推广应用MM方式（上）
唐志华
摘要：全文分两大部分，一是“数学方法论的数学教育方式”（MM方式）简介，包括基本观念与时代价值；二是推广应用MM方式，把提升中小学数学教师核心素养的培训工作落实在课堂。因为MM方式充分揭示了数学核心素养的深刻内涵与丰富外延，培养和造就一支既能胜任教学又能从事科研的数学教师队伍，是践行MM方式的一大目标，MM方式在中小学数学教学中大有用武之地。
关键词：MM方式；中小学数学教师培训；数学核心素养
中图分类号：G451.2文献标识码：A文章编号：2095-5995（2018）02-0057-04
一、MM方式简介
（一）引言
当今中小学数学教育如何实现核心素养导向的教学？如何评价学生数学素养的发展？在职数学教师持续学习是应对挑战、胜任岗位的正确途径，也是教师专业发展、实现自我幸福的必由之路。但是，教师培训的内容和方法是否得当，将直接决定教师培训的成效。南京晓庄学院教师发展学院深入发展和挖掘适应核心素养理念的培训方式，在中小学数学教师培训中长期采用推广应用MM方式的策略，收到了十分显著的成效。那么什么是MM方式呢？
马克思从研究商品开始创立了资本论和科学社会主义，商品是人每天都要碰到许多次的东西，但只有马克思把它作为一种专门的研究对象。波利亚从研究解题开始创立了科学方法论。每天都在进行解题者不计其数，但只有波利亚把解题本身作为研究对象，从中提炼出一般解题方法，并把它上升到哲学的高度。徐利治把科学方法论和辩证唯物论的反映论相结合，在我国首开数学方法论的研究，倡导用波利亚的数学教育思想指导数学教学改革。而我们的工作是构建了“贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质”的数学教育实验（Mathematical Methodology，下称“MM方式、MM课题或MM实验”），并在教育行政部门的领导下组织实施。
用我国著名特级教师扬世明先生的话说：“波利亚是尝试把数学方法论应用于数学教学的第一人，取得了相当的成就，但是他没有具体地解决如何把数学方法论用于数学教学的问题，更没有把它作为一种教学的方式方法。MM方式则弄清了由数学方法论基本原理到学生素质的转换机制（如图1），从而解决了数学方法论能够成为一种教育方式的核心问题。”[1][2]
（二）MM方式的基本观念
1.数学哲学观——数学观和数学方法论
马克思指出，一门科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。也就是说，科学的成熟与否要视其应用数学的程度而定。其实，康德早就指出：“任何一门自然科学，只有当它能够应用数学工具进行研究时才能算是真正的科学……。”
既然数学教育是一门科学，那么数学教育为什么就不能应用数学本身的思想方法去组织教学呢？对数学教育来说，这应该是“近水楼台先得月”才是。所谓MM实验，就是指运用数学本身的思想方法指导数学教学和数学教学改革的一种数学教育方式。现代数学教育尽管成功地运用了现代教育学、心理学、生理学、认知科学甚至脑科学等研究成果，但它忽略了运用数学本身的思想方法，即数学方法论对其的指导作用。事实上，数学在其自身的发展进程中早就孕育着上述诸多科学的客观规律。
MM方式也就是运用数学方法论的观点指导数学教学，即应用数学的发展规律、数学的思想方法、数学中的发现、发明和创新机制设计和改革数学教学的一种数学教学方式。它是怎样提出来的？为什么要在数学教育中贯彻这种方式？即它的理论依据和客观背景是什么？
第一，我们要搞清楚什么是数学方法论？近年来，国内外一些著名数学家都致力于对数学哲学的研究。他们从本体论与认识论的角度提出了“数学是一种模式真理”的数学观。按照这种观点，数学模式在本体上具有兩重性。就其内容而言具有明确的客观意义，它是思维对于客观实在的能动反应，任何数学模型都有它的现实原型；就其形式结构而言数学并非客观世界的真实存在，而是创造性思维，亦即理性的创造物。从前者而言，数学是人们所发现的；从后者而论，数学又是人们所发明的。而数学的每一次重大的发现和发明，都是以决定数学向本质上的崭新状态过渡的杰出成就为标志的。这中间伴随着认识论与方法论上的突破，伴随着数学思想方法的变革。有一门学问就是专门以数学的思想方法作为研究对象的，它就是数学方法论。徐利治教授指出：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。”
第二，我们要搞清楚数学教育与数学方法论有什么关系？从数学方法论观点看，数学具有两重性，它既是一门系统的演绎科学（从最后被定型的数学来看），又是一门实验性的归纳科学（从创造过程中的数学来看）。因此，数学教学应充分体现数学的这两个侧面，使学生受到全面的数学教育，忽视数学归纳性一面的教育是不完全的数学教育。另外，运用数学方法论的观点和高级神经活动心理学已有的研究成果分析数学思维，我们看到数学思维也有两重性：一类是进行逻辑推理的抽象思维；另一类是进行合情推理或似真推理的形象思维。这后一类思维的具体表现形式是观察、实验、类比、联想、不完全归纳等。它们不仅在数学的发现过程中起着十分重要的作用，而且广泛应用于社会生活之中。因此，我们不应该把数学单纯地理解为一门工具科学，而应该把它当作一种文化形态来对待，数学教学应致力于提高人们的一般文化修养。当然要充分发挥数学的这种文化教育功能，就必须采用一定的方式来组织教学。
2.数学的文化观——数学的科学技术功能和文化教育功能
数学的科学技术功能和文化教育功能是交织交融在一起的。M.克莱因指出：“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素，这种观点在许多人看来是难以置信的，或者充其量来说也是一种夸张的说法。这种怀疑态度完全可以理解，它是一种普遍存在的对数学实质的错误认识所带来的结果。”[3]王梓坤教授在他的《今日数学及其应用》（当时以中国科学院数学物理学部的名义给党中央的建议书）中指出：数学科学不仅帮助人们在经营中获利，而且给予人们以能力，包括直观思维、逻辑推理、精确计算以及结论明确无误。这些都是精明的经济工作者和科技人员所应具备的工作素质，大而言之，也是每个公民的科学文化素质。所以，数学科学对提高一个民族的科学和文化素质起着非常重要的作用。
科学大师们的工作和思想引出如下的信念：“我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙之中。”数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性。这种思想方法不仅培养了数学家，也有助于提高全国人民的科学文化素质。它是人类巨大的精神财富。
3.数学教育观——源于教学，高于教学
按照数学方法论的观点，数学发展的巨大动力源泉与社会生产实践及技术发展的客观要求紧密相连。因此，数学教育只有适应时代的要求，能够回答和解决历史进程中出现的重大问题，才具有社会效益。空气哺育万物而自身无赏；同样，数学教育众人而报酬极低。桃李无言，下自成蹊。这是时代赋予数学教师神圣而又艰巨的使命。
在数学教学中如能贯彻MM方式，必将有助于培养学生从总体结构上把握数学思想体系、数学思维方式的本领，促进学生在数学思维活动中发明和发现新事物。MM方式的灵魂就是启发学生的创造性，以利于早出人才，多出人才，尤其是早出多出创造型的人才、适应高技术发展的高级研究人才。运用数学方法论的观点指导数学教学，并且达到数学的再创造与再发现，这正是MM方式的基本理念或者说是MM方式的基本精神。
具体地说就是：在数学教学过程中，充分发挥数学的科学技术功能和文化教育功能；贯彻“教学、研究、发现”同步协调和“既教猜想又教证明”这两条基本原理；自觉地、恰当地操作好8个变量，即数学的返璞归真教育、数学教学中的美育、数学的发现法教育、数学家优秀品质教育、数学史志教育、数学中的演绎推理、合情推理和一般解题方法的教育；瞄准三个具体目标，即在数学教学中致力于提高学生的一般科学素养、社会文化修养、形成和发展他们的数学品质，从而全面提高学生素质。
进一步发挥数学的科学技术功能和它的文化教育功能，研究和认识贯穿在数学创造性思维活动中的直觉与逻辑的交互作用十分重要。在人脑的一般思维活动中，直觉与逻辑总是交织在一起的，公理化和形式化的数学科学也不例外，只是带有其特殊性罢了。正是数学的直觉思维与逻辑思维交融的魅力把数学变成为一种“无声的音乐和无色的图画”[4]。
MM方式源于教学而又高于教学。比如，在MM方式的指标体系中有一条是“合理地进行思考，清楚地进行表述和有条不紊地工作”，这显然是数学教学要达到的基本目标之一。这一表述就直接受益于一位数学教师。在一次教学“排列组合”的数学课上，他在介绍完“全排列”的定义之后，要同学回答ABCD四个字母的全排列问题。他首先问共有几种？一位学生答是24种。他紧接着问是哪24种？这位同学又不慌不忙地一口气都答出来了，并蛮有把握地认为这下老师肯定要表扬他了。然而使他迷惑的是老师并没有表态，而是接着说：“你到黑板上来把它们都写出来。”这就是说，仅知道有几种不行，还要能把它们一一说出来；仅能说出来还不行，还要能把它们一一写出来才算合格。这就是MM方式的一个具体体现。
一线教师具有丰富的教学经验，只要把MM方式中体现的数学观和数学教育观与自己的教学实践经验加以对比，自然就会发现这种教育方式和自己一贯以来的主张和实践是不谋而合的。
（三）MM方式的时代价值
从上述意义上来说，MM方式正是在20世纪80年代我国教育改革不断深化的宏观背景下，我国数学界和数学教育界集体智慧的结晶；又因为设计者本身具有教学、教研和科研的切身经历，因此也是数学教师个人从事数学教学和研究工作的升华。
1.鲜明的时代特性，广阔的应用前景
中国社会科学院哲学研究所资深研究员林夏水先生指出：1990年9月，中国自然辩证法研究会数学哲学委员会在山东枣庄召开的“数学方法论与数学教学研討会”上，无锡市的徐沥泉等老师介绍了无锡数学教育教学改革成果——MM实验。自此至今，因工作关系，作者与MM实验结下不解之缘。亲眼看到它发展为MM方式，看到它传播到祖国的大江南北……它传播到哪里就在那里生根发芽、开花结果……这就使作者不禁要思考一个问题：“20世纪80年代中国数学教改方案如雨后春笋出现，但存活至今的却寥若晨星，为什么MM教育方式成为其中耀眼的一颗呢？”[5]这就是说MM方式是应时而生，又能与时俱进的。它带有强烈的时代特征，具有广阔的应用前景。首先，它不同于那些主要依赖教育学、心理学等学科的数学教育实验，尽管它也借鉴了这些学科，甚至是脑科学和现代实验心理学等的研究成果，但它本身具有明显的数学特点，蕴涵着多种数学观，具有深刻的哲理根据，体现了一种新的数学教育观。
徐利治教授指出，数学方法论的原则性高，因此它应用广泛。MM课题从1989年实施以来至今已整整29年，分别于1994年和2001年两次通过了以王梓坤院士为首的鉴定小组鉴定，并获得高度评价。从此，由MM实验确证的MM方式开始在全国推广，由无锡市区高中学校扩展到初中、小学、大学和成人教育等各级各类学校。它已被载入中国哲学社会科学发展史册，当然也已载入我国数学教育的史册。
2016年，我们在申报南京市哲学社会科学优秀成果奖，组织成果名称为“数学方法论（MM）在我国大学数学教学中的应用”的申报材料时，竟在知网上意外发现《MM教育方式及其对幼儿园数学教育的启示》一文。[6]试问，在我国有哪一个数学教育科研项目能一以贯之地从幼儿园一直被推广应用到大学？
2.MM方式与现代数学教学
MM方式具有鲜明的数学特点，它是现代数学思想和现代数学教育思想相结合的具体体现，它充分运用数学科学方法论的研究成果，充分运用数学、数学思维的特征，具有鲜明的数学科学性。它的理论—操作系统具有类数学公理的特征。它要求数学教师具有新的数学观，具有参与（初等或专门）数学研究、数学发现的能力和经历。它扎根于万千优秀数学教师的经验，又不是简单的经验总结（而是凝结和升华），往往给教师一种“似曾相识”之感。它可操作，但又不拘泥于模式。另外，它具有现代数学教学方式方法的特征，与现代教育技术相结合如鱼得水。MM方式要求教师用现代数学思想指导数学教育，并进行高观点下的初等数学研究和高观点下的考试研究，在全面提高学生素质的同时，造就一支既能胜任教学又能从事科研的现代数学教师队伍。
作为科学的数学曾对人类社会产生过极其重要的作用，而在无论谓之信息社会还是谓之电子计算机、大数据时代的今天，数学对社会的功用之大超过以往任何历史时期。我们曾接到湖北天门市一位中学生的来信，信中有这样一句话：“学生爱学习，是因为学生爱生命；学生爱数学，是因为生命需要数学。”在现代生活中，在今天，数学对于人类来说，确实是“此君不可一日无”了。因此，一个现代公民需要数学素养，数学教育如再不变革其大纲和方法，就难以使人们对客观世界有一个起码的科学认识。
MM课题始于1989年，至今已整整29年。围绕数学方法论和推广应用MM方式的全国性学术会议相继在北京、上海、襄陽、武汉、天津、济南、天水、昌吉、成都、无锡、兴义等地召开。MM课题研究促使教师站到学科教育的最前沿，涌现了一批既能胜任教学，又能从事科学研究的现代数学教师。参与MM方式的大部分实验教师已成为学科带头人、科技拔尖人才、特级教师和教授级高级教师等，都逐渐成为本地区的数学教学专家。
MM课题的主要成果如下：已出版专著、编著数十部，发表专题论文千余篇；围绕推广应用MM数学教育方式的全国性学术会议已召开11次，有的省、市还专门建立了实验基地；各地实验教师中有20多人成为特级教师、教授和教授级高级教师；他们大都身兼全国先进教师和全国劳模等多个荣誉称号；由新疆昌吉州教研中心组织实施的MM子课题论文《TEC教学》获新疆哲学社会科学优秀成果一等奖。师范院校是教师的发源地，MM方式在师范院校的落地就从源头上解决了教师的专业成长问题，一支既能胜任教学又能从事科研的新型的数学教师队伍正在我国形成。
回顾反思这29年来的实验历程，我们作为该实验研究的发起人、构思者与实践者，意识到把它应用于当前正在我国全面展开、组织实施的关注学生核心素养的新课程改革中，特别是应用于当代中小学数学师资的培训上，颇具现实意义。
参考文献：
[1] 运怀立，杨之. MM教育方式与当代数学教育[J].数学教育学报，2005（4）：74-77.
[2] 杨世明，郭璋.MM方式的认识论价值[G].北京：中、日、美、德、法、以色列等国际数学教育学术研讨会，1998.
[3] [美] M.克莱因. 西方文化中的数学[M]. 张祖贵，译.上海：复旦大学出版社，2005：162.
[4] 徐沥泉，孟勇. 数学的旋律——直觉与逻辑交融[J]. 自然杂志，2009（4）：239-244.
[5] 林夏水. MM教育方式的生命力[J]. 数学教育学报，2012（6）：1-5.
[6] 魏晓虹. MM教育方式及其对幼儿园数学教育的启示[J]. 教育探究，2014（5）：31-34.
（责任编辑：彭慧）
