一种初始相位函数估计的DDTFA方法及其应用
李蓉 李付豪 田莉莉 刘坚
摘要：针对数据驱动时频分析方法（Data-Driven Time-Frequency Analysis，DDTFA）的初始相位函数估计直接影响算法的收敛性及分解精度的问题，将多尺度线调频基稀疏分解方法（Multi-Scale Chirplet Sparse Decomposition，MSCSD）引入DDTFA的初始相位函数估计中，提出了MSCSD-DDTFA方法，并应用于变转速齿轮故障诊断中。MSCSD方法采用分段线性拟合的思想，可从低信噪比信号中精确地估计出信号的瞬时频率，进而求取相位函数；DDTFA方法则可根据MSCSD估计的相位函数不失真地分离出时变非平稳信号分量；最后，可根据MSCSD估计出的瞬时频率对信号分量进行阶次包络分析，获取阶次包络谱以诊断变转速齿轮故障。算法仿真和应用实例表明：该方法可准确分离出信号中的时变非平稳信号分量，并提取变转速齿轮故障特征。
关键词：故障诊断；数据驱动时频分析；多尺度线调频基；稀疏分解；匹配追踪
中图分类号：TH165+.3；TN911.7 文献标志码：A 文章编号1004-4523（2018）01-0148-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.018
引言
齿轮传动是机械设备中常见的传动方式。机械设备中的齿轮因工况、负载等改变常处于变转速下运行。变转速机械振动信号中蕴含了丰富的动力学特性与故障征兆信息，该信息对于机械设备的状态监测和早期故障的诊断至关重要。当齿轮处于变转速下运行时，其振动信号为时变非平稳信号，此时，基于平稳假设的信号分析方法不再适用。
对于时变非平稳信号的分析，较为常用的方法主要有时频分析方法。经验模态分解（EmpiricalMode Decomposition，EMD）方法因无需预设基函数，且信号分解效果优于小波分析，因而成为了自适应时频分析方法中一种重要的方法并得到广泛的应用。EMD方法的本质是通过不断地对信号进行筛分，将信号从高频到低频分解为有限个具有物理意义的固有模式函数（Intrinsic Mode Function，IMF）及趋势项之和。但EMD方法缺少理论基础，且存在模态混叠现象。为克服EMD的模态混叠问题，wu和Huang提出了总体平均经验模态分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）方法。EEMD方法利用高斯白噪声具有频率均匀分布的统计特性，使加入噪声后的信号在不同尺度上具有连续性，因此有效解决了模式混叠问题。但EEMD方法在引入白噪声的同时，也产生了一系列问题，如关键参数的取值、高耗时以及重构信号中残余噪声问题。
受EMD方法和压缩感知理论的启发，HOU T Y和SHI Zuoqiang新近提出了一种基于数据的自适应时频分析方法——数据驱动时频分析（DDTFA）方法，其主要思想是将信号分解转化为最优化问题，在优化过程中实现信号的自适应分解。与EMD和EEMD方法相比，DDTFA方法具有明确的理论基础，无端点效应和模态混迭间题，且可从低信噪比信号中精确地提取信号中的时变非平稳信号。然而，DDTFA方法因采用了高斯一牛顿迭代算法，其收敛性及运算结果依赖于初始相位函数的选取，但DDTFA方法分解所需初始相位函数并非需要与理论值完全一致，只需在一定范围内，该方法均能收敛。因而，如何精确地估计出信号的初始相位函数是DDTFA方法应用于机械设备，尤其是变工况机械设备故障诊断的关键。
针对DDTFA方法的初始相位函数选取问题，文献基于精确一维搜索中的等间隔搜索原理，提出了一种基于分辨率搜索初值分析方法以实现初始相位函数的自适应选取，并将其应用于变转速齿轮故障诊断中，取得了一定的效果。文献以分解后残余量的能量值最小为目标函数，采用遗传算法对初始相位函数进行优化求解，可自适应地选择合适的初始相位函数。上述两种DDTFA初始相位函数估计方法均为基于迭代搜索的智能方法，由于近年来基于时频分析的初始相位函数估计方法能有效地估计初始相位函数，以满足时变非平稳信号的需要，因此本文拟采用基于时频分析的初始相位函数估计方法，与DDTFA相结合。常见的可用于初始相位函数估计的时频分析方法有：同步压缩方法（Synchrosqueezing Transform，SST），参数化时频分析方法（GeneralParameterized Time-Frequency Transform，GPTFT）等。同步压缩方法是一种通过重分配和挤压的方法，将时间一尺度平面转换为时间-频率平面的后处理方法。该方法能较准确在时频谱中提取脊线，但分辨率和对噪声的鲁棒性有待提升。新近提出的基于参数化时频分析方法的瞬时频率估计方法在瞬时频率和相位函数估计方面取得了较好的效果，但对不同类型的信号，其时频分析效果受核函数选取的影响。随着核函数库的不断丰富，该方法的适用范围将不断扩展。与上述两种基于时频分析方法的初始相位函数估计方法不同，本文引入多尺度线调频基稀疏分解（MSCSD）來解决DDTFA初始相位函数估计问题。
MSCSD方法采用分段拟合的思想，通过将信号分解成一系列的动态支撑区，每个动态支撑区用一个多尺度线调频基进行拟合，可精确估计信号的瞬时频率和相位函数，且抗噪性较好。而DDTFA方法则可根据MSCSD估计的相位函数不失真地分析出时变非平稳信号分量，因此，综合这两种方法的优点，提出MSCSD-DDTFA方法，并将其应用于变转速齿轮故障诊断中。该方法先采用MSCSD方法对时变非平稳信号进行分析，估计出瞬时频率和相位函数；再将获取的相位函数作为DDTFA的初始相位函数，采用DDTFA方法对信号进行分析，求取时变非平稳信号分量；最后，根据MSCSD估计的瞬时频率对时变非平稳信号分量进行阶次包络分析以获取变转速齿轮故障特征信息。算法仿真和应用实例表明，该方法可有效分离各时变信号成分和提取变转速齿轮故障特征，非常适合于时变非平稳信号的分析。
1数据驱动时频分析方法
数据驱动时频分析方法是在EMD方法和压缩感知理论的启发下所提出的一种自适应信号分解方法。DDTFA方法主要包含两个部分：自适应过完备字典库的建立；寻找信号在自适应过完备字典库中的最稀疏表示，即最优化问题。
DDTFA方法选取的过完备字典库为
由上可知，DDTFA方法采用了高斯一牛顿迭代算法，需预设初始相位函数θ0。由于高斯一牛顿迭代算法对初始相位函数的选取较为敏感，初始相位函数的估计精度将直接影响DDTFA方法的收敛性及其分解精度，因此，DDTFA方法初始相位函数的设置需要较高的估计精度。
2多尺度线调频基稀疏分解方法
多尺度线调频基稀疏分解方法是匹配追踪算法与分段拟合思想的结合，采用多尺度线调频基将频率呈曲线变化的非平稳信号进行分段线性拟合，可精确估计信号的瞬时频率和相位。
MSCSD方法的基本原理为：对于任意信号s（t），可以将其展开为N个基函数的线性组合
式（8）定义的多尺度线调频基在动态分析时间段内的瞬时频率fz为aμ+2bμt。通过多尺度线调频基对信号进行逐段投影分析，计算获得每个时间分析段J内的最大投影系数βI和对应的多尺度线调频基hμ，bμ，I（t）。
为了使整个分析时间段内的残余信号能量最小，需采用合适的方法连接动态时间支撑区，该连接方法使得在整个分析时间段内分解信号的总能量最大，即
（12）式中
n代表第n次分解；Пn覆盖整个分析时间段且不重叠。通过上面对动态时间支撑区的连接可以得到分解信号c1，至此完成了第1次分解。原信号减去分解信号即为残余信号，将残余信号作为下一轮分解的分析信号，直至残余信号的能量小于一定的阈值便停止分解。最终得到的时域波形Sz即为每个动态支撑区迭代结束后的cI（t）连接的集合。
3算法步骤
MSCSD方法采用分段拟合的思想将分析信号分成若干动态支撑段，每段采用一个多尺度线调频基进行表示，可从低信噪比信号中准确地估计出信号的瞬时频率，进而估计出载波信号及其相位函数，然而，MSCSD方法求取的信号存在较大的幅值失真；而DDTFA方法以MSCSD估计的相位函数为预设的初始相位函数，可从低信噪比信号中分离出时变非平稳信号分量，且幅值失真小。因此，针对时变非平稳信号，采用MSCSD方法以解决DDTFA初始相位函数估计问题，将MSCSD和DDTFA两个方法相结合，优势互补，提出MSCSD-DDTFA方法，并將该方法用于变转速齿轮故障诊断中。
该方法的具体计算步骤如下：
（1）采用MSCSD方法对待分析信号s进行分析，获取信号的瞬时频率fz和时域波形Sz；
（2）对求出信号Sz进行分析，获取其相位函数θ（t）；
（3）以相位函数θ（t）作为初始相位函数，采用DDTFA方法对待分析信号s进行分析，获取时变非平稳信号分量s；
（4）根据MSCSD估计的瞬时频率fz求取转频信号fr=（fz）/NT，NT为齿轮齿数；
（5）采用转频信号fr对时变非平稳信号分量S进行阶次包络分析，根据阶次包络谱诊断变转速齿轮故障。
4算法仿真
4.1单分量AM-FM信号分析
为验证本文方法提取变转速齿轮振动信号的有效性，先设置单分量调幅调频仿真信号S1（t）。信号S1（t）的模拟齿数为20，载波信号的频率为调制信号频率的20倍，即载波信号被1倍转频调制，其表达式如式（13）所示。采样频率为4096Hz，采样时长为1s，仿真信号S1（t）的时域波形如图1所示。
由于MSCSD与DDTFA方法均具有较强的抗噪能力，因此，为模拟强噪声的干扰，对原信号S1（t）加入高斯白噪声，其信噪比为-4dB，加噪后信号的时域波形如图2所示。由图2可看出，信号分量S1（t）已被完全淹没在噪声中。
分别采用MSCSD，SST及GPTFT三种方法对图1和图2所示仿真信号进行分析，估计出载波信号的瞬时频率并求瞬时频率估计均方根误差（Root-Mean-Square Error，RMSE），结果分别如图3和表1所示。由图3（a）和（b）可知，MSCSD估计出的载波信号瞬时频率曲线与载波信号的实际理论频率曲线基本重合，而SST和GPTFT估计出的载波信号瞬时频率曲线与理论瞬时频率曲线差别较大，该差别在图3（b）信噪比为-4dB的加噪信号中尤为明显。由图3、表1可知：MSCSD方法可在强背景噪声下有效估计出单分量AM-FM信号的瞬时频率曲线，且效果优于SST和GPTFT。
采用MSCSD方法对上述加噪仿真信号S1（t）求取的相位函数与仿真信号S1（t）的理论相位函数对比，如图4所示。由图可看出，实线与虚线基本重合，说明针对加噪单分量AM-FM信号MSCSD估计出的相位函数具有极高的精度。
将图4所示相位函数作为初始相位函数，采用DDTFA方法对图2所示加噪仿真信号进行分析，分解出的信号分量S1（t）及其误差如图5所示。
为进一步验证MSCSD-DDTFA方法的分解精度，采用EEMD方法对图2加噪仿真信号进行分析，估计出的信号分量S'1（t）的时域波形及其估计误差如图6所示。由图5和6可知：针对图2加噪单分量AM-FM信号，MSCSD-DDTFA分解精度优于EEMD。
为进一步验证MSCSD-DDTFA方法的有效性，对其分解出的图5（a）所示信号分量进行阶次包络谱分析，得到的阶次包络谱如图7所示。由图7可知，1倍转频阶次Or处出现了明显的峰值，与式（13）仿真信号设置的1倍调制特征相符，验证了本文提出的MSCSD-DDTFA方法能有效对低信噪比的单分量AM-FM信号进行分析，且精度优于EE-MD。
4.2多分量AM—FM信号分析
为验证本方法对于多分量调幅调频信号的有效性，设置由两个幅值和频率均相近的调幅调频信号S2（t），其表达式如下式所示
（14）采样频率为4096Hz，采样时长为0.5s，两个分量及合成信号S2（t）的波形依次如图8所示。采用MSCSD对S2（t）进行初始相位函数的估计，结果如图9所示。由图9可看出，两个分量的估计相位函数与理论相位函数重合度较高，说明MSCSD可有效估计多分量AM-FM信号的初始相位函数，且精度较高。为进一步验证MSCSD-DDTFA对多分量AM-FM信号的分解有效性，分别运用MSCSD-DDTFA和理论相位函数一DDTFA方法对仿真信号S2（t）进行分析，结果如图10所示。由图10可看出，MSCSD-DDTFA与已知理论初始相位函数的DDTFA的分解精度极为接近，经计算，均方根误差依次为0.073548和0.045285，存在一定差距，但依然具有较高的分解精度。考虑实际工程应用中，采集到的时变非平稳信号的理论初始相位函数未知，因此本文提出的MSCSD方法可有效解决该情况下DDTFA初始相位函数选取问题，适用于多分量AM-FM信号的分析。
5应用实例
为验证本文方法对变转速齿轮故障诊断的有效性，本节将采用实测变转速断齿齿轮振动信号进行分析，并与SST-DDTFA及GPTFT-DDTFA方法进行对比。
试验台为单级传动齿轮箱，如图11所示。试验齿轮为正齿轮，主动轴齿轮与从动轴齿轮齿数分别为55和75°为模拟齿轮故障，在主动轴的齿轮上整体切割掉一个齿，以模拟齿轮断齿故障。试验用LMS数据采集仪拾取齿轮箱的振动加速度信号，同时，在主动轴采用光电式转速传感器采集转速信号，以便進行对比研究。
试验时采样频率为4096Hz，采样时长为1s，齿轮箱处于变转速下运行，采集到的齿轮箱振动加速度信号的时域波形如图12。
采用MSCSD方法对图12所示实测信号进行分析，得到啮合频率如图13所示。图13中的虚线为MSCSD方法估计出的啮合频率，实线为通过光电转速传感器测取计算获得的啮合频率，由图可看出，实线与虚线基本重合。
基于MSCSD估计的啮合频率曲线，求取相位函数如图14所示，以该相位函数为初始相位函数，采用DDTFA方法对图12所示变转速断齿振动加速度信号进行分析，求取的信号分量如图15所示。采用阶次包络分析方法对分解出的信号分量进行分析，得到的阶次包络谱如图16（a）所示。由图16（a）可看出，在2倍转频阶次处出现了明显的峰值，说明信号的调制频率被2倍转频所调制，与齿轮断齿时的转频调制故障特征相符，验证了本文所提出的MSCSD-DDTFA方法对实测变转速齿轮故障诊断的有效性。
同样，分别采用SST-DDTFA方法及GPTFT-DDTFA方法对该实测变转速断齿信号进行分析，估计出的实测啮合信号的阶次包络谱分别如图16（b）和（c）所示。由图16（b）可知：SST-DDTFA所得啮合信号的阶次包络谱故障特征被噪声干扰，虽然在2倍转频阶次处也出现了峰值，但不及MSCSD-DDTFA的诊断结果明显。而由图16（c）可知：GPTFT-DDTFA所得啮合信号的阶次包络谱，故障特征被噪声淹没，未能有效诊断出故障特征。
6结论
针对数据驱动时频分析方法（DDTFA）的初始相位函数估计问题，本文引入了基于多尺度线调频基稀疏分解（MSCSD）方法。MSCSD方法可精确估计信号的瞬时频率和相位函数，且抗噪性较好，而DDTFA方法则可根据MSCSD估计的相位函数不失真地分析出时变非平稳信号分量，因此将MSCSD与DDTFA方法相结合，提出了MSCSD-DDTFA方法，并将其应用于变转速齿轮故障诊断中，主要结论如下：
（1）MSCSD方法可有效估计单分量和多分量调幅调频信号的相位函数，且基于MSCSD的相位函数估计具有较高的精度和良好的抗噪性，可较好解决DDTFA方法的初始相位函数估计问题。
（2）MSCSD-DDTFA方法能有效地分解单分量和多分量调幅调频信号，且分析精度优于EEMD方法，较适合于时变非平稳信号的分析。
（3）将MSCSD-DDTFA用于变转速齿轮故障振动信号的分析，结果表明该方法能有效提取齿轮故障振动信号分量，并提取其故障特征。
由于MSCSD不能完全准确地估计出各种时变非平稳信号的初始相位函数，针对频率段重合的多分量时变非平稳信号，MSCSD-DDTFA如何提高分解精度和计算效率，是今后需要研究的重点。
摘要：针对数据驱动时频分析方法（Data-Driven Time-Frequency Analysis，DDTFA）的初始相位函数估计直接影响算法的收敛性及分解精度的问题，将多尺度线调频基稀疏分解方法（Multi-Scale Chirplet Sparse Decomposition，MSCSD）引入DDTFA的初始相位函数估计中，提出了MSCSD-DDTFA方法，并应用于变转速齿轮故障诊断中。MSCSD方法采用分段线性拟合的思想，可从低信噪比信号中精确地估计出信号的瞬时频率，进而求取相位函数；DDTFA方法则可根据MSCSD估计的相位函数不失真地分离出时变非平稳信号分量；最后，可根据MSCSD估计出的瞬时频率对信号分量进行阶次包络分析，获取阶次包络谱以诊断变转速齿轮故障。算法仿真和应用实例表明：该方法可准确分离出信号中的时变非平稳信号分量，并提取变转速齿轮故障特征。
关键词：故障诊断；数据驱动时频分析；多尺度线调频基；稀疏分解；匹配追踪
中图分类号：TH165+.3；TN911.7 文献标志码：A 文章编号1004-4523（2018）01-0148-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.018
引言
齿轮传动是机械设备中常见的传动方式。机械设备中的齿轮因工况、负载等改变常处于变转速下运行。变转速机械振动信号中蕴含了丰富的动力学特性与故障征兆信息，该信息对于机械设备的状态监测和早期故障的诊断至关重要。当齿轮处于变转速下运行时，其振动信号为时变非平稳信号，此时，基于平稳假设的信号分析方法不再适用。
对于时变非平稳信号的分析，较为常用的方法主要有时频分析方法。经验模态分解（EmpiricalMode Decomposition，EMD）方法因无需预设基函数，且信号分解效果优于小波分析，因而成为了自适应时频分析方法中一种重要的方法并得到广泛的应用。EMD方法的本质是通过不断地对信号进行筛分，将信号从高频到低频分解为有限个具有物理意义的固有模式函数（Intrinsic Mode Function，IMF）及趋势项之和。但EMD方法缺少理论基础，且存在模态混叠现象。为克服EMD的模态混叠问题，wu和Huang提出了总体平均经验模态分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）方法。EEMD方法利用高斯白噪声具有频率均匀分布的统计特性，使加入噪声后的信号在不同尺度上具有连续性，因此有效解决了模式混叠问题。但EEMD方法在引入白噪声的同时，也产生了一系列问题，如关键参数的取值、高耗时以及重构信号中残余噪声问题。
受EMD方法和压缩感知理论的启发，HOU T Y和SHI Zuoqiang新近提出了一种基于数据的自适应时频分析方法——数据驱动时频分析（DDTFA）方法，其主要思想是将信号分解转化为最优化问题，在优化过程中实现信号的自适应分解。与EMD和EEMD方法相比，DDTFA方法具有明确的理论基础，无端点效应和模态混迭间题，且可从低信噪比信号中精确地提取信号中的时变非平稳信号。然而，DDTFA方法因采用了高斯一牛顿迭代算法，其收敛性及运算结果依赖于初始相位函数的选取，但DDTFA方法分解所需初始相位函数并非需要与理论值完全一致，只需在一定范围内，该方法均能收敛。因而，如何精确地估计出信号的初始相位函数是DDTFA方法应用于机械设备，尤其是变工况机械设备故障诊断的关键。
针对DDTFA方法的初始相位函数选取问题，文献基于精确一维搜索中的等间隔搜索原理，提出了一种基于分辨率搜索初值分析方法以实现初始相位函数的自适应选取，并将其应用于变转速齿轮故障诊断中，取得了一定的效果。文献以分解后残余量的能量值最小为目标函数，采用遗传算法对初始相位函数进行优化求解，可自适应地选择合适的初始相位函数。上述两种DDTFA初始相位函数估计方法均为基于迭代搜索的智能方法，由于近年来基于时频分析的初始相位函数估计方法能有效地估计初始相位函数，以满足时变非平稳信号的需要，因此本文拟采用基于时频分析的初始相位函数估计方法，与DDTFA相结合。常见的可用于初始相位函数估计的时频分析方法有：同步压缩方法（Synchrosqueezing Transform，SST），参数化时频分析方法（GeneralParameterized Time-Frequency Transform，GPTFT）等。同步压缩方法是一种通过重分配和挤压的方法，将时间一尺度平面转换为时间-频率平面的后处理方法。该方法能较准确在时频谱中提取脊线，但分辨率和对噪声的鲁棒性有待提升。新近提出的基于参数化时频分析方法的瞬时频率估计方法在瞬时频率和相位函数估计方面取得了较好的效果，但对不同类型的信号，其时频分析效果受核函数选取的影响。随着核函数库的不断丰富，该方法的适用范围将不断扩展。与上述两种基于时频分析方法的初始相位函数估计方法不同，本文引入多尺度线调频基稀疏分解（MSCSD）來解决DDTFA初始相位函数估计问题。
MSCSD方法采用分段拟合的思想，通过将信号分解成一系列的动态支撑区，每个动态支撑区用一个多尺度线调频基进行拟合，可精确估计信号的瞬时频率和相位函数，且抗噪性较好。而DDTFA方法则可根据MSCSD估计的相位函数不失真地分析出时变非平稳信号分量，因此，综合这两种方法的优点，提出MSCSD-DDTFA方法，并将其应用于变转速齿轮故障诊断中。该方法先采用MSCSD方法对时变非平稳信号进行分析，估计出瞬时频率和相位函数；再将获取的相位函数作为DDTFA的初始相位函数，采用DDTFA方法对信号进行分析，求取时变非平稳信号分量；最后，根据MSCSD估计的瞬时频率对时变非平稳信号分量进行阶次包络分析以获取变转速齿轮故障特征信息。算法仿真和应用实例表明，该方法可有效分离各时变信号成分和提取变转速齿轮故障特征，非常适合于时变非平稳信号的分析。
1数据驱动时频分析方法
数据驱动时频分析方法是在EMD方法和压缩感知理论的启发下所提出的一种自适应信号分解方法。DDTFA方法主要包含两个部分：自适应过完备字典库的建立；寻找信号在自适应过完备字典库中的最稀疏表示，即最优化问题。
DDTFA方法选取的过完备字典库为
由上可知，DDTFA方法采用了高斯一牛顿迭代算法，需预设初始相位函数θ0。由于高斯一牛顿迭代算法对初始相位函数的选取较为敏感，初始相位函数的估计精度将直接影响DDTFA方法的收敛性及其分解精度，因此，DDTFA方法初始相位函数的设置需要较高的估计精度。
2多尺度线调频基稀疏分解方法
多尺度线调频基稀疏分解方法是匹配追踪算法与分段拟合思想的结合，采用多尺度线调频基将频率呈曲线变化的非平稳信号进行分段线性拟合，可精确估计信号的瞬时频率和相位。
MSCSD方法的基本原理为：对于任意信号s（t），可以将其展开为N个基函数的线性组合
式（8）定义的多尺度线调频基在动态分析时间段内的瞬时频率fz为aμ+2bμt。通过多尺度线调频基对信号进行逐段投影分析，计算获得每个时间分析段J内的最大投影系数βI和对应的多尺度线调频基hμ，bμ，I（t）。
为了使整个分析时间段内的残余信号能量最小，需采用合适的方法连接动态时间支撑区，该连接方法使得在整个分析时间段内分解信号的总能量最大，即
（12）式中
n代表第n次分解；Пn覆盖整个分析时间段且不重叠。通过上面对动态时间支撑区的连接可以得到分解信号c1，至此完成了第1次分解。原信号减去分解信号即为残余信号，将残余信号作为下一轮分解的分析信号，直至残余信号的能量小于一定的阈值便停止分解。最终得到的时域波形Sz即为每个动态支撑区迭代结束后的cI（t）连接的集合。
3算法步骤
MSCSD方法采用分段拟合的思想将分析信号分成若干动态支撑段，每段采用一个多尺度线调频基进行表示，可从低信噪比信号中准确地估计出信号的瞬时频率，进而估计出载波信号及其相位函数，然而，MSCSD方法求取的信号存在较大的幅值失真；而DDTFA方法以MSCSD估计的相位函数为预设的初始相位函数，可从低信噪比信号中分离出时变非平稳信号分量，且幅值失真小。因此，针对时变非平稳信号，采用MSCSD方法以解决DDTFA初始相位函数估计问题，将MSCSD和DDTFA两个方法相结合，优势互补，提出MSCSD-DDTFA方法，并將该方法用于变转速齿轮故障诊断中。
该方法的具体计算步骤如下：
（1）采用MSCSD方法对待分析信号s进行分析，获取信号的瞬时频率fz和时域波形Sz；
（2）对求出信号Sz进行分析，获取其相位函数θ（t）；
（3）以相位函数θ（t）作为初始相位函数，采用DDTFA方法对待分析信号s进行分析，获取时变非平稳信号分量s；
（4）根据MSCSD估计的瞬时频率fz求取转频信号fr=（fz）/NT，NT为齿轮齿数；
（5）采用转频信号fr对时变非平稳信号分量S进行阶次包络分析，根据阶次包络谱诊断变转速齿轮故障。
4算法仿真
4.1单分量AM-FM信号分析
为验证本文方法提取变转速齿轮振动信号的有效性，先设置单分量调幅调频仿真信号S1（t）。信号S1（t）的模拟齿数为20，载波信号的频率为调制信号频率的20倍，即载波信号被1倍转频调制，其表达式如式（13）所示。采样频率为4096Hz，采样时长为1s，仿真信号S1（t）的时域波形如图1所示。
由于MSCSD与DDTFA方法均具有较强的抗噪能力，因此，为模拟强噪声的干扰，对原信号S1（t）加入高斯白噪声，其信噪比为-4dB，加噪后信号的时域波形如图2所示。由图2可看出，信号分量S1（t）已被完全淹没在噪声中。
分别采用MSCSD，SST及GPTFT三种方法对图1和图2所示仿真信号进行分析，估计出载波信号的瞬时频率并求瞬时频率估计均方根误差（Root-Mean-Square Error，RMSE），结果分别如图3和表1所示。由图3（a）和（b）可知，MSCSD估计出的载波信号瞬时频率曲线与载波信号的实际理论频率曲线基本重合，而SST和GPTFT估计出的载波信号瞬时频率曲线与理论瞬时频率曲线差别较大，该差别在图3（b）信噪比为-4dB的加噪信号中尤为明显。由图3、表1可知：MSCSD方法可在强背景噪声下有效估计出单分量AM-FM信号的瞬时频率曲线，且效果优于SST和GPTFT。
采用MSCSD方法对上述加噪仿真信号S1（t）求取的相位函数与仿真信号S1（t）的理论相位函数对比，如图4所示。由图可看出，实线与虚线基本重合，说明针对加噪单分量AM-FM信号MSCSD估计出的相位函数具有极高的精度。
将图4所示相位函数作为初始相位函数，采用DDTFA方法对图2所示加噪仿真信号进行分析，分解出的信号分量S1（t）及其误差如图5所示。
为进一步验证MSCSD-DDTFA方法的分解精度，采用EEMD方法对图2加噪仿真信号进行分析，估计出的信号分量S'1（t）的时域波形及其估计误差如图6所示。由图5和6可知：针对图2加噪单分量AM-FM信号，MSCSD-DDTFA分解精度优于EEMD。
为进一步验证MSCSD-DDTFA方法的有效性，对其分解出的图5（a）所示信号分量进行阶次包络谱分析，得到的阶次包络谱如图7所示。由图7可知，1倍转频阶次Or处出现了明显的峰值，与式（13）仿真信号设置的1倍调制特征相符，验证了本文提出的MSCSD-DDTFA方法能有效对低信噪比的单分量AM-FM信号进行分析，且精度优于EE-MD。
4.2多分量AM—FM信号分析
为验证本方法对于多分量调幅调频信号的有效性，设置由两个幅值和频率均相近的调幅调频信号S2（t），其表达式如下式所示
（14）采样频率为4096Hz，采样时长为0.5s，两个分量及合成信号S2（t）的波形依次如图8所示。采用MSCSD对S2（t）进行初始相位函数的估计，结果如图9所示。由图9可看出，两个分量的估计相位函数与理论相位函数重合度较高，说明MSCSD可有效估计多分量AM-FM信号的初始相位函数，且精度较高。为进一步验证MSCSD-DDTFA对多分量AM-FM信号的分解有效性，分别运用MSCSD-DDTFA和理论相位函数一DDTFA方法对仿真信号S2（t）进行分析，结果如图10所示。由图10可看出，MSCSD-DDTFA与已知理论初始相位函数的DDTFA的分解精度极为接近，经计算，均方根误差依次为0.073548和0.045285，存在一定差距，但依然具有较高的分解精度。考虑实际工程应用中，采集到的时变非平稳信号的理论初始相位函数未知，因此本文提出的MSCSD方法可有效解决该情况下DDTFA初始相位函数选取问题，适用于多分量AM-FM信号的分析。
5应用实例
为验证本文方法对变转速齿轮故障诊断的有效性，本节将采用实测变转速断齿齿轮振动信号进行分析，并与SST-DDTFA及GPTFT-DDTFA方法进行对比。
试验台为单级传动齿轮箱，如图11所示。试验齿轮为正齿轮，主动轴齿轮与从动轴齿轮齿数分别为55和75°为模拟齿轮故障，在主动轴的齿轮上整体切割掉一个齿，以模拟齿轮断齿故障。试验用LMS数据采集仪拾取齿轮箱的振动加速度信号，同时，在主动轴采用光电式转速传感器采集转速信号，以便進行对比研究。
试验时采样频率为4096Hz，采样时长为1s，齿轮箱处于变转速下运行，采集到的齿轮箱振动加速度信号的时域波形如图12。
采用MSCSD方法对图12所示实测信号进行分析，得到啮合频率如图13所示。图13中的虚线为MSCSD方法估计出的啮合频率，实线为通过光电转速传感器测取计算获得的啮合频率，由图可看出，实线与虚线基本重合。
基于MSCSD估计的啮合频率曲线，求取相位函数如图14所示，以该相位函数为初始相位函数，采用DDTFA方法对图12所示变转速断齿振动加速度信号进行分析，求取的信号分量如图15所示。采用阶次包络分析方法对分解出的信号分量进行分析，得到的阶次包络谱如图16（a）所示。由图16（a）可看出，在2倍转频阶次处出现了明显的峰值，说明信号的调制频率被2倍转频所调制，与齿轮断齿时的转频调制故障特征相符，验证了本文所提出的MSCSD-DDTFA方法对实测变转速齿轮故障诊断的有效性。
同样，分别采用SST-DDTFA方法及GPTFT-DDTFA方法对该实测变转速断齿信号进行分析，估计出的实测啮合信号的阶次包络谱分别如图16（b）和（c）所示。由图16（b）可知：SST-DDTFA所得啮合信号的阶次包络谱故障特征被噪声干扰，虽然在2倍转频阶次处也出现了峰值，但不及MSCSD-DDTFA的诊断结果明显。而由图16（c）可知：GPTFT-DDTFA所得啮合信号的阶次包络谱，故障特征被噪声淹没，未能有效诊断出故障特征。
6结论
针对数据驱动时频分析方法（DDTFA）的初始相位函数估计问题，本文引入了基于多尺度线调频基稀疏分解（MSCSD）方法。MSCSD方法可精确估计信号的瞬时频率和相位函数，且抗噪性较好，而DDTFA方法则可根据MSCSD估计的相位函数不失真地分析出时变非平稳信号分量，因此将MSCSD与DDTFA方法相结合，提出了MSCSD-DDTFA方法，并将其应用于变转速齿轮故障诊断中，主要结论如下：
（1）MSCSD方法可有效估计单分量和多分量调幅调频信号的相位函数，且基于MSCSD的相位函数估计具有较高的精度和良好的抗噪性，可较好解决DDTFA方法的初始相位函数估计问题。
（2）MSCSD-DDTFA方法能有效地分解单分量和多分量调幅调频信号，且分析精度优于EEMD方法，较适合于时变非平稳信号的分析。
（3）将MSCSD-DDTFA用于变转速齿轮故障振动信号的分析，结果表明该方法能有效提取齿轮故障振动信号分量，并提取其故障特征。
由于MSCSD不能完全准确地估计出各种时变非平稳信号的初始相位函数，针对频率段重合的多分量时变非平稳信号，MSCSD-DDTFA如何提高分解精度和计算效率，是今后需要研究的重点。
