教学转型背景下一元二次不等式及其解法探析

2022.05.07

严晓春

【摘要】随着新课改的逐步推进，在教学转型背景下，教师 “怎么教”和学生“怎么学”的问题成为我国教育改革所提出的重要问题之一.笔者结合自己长期的教学实践，以一元二次不等式及其解法的教学为例，引导学生进行探究，促进学生可持续学习能力的提升.

【关键词】一元二次不等式;教学引导;解法教学;高中数学

一、前言

“不愤不启”，是指在教育学生时，不到学生苦思冥想也想不清楚时，教师不要去启发他;“不悱不发”，是指不到学生想说却难以言表时，教师不要去开导他.这是我国古代最伟大的教育家孔子总结的、发人深省的、成功的教育经验，在他的教学过程中，一方面，学生是自主地、探究地学习，是在学习过程中遇到疑惑和困难得到老师点拨的学习，自始至终是教学的主体;另一方面，教师是循循善诱、启发学生学习，是不断地引导学生归纳、总结知识，不断地挖掘学生的分析和探究潜能，自始至终是教学的主导.教学方式的转变在学生获得新知识的过程中起着极其重要的作用.笔者结合自己长期的教学实践浅析一下一元二次不等式及其解法的教学.

二、预备知识

1.一元二次方程：形如ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）叫一元二次方程.常用因式分解法和公式法求方程的根.没有实根的情况只有Δ<0.这里的根对应二次函数的零点，也对应一元二次不等式解集的“边界”.

2.二次函数：形如y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的函数是二次函数，图像是对称轴为直线x=-b2a，顶点为-b2a，4ac-b24a的一条抛物线，其开口方向：a>0时向上，a<0时向下.画图像时应关注图像的对称轴、与坐标轴的交点及顶点，这就是常说的“一对、二交、三顶”六字诀.由于这个图像是用来写对应不等式的解集的，因此画简图时，只需体现抛物线的开口方向、对应方程的根的情况及两根的大小，无须画y轴及其他.

三、一元二次不等式及其解法教学

1.探究一元二次不等式的解法

首先，一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a≠0）（Ⅰ）是对应方程ax2+bx+c=0（Ⅱ）变化而来.试问：

（1）满足不等式的未知数的值叫不等式的解，那么，其解的个数是变多了，还是少了？

（2）如果把不等式的解代入不等式的左边ax2+bx+c，其结果为m，那么m一定是什么数？——非负数，即m=ax2+bx+c（m≥0），对此，你们想到了什么？

引导学生改写字母m为y，就是函数y=ax2+bx+c（y≥0）（Ⅲ）.学生通过分析发现：不等式Ⅰ的解集恰好是函数Ⅲ的定义域，既而把不等式的问题转化为对应函数的问题[1].

这是二次函数吗？当然不是，它是在条件y≥0下的“二次函数”.如何找到二次函数中的y≥0呢？此时，可以呈现一个已知二次函数，例如y=x2-5x，其简图如图1所示.

（3）引导学生探究三个“二次”的关系.

①你们找到了y≥0时图像的分布了吗？对应的x的取值呢？

在坐标系中，引导学生找到图像上纵坐标为正数或零即非负数的点，即x轴及其上方的图像，是向上向左、向上向右无限延伸的两段曲线，与之对应的x的集合为{x|x≤0或x≥5}，即不等式的解集是（-∞，0]∪[5，+∞）.

②观察图像，怎样写出x2-5x<0的解集呢？

學生很快发现，只需找到对应函数图像分布在x轴下方的部分，即含有顶点的一段曲线，与之对应的x的集合是零点之间的实数构成的集合，即所求不等式的解集为（0，5）.

教师通过引导学生观察图像，由“图像”写不等式的解集，发现规律：方程的根是对应不等式解集的“边界”.如果不等式中的不等号含有等号，那么不等式的解集含有“边界”，否则，不含“边界”.到此，让学生分组讨论并总结一元二次不等式的解法：

1）求对应方程ax2+bx+c=0的根;

2）画对应函数y=ax2+bx+c的图像，观察其开口方向和零点（方程的根）;

3）写出对应不等式的解集（关注不等号的方向及是否含等号）.

教师再次引导学生提炼解一元二次不等式的步骤的精华——“定边界、画草图、写解集”九字诀，并且及时应用于解题中.

2.举例分析

当然，上面总结的步骤也可以解含参数的形如ax2+（a+1）x+1≥0的不等式，这可以训练学生的分类思想和逻辑推理能力.另外，在教学中，教师要让学生能走出去，还要“摸”得回来，即培养学生的发散思维和逆向思维能力[2].比如下面的例题.

例1 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为（3，5），解不等式cx2+bx+a>0.

简析提问学生：形如“关于x的不等式ax2+bx+c>0”一定是一元二次不等式吗？为什么a≠0？为什么a<0？

由“九字诀”及“解集”知：

①3和5是方程ax2+bx+c=0的根，从而有

3+5=-ba，3×5=ca，即b=-8a，c=15a.

②把b=-8a和c=15a代入所求不等式，同时注意条件a<0，便可顺利求解不等式.

例2 解不等式x-2x+3>0.

简析 ①先指出：能直接去分母吗？为什么？然后让学生分组讨论，再总结回答：若能确定分母是正数或负数，可以直接去分母，否则不可以.

②指出这是标准的分式不等式（不等号的左边为一个分式，右边为0），学生可能会根据两个实数的除法运算符号法则解两个一次不等式组，再求并集.除此之外，教师应及时引导学生思考：还有别的方法吗？教师可以引导学生将除法转化为乘法（根据几个非零数的商的符号与它们积的符号相同），于是，原不等式可化为（x-2）（x+3）>0，再求解即可.教师还可以直接把x-2x+3>0 改成x-2x+3≥0或x-2x+3≥1让学生求解.

学生完成求解后，教师要引导学生注意以下问题：

①如果标准的分式不等式中的不等号是“≥”或“≤”，那么不等式该怎样转化？这时学生可能会直接写成“（分子）（分母）≥0”或“（分子）（分母）≤0”的形式，忽略隐含的 “分母不为零”的条件.

②如果分式不等式不“标准”，也不能确定分母的符号呢？此时，学生会异口同声地回答：“移项、通分，化为标准式，再求解.”

教师通过例题的教学，使学生了解了可化为一元二次不等式的分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法及其简单应用，让学生体会到了学以致用.

四、课堂知识延伸

通过以上教学，教师应关注学生的兴趣和经验因势利导，促进学生实践能力的发展.例如，怎么解形如2x>5，sin x≤12这样的不等式？同样用“九字诀”可以求解.

例3 解不等式2x>5.

解令2x=5，得x=log25，函数图像如图2所示，

∴原不等式的解集为log25，+∞.

例4 解不等式sin x≤12.

解令sin x=12，得x1=π6+2kπ，x2=5π6+2kπ，k∈Z，画图如图3所示，

∴原不等式的解集是-7π6+2kπ，π6+2kπ，k∈Z.

在教学过程中，教师通过引导学生从一元二次方程出发，把方程Ⅱ变成不等式Ⅰ，再把不等式Ⅰ变成函数Ⅲ，探究了一元二次不等式的解法，幫助学生用已有知识及数形结合、转化与划归的思想进行类比、探究、分析、总结、概括，从而得出九字诀的结论，并用结论解决了问题.

五、结束语

通过以上教学，教师应关注学生的兴趣和经验因势利导，促进学生实践能力的发展.教学不能停留在一元二次不等式解法的问题上，而是要启发、引导学生进一步深入探讨用函数的观点解决不等式的问题，比如，用指数函数、三角函数等去解决其对应的不等式问题，要挖掘出学生的潜能，用类比的思想解决问题.这样的教学深入浅出，知识得到了迁移，学生的思维也宽广了起来，学生在课堂教学中获得尽可能丰富的知识的同时，自身的综合能力也必然能有效提升[3].

【参考文献】

[1]万兆锋.优化数学学习资源培养学生主动探究能力的研究与实践[D].济南：山东师范大学，2013.

[2]冯文献.培养中学生数学逆向思维能力的教学实践研究[D].长沙：湖南师范大学，2016.