画图 转化 讨论

    何华萍

    

    

    [摘? 要] 动点问题具有复合性的特点，涵盖多个知识点，在思维方面对学生的要求较高. 引导画图、动静转化、分类讨论的策略，能让学生找准解题“突破口”，切准解题“关键点”，提升解题“全面性”，从而高效地解决“动点问题”.

    [关键词] 初中数学;动点问题;解题指导

    动点问题对于初中生而言，具有一定的难度. 该问题一方面考查了图形变换中的知识点，另一方面涵盖了三角函数等知识，题型较为复杂，因此大部分学生不能完整地进行解答. 教师应当结合学生的实际学习情况，对学生进行针对性的指导，排除学生解答过程中出现的问题，帮助学生在掌握相关知识的同时，锻炼学生的解题能力. 动点问题具有复合性的特点，涵盖了多方面的知识，在思维方面对学生的要求较高，所以教师在课堂上应当为学生制定与其学习水平及理解能力相适应的指导，帮助学生攻克这一难关.

    引导画图——找准解题“突

    破口”

    初中数学中的动点问题均以几何问题为基础，因此面对这类问题时，应先将其化为几何问题，降低题目难度，并根据题目条件画出相应的几何图形，再以该图形为基础，有条理地想象动点的运动过程及图形发生的变化，同时将相应的变化反映到图形中. 这一过程锻炼了学生的理解能力及思维能力. 教师应当注重对学生思维能力的培养，引导学生养成良好的解题习惯，通过不同的练习锻炼学生的画图能力、抽象思维能力等，帮助学生有效地提升解题能力，使学生在解题时可以在较短的时间内找到突破口.

    例如，有这样一道题：“已知△ABC的三个顶点A，B，C均在同一个圆的圆周上，BC是该圆的直径，A为动点，且在圆周上运动. 当点A运动到什么位置时，该三角形为等腰三角形？同时求出△ABC的面积随着点A的运动而呈现的变化规律. ”对于这道题的解题指导，教师首先要让学生以题目条件为基础作图，并引导学生探索点A的运动情况——当点A在哪些位置时存在特殊情况，并根据上述情况探求三角形面积存在的规律，同时在图形中做出相应的变化，让学生直观地感受到随着动点的运动而带来的变化. 这样做，一方面能细化学生的解题过程;另一方面，能提升学生的实践动手操作能力.

    引导学生画图，能让学生有效地对“动点问题”进行正确审题，把抽象的“动点问题”形象化，这样自然能让他们快速地找到解决此类问题的突破口.

    动静转化——切准解题“关

    键点”

    “动点问题”的特点是静中有动、动中有静，因此，解决动点问题时，要引导学生通过动静结合的策略切准解题的关键点，以此达到高效解题之效.

    1. 在动中寻静，找到特殊点

    动点问题区别于其他问题的最大特点为“动”，在平面的基础上增添了变量，因此学生要随着动点的变化在脑海中构建相应的思路，这一步对学生而言存在较高的难度. 初中数学中的许多几何问题处于平面静态维度，思考方式并不复杂，动点问题同样以几何为基础，因此解决这类问题时应当参照普通几何问题以静制动，将不可控的动点问题转化为可以进行直接思考的静态问题. 教师要引导学生根据题目条件，在动点的变化中找到某一特殊位置，将看似复杂的动点问题转化成学生更容易理解的普通问题，引导學生在练习中提升解决问题的能力.

    例如，有这样一道题：“在正方形ABCD中，E是BC边上的一个动点，∠AEF是直角，正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF与EF交于点F，证明：AE=EF. ” 对于这道题，教师要引导学生先根据题意画出图形，并问学生：要如何证明无论E运动到哪一个位置，AE都与EF相等？学生结合过去所学的知识，想通过全等三角形的知识来证明，却因为E是一个动点，不能直接将其所在的线段作为解题条件而不知所措. 此时，教师要引导学生思考“当E运动到哪一个特殊位置时，会出现能够证明三角形全等的条件”. 学生收到提示后，很快便发现，当点E在BC的中点时，该动点将成为“静点”. 并可以进一步对该问题进行解答：在AB上截取BM=BE，连接EM，证明△AEM≌△EFC，由此得到AE=EF.

    可见，动中寻静的策略能让学生掌握解题思路，能帮助学生面对此类问题时可以切准解题的关键点，从而正确、快速地解题.

    2. 在以静制动中找到变量点

    将动点问题化为静态问题后，需要运用函数的图像体现动点的运动变化，并探究该函数所具有的内涵，以图形存在的变量为基础，构建与之相对应的函数关系，运用动态的目光观察相关变量的联系，以此破解该类问题.

    例如，有这样一道题：“有一只蚂蚁在扇形OAB（O为扇形所在圆的圆心）中从点O处开始，沿着整个扇形外沿移动，将蚂蚁的爬行时间设为t，蚂蚁与出发点的距离设为s，求s关于t的函数图像. ”在这道题中，当蚂蚁从点O运动到点A时，蚂蚁与原点O的距离s越来越大;当蚂蚁从点A运动到点B时，蚂蚁与原点O的距离s并未发生变化;当蚂蚁从点B运动到点O时，蚂蚁与原点O的距离s越来越小.

    从上述问题的分析过程中我们可以总结出相关规律，可以让学生将其应用到其他相似的题型之中. 如：在边长为4厘米的正方形ABCD中，P为动点，点P以每秒2厘米的速度从点A出发，沿A→B→C→D的方向，在正方形上运动，最终到达点D. 设点P运动了t秒时，△APD的面积为S，求S的变化规律.

    3. 在动静互换中找到隐含点

    当遇到求最值或特殊几何图形的动点问题时，动点一般来说都存在特殊位置形成的特殊的数量关系或图形当中. 所以解决此类动点问题，需要动静相互转换，这主要体现在要重点抓住图形变化时隐含的静止情况. 分析这一情况，能够将一般的问题特殊化，进而帮助学生理清动和静的内在关系. 除此之外，一些动点问题还可以利用理论逆推的方法来解决——理论逆推能够有效地找到结论成立的条件，进而快速解决问题. 因此，解决动点问题时，要注重抓住动点运动的特殊位置，以掌握好其运动规律.

    例如，有这样一道题：“在边长为2厘米的正方形ABCD中，对角线AC上有一动点P，BC的中点为Q，连接PQ与PB，在怎样的情况下，△PBQ的周长最小？”在△PBQ中，因为P为动点，因此PQ与PB的长度不确定. B，Q位于AC的同侧，所以可以以AC为对称轴，作点Q的对称点H（H与CD的中点重合），然后连接BH与AC交于点P，此时的点P就是满足条件的位置. 可以得到PQ=PH，所以PQ+PB=PH+PB≥BH. 所以△PBQ的最小周长为BH+BQ的长.

    在解決上述问题的过程中，也可以求出下面问题的具体答案：“如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4■，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点. 固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿BC方向运动（如图2），直到点D与点C重合时停止. 设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为D′E′F′G′，在运动过程中，四边形BD′G′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值;若不能，请说明理由.”

    可见，在解题的过程中，有效利用动静互换的方式，可以较好地对初中数学中的动点问题进行解决.

    分类讨论——提升解题“全

    面性”

    分类讨论是初中生在数学学习过程中经常用到的数学思想方法，这一数学思想方法在动点问题中同样重要，其原因在于动点运动到不同位置时，呈现出来的图形不一样，所以存在多种情况，需要分类讨论. 如动点运动到某个位置时，形成直角三角形，学生将分类讨论动点运动到哪些位置时出现直角. 大部分学生可以很快地想到一种解决方案，便专注地将这一思路写得尽善尽美，从而忽视了其他情况的存在. 因此，教师在课堂上应当潜移默化地让学生养成分类讨论的习惯，从而提升学生解题的完整度.

    例如，有这样一道题：“在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4■，∠B=45°. M与N为动点，M从点B出发向点C匀速运动，运动速度为每秒2个单位长度;N从点C出发向点D匀速运动，运动速度为每秒1个单位长度. M，N同时运动，假设运动了t秒，那么当t为多少时，△MNC是等腰三角形？”对于这道题，单纯地从图形出发，可以看出MC与MN较为相似，可能距离相等，因此大部分学生会将MC与MN作为等腰三角形中两条相等的边. 教学中，教师可以利用电子白板演示动点在图形中的运动路径，并随着动点的运动形成三种类型，引导学生对此展开讨论. 同时着重提醒学生在面对动点问题时，应尽量做多种方案的假设，力求得到最详尽的答案.

    综上所述，“动点问题”是初中数学中的重点问题，也是难点问题. 教学中，教师要基于学生的实际学习情况，找到最佳解决方法，让学生可以有效地解决“动点问题”. 学生通过这一过程，可以学会如何解决重点问题，从而提升解决问题的信心，获得更多直面中考的勇气和能力.