Carlo抽样法进行验证，得出以下结论：
（1）在保证求解精度的条件下，Chebyshev多项式代理模型求解系统频响函数区间范围的效率较高，轴向连接刚度的不确定性对系统的频响函数影响较大，特别是在第3阶固有频率处形成了较宽的共振带，发生了移频现象，随着周向波数的增大，固有频率的区间范围波动越来越小。
（2）连接刚度的不确定性主要导致系统第1阶和第3阶固有频率处形成较大的共振带，从而说明螺栓连接刚度对带法兰-圆柱壳结构的动力学特性影响较大，在设计和制造中应充分考虑连接刚度的不确定性。
