“勾股定理（1）”教学设计及教后反思

    常冬琴

    

    

    

    [摘 ?要] 在数学教学中，引导学生发现问题，让学生能自主地提出一个有价值的问题，比解决一个问题更有意义. 在课堂上，通过创设情境引发思考、猜想，通过动手操作验证猜想、解决问题，能让学生在数学学习中自主产生“问题意识”，进而催生“问题解决”的强烈愿望，从而培养学生的数学核心素养.

    [关键词] 教学设计;设计理念;数学活动

    教材简解

    学生通过小学数学的学习，对直角三角形已有初步认识，能从角的角度分析直角三角形的特征. 苏教版八年级上册第一章“全等三角形”中直角三角形全等的判定揭示了直角三角形三边之间的关系，即直角三角形中知任意两条边的长，那这个直角三角形的形状就确定了，于是第三边的长也随之确定. 本节课将在此基础上引发学生猜想—发现—验证. 学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解. 勾股定理是数形结合的典范，它把三角形有一个直角——“形”的特点转化为了三边之间“数”的关系. 在实际应用中，常利用勾股定理建立相等关系，从而解决直角三角形中的计算问题，因此，本节课在教材中有着非常重要的地位.

    目标预设

    （1）通过画图操作，初步感受直角三角形的三边存在特殊关系.

    （2）通过计算正方形的面积，猜想直角三角形的三边存在的等量关系.？摇

    （3）通过在方格纸上操作、实验，引导学生将正方形的面积与直角三角形三边的长建立联系.

    （4）能灵活运用勾股定理求直角三角形中未知边的长.

    （5）经历“操作—猜想—发现—验证”等操作活动，感受从特殊到一般、数形结合、归纳、转化等思想方法.

    教学重难点

    教学重点：（1）发现、探索勾股定理的过程.

    （2）在操作、猜想、发现、验证等活动过程中，培养学生发现问题和提出问题的能力.

    教学难点：如何引导学生发现勾股定理以及验证勾股定理.

    设计理念

    通过动手操作，让学生经历知识的发生、发展、运用过程，将数学问题逐级展开，让学生在“做”和“思考”的过程中积累经验，学会由浅入深、由特殊到一般地研究问题，形成数学能力、数学观点和数学素养.

    设计思路

    引导学生回顾直角三角形全等的条件，画直角三角形，感受直角三角形三边之间存在着特殊的关系;通过计算以直角三角形三边为边长的正方形面积，猜想直角三角形三边存在等量关系;再通过在方格纸上操作、实验，引导学生将正方形的面积与直角三角形三边的长建立联系，从而验证猜想;最后灵活运用勾股定理求直角三角形中未知边的长.

    教学过程

    （课前准备：直角三角板，圆规，边长为1 cm的正方形方格纸）

    1. 活动1：画图，感悟直角三角形三边的关系

    问题1：前面我们讲了三角形全等的条件，那判定直角三角形全等的条件有哪些？

    设计意图 ？摇通过回顾判定直角三角形全等的条件，引导学生发现直角三角形中任意两边长度确定，直角三角形的形状也就确定了，于是第三边的长随之确定.

    操作1：如图1，已知线段a，b，c.

    （1）求作直角三角形ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b;

    （2）求作直角三角形ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AB=c.

    （互相交流，并用圆规或直尺度量、比较第三边的长）

    设计意图？摇 学生通过作图、度量、比较，能更直观地感悟到直角三角形的三边存在特殊关系，这便为发现勾股定理做了铺垫.

    2. 活动2：操作，猜想直角三角形三边的关系

    操作2：在小正方形边长为1 cm的方格纸上画直角边的长分别为3 cm和4 cm的直角三角形，以及直角边的长分别为5 cm和12 cm的直角三角形，并度量斜边的长，得到表1（单位：cm）.

    问题2：观察表1中的数据，你能找到直角三角形三边之间存在何种等量关系吗？

    发现：32+42=52，52+122=132.

    猜想归纳：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.

    设计意图？摇 在活动1发现直角三角形三边存在等量关系后，进一步通过在方格纸中画图、度量，得到三边的具体长度，通过对数据之间关系的探索，追问“存在何种等量关系”，从而引出“勾股定理”.

    3. 活动3：计算，验证直角三角形三边的关系

    问题3：在以上活动过程中我们发现了，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，如何验证这一猜想呢？

    设计意图？摇 经历操作、猜想之后，应该进入验证、证明环节. 应启发学生根据等式的结构特征，尝试通过计算以直角三角形各边为边长的正方形面积来验证这个猜想.

    操作3：分别以直角三角形（∠ACB=90°）的三边BC，AC，AB为边长向外作正方形p，q，r，如图2.

    交流：怎样求出正方形r的面积？

    （学生小组合作，交流方法，实物投影，汇报结果. 运用“割”或“补”的方法计算正方形r的面积）

    问题4：是不是所有的直角三角形都有这一特点？

    操作4：在方格纸上任意画一个顶点都在格点的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各邊为一边向三角形外作正方形，仿照上面的方法计算各正方形的面积.

    问题5：上面研究的都是顶点在格点上的直角三角形，我们能得到S+S=S. 如果顶点不在格点上，这个结论还成立吗？

    操作5：利用“几何画板”的度量工具，依然可以得到S+S=S .

    设计意图？摇 学生在方格纸上操作、实验，利用几何画板验证，经历从特殊到一般的过程，主动将正方形的面积与直角三角形三边的长建立联系，提供归纳、验证的依据.

    归纳：勾股定理.

    4. 活动4：整理，本节课的收获

    （1）通过本节课的学习，你对直角三角形有什么新的认识？

    （2）我们是如何发现勾股定理的？又是如何验证的？

    （3）你能证明勾股定理吗？

    设计意图？摇 通过对本节课学习重点（探究过程）的回顾，引导学生发现探究问题的方法和所用到的数学思想，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及语言表达能力.

    “你能证明勾股定理吗？”这句话强调了一个命题的正确性仅仅是猜想、操作、验证还不够，还需要经过严谨的推理证明，这便为下一节课做了铺垫.

    5. 活动5：训练，巩固所学知识

    （1）必做题：课本P79-80第1、2、3题.

    （2）选做题：如图3所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形a，b，c，d的面积之和为______cm2.

    设计意图？摇 选做题有一定的难度，学生可根据自己的能力自主选做，这样就能实现 《课程标准》中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”.

    教后反思

    波利亚曾经说过：“学习任何知识的最佳途径就是由自己去发现和解决. ”《新课程标准》要求，通过实践、思考、探索、交流获得知识，所以在教学过程中，笔者力图通过学生动手操作、动眼观察、动口交流去发现问题并解决问题，使得学生的自主探究能力和合作学习能力在课堂教学中得到进一步加强. 通过本节课的教学，笔者总结成功之处主要有如下几点.

    （1）真正放手将课堂交给学生. 学生自己动手操作、观察、归纳猜想、验证，亲历这一系列过程，会对直角三角形的三边关系有充分的认识.

    （2）引导学生发现问题的答案而不是直接告诉学生答案. 本节课以问题为引领，问题的设计旨在启发学生思维，适合学生探究，在学生自主思考、讨论交流的基础上，师生进行有针对性的交流和归纳. 比如，让学生在边长为1 cm的正方形方格纸上画直角三角形，意在引导学生通过特殊数据的结果自主发现直角三角形三边之间存在的特殊数量关系.

    （3）尊重学生的思维，以学生的思维方向为主导. 大多数情况下，教师希望课堂教学以自己的意志为主导，希望学生的思维顺着教师设计的流程方向发展，所以很多时候，当学生的表现跟教师的预设不一致时，大多数教师会引导学生转换观念，用“你的意思是不是……”“我们是不是应该这样想……”等语句帮助学生“纠正”. 长此以往，会限制学生的思维，会让学生思考问题时更多地以迎合教师的观点为主. 比如，要求学生在方格纸上任意画一个直角三角形并验证其是否仍然满足猜想时，有学生画的图形与笔者预设的情形不同，有的学生画的三角形三边都不在格线上，这便给问题的开展增加了难度. 当时，笔者没有要求他画出笔者预设的情形，而是现场将问题交给全班同学共同讨论，并得到妥善解决. 这样既尊重了学生的发现，又巧妙地化解了难题.

    同时，笔者也感觉到本节课的设计有不妥之处. 例如，留给学生练习的时间少了些，课堂节奏把握得不够好，整节课前松后紧，课堂小结比较匆忙，没有达到预期的效果.

    总之，一个有价值的数学课堂不仅是帮助学生解决问题，更重要的是引导学生发现问題，不仅要掌握本节课的知识点，更重要的是学会探究问题的方式方法;一个完整的数学活动应该包括数学问题、学生活动、课堂组织等内容，问题设计应当具备开放性，课堂组织中，教师要留给学生足够多的时间和空间，让学生进行充分的思考和交流，教师的提问和追问应为后续学习提供经验和方法.