审视“动态”难点，探究“类题”策略

2022.09.17

龚艳芳

[摘? 要] 动态问题的研究主体是点、线、面的运动变化，其中存在一些不变条件和恒定规律. 以上述内容为载体构建的动态问题是中考常见的问题类型之一，该类问题的求解具有很强的逻辑性，文章对其难点加以讨论，分类探究动态问题的解题策略.

[关键词] 动态;几何;动点;动线;折叠

初中阶段的动态问题主要包括点动、线动和面动，而面动又涉及翻折、旋转等运动. 动态考题大多是由上述现象造成的，所以开展动态问题的探究就需要考虑动态构建的载体. 下面，笔者对动态问题的难点加以探讨，并探究动态问题的解题策略.

动态问题的难点审视

动态问题是中考的常见题型，涉及基础的填空题和选择题，以及复杂的解答题（压轴题），问题存在鲜明的难度梯度，因此可以全面考查学生的知识储备和思维能力，在选拔考生方面具有一定的帮助. 作为初中几何重要的组成部分之一，动态问题存在几大难点，解题时需要妥善处理，具体如下.

1. 动态条件的处理

初中阶段学生所接触到的动态问题主要由动点、动线、折叠、旋转等引起，并由此生出众多的关联条件，造成几何条件、题干图形的不确定性，如何妥善处理这些动态信息是解题突破的关键.

2. 动态图形的构建

动态问题的求解离不开对图形的分析，求解时需要结合题干的动态信息对图形进行理解重构，这一步是后续解题分析的基础. 而动态图形的构建与静态几何问题存在一定的差异，需要采用合理的方式.

3. 动态思维的转化

动态问题的求解过程需要全面理解“动”的全过程，能够根据运动的不同阶段来对条件进行转化，这其中就需要利用动态思维的转化. 从整体上思考问题，从中获得关键的静态条件是解题突破的必要环节，因此求解动态问题需要具备整体思维，而整体思维的培养不是一朝一夕就能形成的.

4. 解题定理的选择

求解动态问题除了需要利用一定的策略方法外，还需要具备扎实的知识储备，能够灵活运用相关的几何定理来解题. 虽然定理选取看似简单，但选用得合理与否直接关系到解题过程的难易程度，因此同样需要细致斟酌.

总之，动态问题求解中的条件转化、图形构建、思维方式、解题过程均存在一定的难度，需要合理处理，深入探究.

动态问题的类型探究

1. 以点动为基础，考查知识融合

数学几何内容的研究以点为基础，是将“点动”作为衍生要素来展开的，因此分析动态问题自然离不开动点分析. 而中考对于动点的考查立足于基础知识，倡导知识融合，以综合题的形式进行. 解题时需要根据点运动的规律设定相关量，求解线段长，开展后续研究.

例1 如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，已知直角边OA和AB的长分别为4和3. 现有一动点M以每秒1个单位长度的速度从顶点A出发，沿AO方向向点O运动，同时动点N以每秒1.25个单位长度的速度从顶点O出发，沿OB方向向点B运动. 设两个动点的运动时间为x秒（0<x<4），试回答下列问题：

（1）试求点N的坐标，用含x的代数式表示;

（2）设△OMN的面积为S，试求S与x之间的关系，分析当x为何值时，S取得最大值，并求出最大值.

分析本题属于由动点引发的动态题，题目涉及两问. 第（1）问求点N的坐标，需要过点N作两坐标轴的垂线，从而将问题转化为求线段的长，而求解因动点造成的线动问题，需要利用其中的运动参数来构建，即时间. 第（2）问实际上是求三角形面积与时间的关系，根据面积公式同样可以将面积问题转化为求解动线问题，后续与（1）问相似.

解答（1）如图2，过点N作x轴的垂线，设垂足为P. 根据勾股定理可知OB的长为5，分析可知点N在运动过程中NP始终与AB平行，则△OPN∽△OAB. 根据三角形相似的性质，可得■=■=■. 由条件可知OM=OA-AM=4-x，ON=1.25x，从而可求得OP=x，NP=■x，所以點N的坐标为x，■x.

（2）△OMN的面积可以表示为S■=■OM·NP，由（1）问知OM=4-x，NP=■x，所以S=-■（x-2）2+■. 分析可知，当x=2时，S取得最大值，且最大值为■.

策略总结？摇由点动引发的动态问题需要深入分析其中的变量参数，从中衍生线段长，构建关于变量参数的线段长代数式，然后将相应的几何问题转化为分析线段长. 对于涉及几何最值的动态问题，可以结合二次函数知识，利用函数的性质来加以探讨.

2. 以线动为依托，考查思维方式

线动必然会引起面积的变化，因此，将线动与面积分析相结合是其中较为特殊的一类动态问题. 该类问题的求解既需要分析几何特征，又需要采用代数运算分析的方式，因此对学生的思维能力要求较高.

例2？摇如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），二次函数y=■x2+h经过点C（0，1），现将经过点A的直线l绕着点A旋转，设其与二次函数相交于点P和点Q（P，Q为不同的两点），回答下列问题：

（1）试求h的值;

（2）请通过相关操作，计算△POQ面积的最小值.

分析本题是由直线l旋转衍生的动态问题，第（1）问求二次函数中h的值，已知二次函数经过点C，则只需将其坐标代入解析式即可. 第（2）问是求△POQ面积的最小值，可以利用直角坐标系中的面积模型，将问题转化为分析点坐标问题，然后借助函数性质求最值.

解答? （1）将C（0，1）代入y=■x2+h，可解得h=1.

（2）利用直角坐标系中的面积模型，△POQ的面积可以表示为S■=■OA·x■-x■. 设Pa，■a2+1，Qb，■b2+1，其中a<0，直线l的解析式为y=kx+2. 已知点P和点Q均在直线l上，所以■a2+1=ka+2，■b2+1=kb+2. 于是可解得b=-■. 将条件代入面积模型，可得S■=（-a）+-■，分析可知，（-a）+-■=-■+4≥4，所以S■≥4，即△POQ面积的最小值为4.

策略总结？摇分析以线动为依托的动态问题，可以设出含有动态参数的直线解析式，从而将问题整体视为普通的静态问题. 对于涉及几何图形、函数内容的动态问题，则需要基于几何知识、代数运算，采用数形结合的方式来构建解题思路.

3. 以折叠为载体，考查综合应用

图形折叠是初中数学的重要知识内容，同样也是动态问题形成的载体之一，该类问题融合了轴对称、图形全等、勾股定理等知识，旨在考查学生动态分析的能力，以及综合应用知识的能力. 关注图形的折叠过程，从中提炼出几何等量关系是问题解决的突破口.

例3 （2018杭州中考数学改编）如图4，折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上;②把纸片展开并铺平;③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上. 若AB=AD+2，EH=1，则AD=______.

分析本題是图形折叠型动态问题，图中的虚线均是由图形翻折所造成的，解题时需要根据折叠前后图形的轴对称性质来提炼条件. 题干分为三步，可以结合图形逐步分析.

第一步是翻折△ADE，点A落在了CD边上的点F处→△ADE和△FDE关于直线DE对称，AD=DF;

第二步是将图形展开→根据条件可知四边形ADFE为正方形;

第三步是翻折△CDG，点C落在直线AE上的点H处→△CDG和△HDG关于直线DG对称，DC=DH，HG=CG.

考虑到图中含有众多的直角三角形，求解AD的长可以考虑借助勾股定理来完成. AD是Rt△ADH中的一条直角边，于是只需要求出AH和DH的长度即可求出AD的长. 解题时需要注意的是，点H的具体位置不确定，需要分两种情形.

解答由条件知四边形ADFE为正方形，所以AD=AE=EF=DF.

①当点H在线段AE上时，根据上述折叠条件可知AH=AE-EH=AD-1，DH=DC=AB=AD+2，由勾股定理可得AH2+AD2=DH2，即（AD-1）2+AD2=（AD+2）2，又AD>0，所以AD=3+2■.

②当点H在EB上时，根据上述折叠条件可知AH=AE+EH=AD+1，DH=DC=AB=AD+2，由勾股定理可得AH2+AD2=DH2，即（AD+1）2+AD2=（AD+2）2，又AD>0，所以AD=3.

综上可知，AD的长为3+2■或3.

策略总结？摇图形折叠的过程中会产生点、线、面的变化，而折叠前后的这些几何元素之间存在相应的等量关系，如对应点关于折痕对称，对应线段长度相等，对应图形全等，因此解答时需要关注折叠过程，从中提炼几何条件. 求解线段长时，需要依托特殊图形的特殊定理来构建模型. 另外，分析时要尽量补全图形，利用虚线重构模型，为后续的分析提供模型支持.

总之，中考动态问题的构建方式是多样的，具有多种类型，求解时需要采取对应的解题策略，细致分析动态几何元素，把握其中的不变量、恒定规律，深入探讨关联条件，结合相应的定理、公式构建模型. 而在实际教学中，需要教师引导学生开展动态问题的读题训练、作图训练，提升学生条件转化分析、整体过程把握的能力.