二次函数的图像及性质在初中教学中的几点思考
陈悦
[摘? 要] 文章结合2019年福建中考数学的第10题、第25题进行分析，分享在初中数学中教学二次函数的图像及性质的几点经验：培养学生动手作图能力;密切联系其他数学知识;注重渗透数学思想;合理利用信息技术.
[关键词] 二次函数的图像及性质;初中教学;数学思想
问题背景
从2017年福建省开始全省统一中考命题以后，二次函数的图像及性质就是考查的热点内容之一，而且往往会与其他数学知识点结合起来，考查学生解决数学问题的综合能力，对学生数学核心素养的要求比较高. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提到，会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质. 初中阶段学生所习得的二次函数的概念，将为高中阶段进一步学习函数做铺垫. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提到，用函数观点理解方程和不等式是数学的基本思想方法. 借助二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 二次函数的图像及性质的学习，如果能够让学生感悟到这些知识与技能背后更为本质的东西，将对学生掌握数形结合思想、分类思想、转化思想产生积极的意义.
案例分析
例题1? （2019福建中考第10题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（m，n），B（0，y■），C（3-m，n），D（■，y■），E（2，y■）五点，则y■，y■，y■的大小关系是（? ? ?？摇）
A. y■<y■<y■？摇 =""
C. y■<y■<y■？摇 =""
评析? 本题主要考查了二次函数的图像及性质、二次函数的对称轴以及轴对称的性质. 因为二次函数的关系式中a是大于0的，所以函数的开口方向向上. 但仅凭借这个条件还不能大致确定出函数的图像，所以我们需要从题目给的五个坐标入手. 本题要比较的是点B，D，E的纵坐标，这三个点的横坐标是已知的. 其中，A，C两点的横、纵坐标都是用字母表示. 仔细观察，发现A，C两点的纵坐标是相同的，都等于n. 所以我们可以得出一个重要的结论，即这两个点在二次函数的图像中是关于对称轴成轴对称的. 根据轴对称的性质，这两个点的横坐标到对称轴的距离相等，即可得到：x=■=■，从而得出二次函数的对称轴x=■，此时就可以画出二次函数的大致图像了. 利用几何画板去模拟出这个函数的图像，如图1所示. 把B，D，E三点的横坐标输入，就可以把这三个点直接在函数图像中表示出来了. 通过观察图像，可以很容易发现B点的纵坐标大于E点的纵坐标大于D点的纵坐标，即可得出：y2<y3<y1.
观察这个题目，我们可以发现其中所渗透的数学思想是很丰富的. 处理这个题目的关键是确定出二次函数的对称轴，并借助二次函数的图像来比较B，D，E三点的纵坐标，是把代数问题转化为几何问题来进行解决，体现了数形结合的数学思想和转化的数学思想. 对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），可以借助二次项系数的正负判断二次函数图像的开口方向，当a>0？圳开口向上;当a<0？圳开口向下. 因为a>0，所以开口向上，体现了分类的数学思想. 数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在教学中应该尽力反映和体现数学思想，让学生了解和体会数学思想，提高学生的数学素养.
例题2? （2019福建中考第25题）已知抛物线y=ax2+bx+c（b<0）与x轴只有一个公共点.
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a，c满足的关系式;
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1-k与抛物线交于点B，C，直线BD垂直于直线y=-1，垂足为点D.当k=0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式;
②证明：对于每个给定的实数k，都有A，D，C三点共线.
评析? 本题是一道代数与几何综合的问题，主要考查了二次函数、一次函数的图像及性质，二次函数的顶点式，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等基础知识，综合考查学生对初中阶段函数方面的基础知识的掌握水平. 要求学生对二次函数、一次函数的图像有比较深刻的领悟，要能够把相关的代数问题转化成数学符号，并利用函数的图像对其中所包含的图形元素进行分析.
本题的第（1）问，已知抛物线与x轴的公共点只有一个，交点坐标（2，0），可以推出二次函数的顶点坐标为（2，0）. 可以代入二次函数的顶点式，得到y=a（x-2）2=ax2-4ax+4a，所以c=4a.
本题第（2）问的①小问要求点A的坐标和抛物线的解析式. 已知直线l的解析式y=kx+1-k可以变形为y=k（x-1）+1，会过定点（1，1）. 当k=0时，直线l变为y=1，平行于x轴，与y轴的交点为（0，1）. 因为（0，1）也是抛物线上的一点，所以c=1. 又因为△ABC为等腰直角三角形，且A，B，C三点都在抛物线上，由于二次函数的图像具有对称性，所以点A为抛物线的顶点. 因为c=1，所以顶点坐标为A（1，0）. 设二次函数的解析式为y=a（x-1）2，把（0，1）代入解析式可得a=1，抛物线的解析式：y=x2-2x+1.
本题第（2）问的②小问要求证明A，D，C三点共线，这个问题主要考查了一次函数、二次函数的图像及性质. 这个题目的难度较大，首先本题没有配图，需要学生自己动手作出函数的图像;其次对学生的数学阅读能力要求比较高，要能够把相关的数學元素经过理解、表征之后呈现出来;最后，要能够借助函数的图像，把几何问题转化为相关的代数问题进行解决. 因为直线l与抛物线相交于B，C两点，可以联立方程组，解得点B横坐标：x■=■（2+k-■），点C的横坐标：x■=■（2+k+■）. 因为点C在一次函数的图像上，代入后可以得到点C的坐标为1+■，1+■，画出函数的大致图像之后，如图2所示，可以观察得到，直线BD垂直于直线y=-1，点B和D的横坐标相同，点D的纵坐标为-1，所以D1+■，-1. 已求得A（1，0），可以得到k■=■=■，同理可得k■=■，所以k■=k■，点A，C，D三点共线.</y3</y■</y■
在初中教学的具体实践
1. 在二次函数的图像及性质的教学中培养学生的动手作图能力
在二次函数的图像及性质的教学中，教师应该充分给学生动手作图的时间，让学生掌握描点法的基本步骤. 教师应通过创设具有实际背景的问题，让学生在理解两个变量的基础之上，通过列表、计算、描点等过程，画出二次函数的大致图像. 动手作图是一种数学实践活动，也是学生自主学习的重要方法. 学生在参与数学活动的过程中，不仅仅能够促进其对二次函数的掌握，还可以帮助学生获得数学的基本活动经验.
2. 在二次函数的图像及性质的教学中密切联系其他数学知识
在初中阶段，对二次函数的图像及性质的学习是基于笛卡儿坐标系进行的，其实质就是把一些几何问题转化为代数问题. 在问题转化的过程中，往往需要借助到其他的数学知识，同时它并不是单一的数学方法的应用，可能涉及多种数学方法，因此对学生数学素养的要求比较高. 另一方面，在二次函数的图像及性质的学习中就需要用到其他的数学知识. 例如，在研究二次函数轴对称性的时候，就需要用到轴对称的性质.
3. 在二次函数的图像及性质教学中应注重渗透数学思想
数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和文化在更高層次上的抽象与概括. 在二次函数的图像及性质教学中，我们也可以充分挖掘其中所蕴含的数学思想，让学生在教学实践活动中，通过独立思考，动手操作，合作交流，进一步感悟数学思想. 特别是二次函数的图像及性质所蕴含的函数思想，可以说是为高中阶段学习函数做了很重要的铺垫. 依据解析式可以描绘出图像，从图像特征又可以读出函数的形态结构. 解决问题时，更重要的是利用函数的形态结构，量化地处理问题. 因此，函数形态结构的架构在初中阶段可以慢慢渗透，为高中的学习打下基础.
4. 在二次函数的图像及性质教学中合理运用信息技术
在二次函数的图像及性质教学中，合理地利用信息技术进行辅助教学，可以帮助学生直观地获取数学知识，也有助于提高学生的课堂效率. 比如，在研究二次函数的增减性时，可以结合几何画板动态模拟两个变量之间的变化情况，这样将帮助学生更加直观地感受二次函数的增减性. 又比如，在探究二次项系数a与二次函数图像的开口大小时，如果能够结合几何画板，学生就能更有效地、更快速地去理解它们之间的关系，这也有助于提高课堂效率.
