教材中常见数学方法的探究

    杨剑

    

    [摘? 要] 在以培养学生的核心素养为方向标的新课改背景下，引导学生掌握相应的数学方法是提高教学效率的精髓. 初中阶段的数学方法主要有分类讨论法、数形结合法、函数法、数学模型法与变换法等. 文章结合教材，对这些教学方法进行探究，希望能给同行们带来一些启发.

    [关键词] 数学方法;教材;数形结合

    数学方法是指人类经过长期的教学实践，总结出不少用数学思想解决问题的门路、手段或程序，这些门路、手段或程序统称为数学方法，重复多次地使用这些数学方法能达到解决问题的目的. 用数学方法来解决数学问题，就是学生不断积累对数学知识感性认识的过程，只要积累的量达到一定程度，就会上升到相应的数学思想.

    教学方法的应用是指教师在教学过程中，引导学生用数学语言或符号表达数学现象的状态、过程或关系，并加以演算、分析与推导，形成判断的过程. 本文结合初中数学教材中所蕴含的数学方法加以剖析与探究.

    分类讨论法

    分类讨论是指当问题含有多种可能性的情况下，无法使用统一方式进行处理，只能针对每种情况进行讨论的方法，再综合讨论的结论给予问题合理的解释. 初中阶段数学分类讨论法一般涉及数学概念、定义、法则、公式或性质等. 在此归纳为两类分类讨论法进行阐述：

    1. 概念类的分类讨论

    例如，教材中“有理数”的章节，就使用了分类讨论法，按有理数的定义（见表1）和性质（见表2）进行讨论.

    将概念运用分类讨论法呈现，让学习者能一目了然地明确概念的本质与内涵，比抽象的文字叙述要来得直观易理解.

    2. 定理、法则、公式或性质等的分类讨论

    例如，教材中“函数的性质”章节，对函数的性质也进行了分类讨论：一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），反比例函数y=■（k为常数，k≠0）以及二次函数y=ax2（a≠0），都把系数k和a分别按k>0，k0，a<0来讨论，函数的性质也浮出了水面.

    分类讨论在教材中运用范围非常广泛，如：①有理数运算，将两个有理数分成同号、异号等进行分类讨论;②平方根和立方根中，也是分正负数和0分别加以讨论;③分式加减中，根据分式的同分母和异分母进行分類讨论，等等.

    数形结合法

    华罗庚曾经说过：“当数量关系缺乏图形来理解时，则缺少直观;而一般图形缺乏数量关系来表示时，则难以细微. ”以形助教、以数助形是新课改下数学教学的热门话题. 这里的“数”表示正负数、有理数、无理数、虚实数等，还可以表示方程、代数式、函数、统计数、随机数或矩阵等;“形”一般指图形或图像，还包括现实的空间以及抽象的空间等.

    数形结合法贯穿于整个初中阶段的数学学习过程，它对学生学好数学这门学科具有举足轻重的作用. 实现数形结合关系转化的“桥梁”有直角坐标系、数轴、构造与转化等，它们利用数轴上的点与实数的对应关系，图像与函数的对应关系等表达.

    例如，教材中在有理数这章节引入了数轴来帮助学生理解“绝对值和相反数”的内容，学生从数轴与有理数的关系中初步感受到数形结合的基本思想，达到以形助教的明显效果. 若教材纯粹使用文字描述绝对值的定义，学生从抽象的文字中难以真正理解绝对值的概念本质，而结合数轴的表示，绝对值的真正内涵则显示于直观的形，学生在直观之形中能快速、准确地把握知识的内涵，从而构建新的知识结构.

    再如，教材中的“反比例函数”与“二次函数”所呈现的内容也使用了数形结合法，这两部分都使用了类比一次函数的方法，通过平面直角坐标系与图像的关系来揭示函数的内涵. 若能将实际问题中存在的数量变化与其关系轴抽象出二次函数，就可以在图像与函数的性质中解决问题;若问题与抛物线的形状有关，则需建立平面直角坐标系，将二次函数的关系式与抛物线进行对应，从而有效地解决问题.

    当然，数形结合在教材中呈现的还有很多. 如：①一元一次不等式中关于“不等式的解集”也是通过数轴的引入，帮助学生理解所有能使不等式成立的值;②教材中关于乘法公式与勾股定理等，均通过图形面积的等积变形来体现数形结合思想，主要是将图形关系转化为代数关系，帮助学生更好地理解乘法公式与勾股定理;③教材中介绍完平面直角坐标系的知识结构之后，再展示一次函数的内容，将这两部分内容结合在一起实现数形结合教学方法的展示，帮助学生更好地理解函数的本质特征;④关于二元一次方程组的图像解法，就是把代数问题实现转化，变成几何问题后再解决问题，等等.

    函数法

    所谓的函数法是根据实际问题引入变量，再用这个变量与常量来表达，将待求目标转为此变量的函数，使用函数来解决相应的问题. 它在初中数学学科的发生与发展中，起到了关键作用，它具有高度的包容性. 因此，函数法是从运动变化的视角来处置数学问题的一种重要方法和思想.

    虽然初中数学中的一次函数、正反比例函数以及二次函数等都安排在八年级教材中，但函数思想早在七年级教材中就有体现了.

    例如，“用字母表示数”章节中用代数式求值，当x=-4时，求代数式2x+5的值. 如当x=-3，-2，-1……请求出代数式的值，等等. 学生根据教材中的此类问题，发现代数式的值会随着x的变化而发生改变. 反过来，若代数式2x+5的值为0，要求出x的值，就是解方程了;若问题是当x的值为哪些时，代数式2x+5的值大于0或小于0，问题就属于不等式求解了. 因此，将数、式、方程与不等式等统一到函数的范畴，当相关问题在推演过程中遇到障碍的时候，可先将问题转化为函数，再运用函数法来解决相应的问题.

    再如，“将代数式看成函数的一个值”的教学，可将a2+1看作函数y=x2+1当x取a的值;方程f（x）=0的根，可看作函数y=f（x）与x轴交点的横坐标，等等.

    数学模型法

    数学模型法是指运用函数关系或符号等，将待评价的内容系统地规定好，用数学公式表达互相变化关系的一种方法. 其表达的具体内容可以是定性或定量的，但均以定量的方式体现. 它具有操作简易、有代表性、真实系统地反映客观现象等特征.

    数学模型是对数学现象原始化的概括或模拟，是抽象化之后的产物，它的原型可以是具体的数学对象或数学关系，主要以模型的方式来呈现数学现象. 初中数学教材中呈现的数学模型比较多，根据其功能性大致可以分为两类：①概念类，指通过一定的方法，将客观的数学现象或事物抽象为数学概念，如实数、有理数、无理数、整式与代数式等;②方法类，指将客观的数学现象或事物之间的关系，通过一定方法抽象为运算法则或公式等.

    变换法

    所谓的变换法是指将抽象复杂的数学问题转化成等价值的单个或多个简单易理解的问题，使解决原问题变得简便. 用变换法解决相关问题时，可选择转化原问题的条件或结论，也可以选择将原问题转化为几何的方式，或通过变换图形的大小、形状或位置来解决问题.

    例如，“三角形内角和”的变换法. 问题：已知三角形的内角和为180°，请问四边形的内角和是多少？其他多边形的内角和呢？

    教材中使用连接四边形的对角线，将一个四边形变换为两个三角形后，获得四边形的内角和为两个三角形的内角和，即360°. 使用同样的变换法，要求出其他多边形的内角和，都不是问题.

    实践证明，初中数学教学需要根据教材所提供的教学法，遵循数学学科特征和学生身心发展的规律，力求在几者统一的基础上，进行有效教学. 让学生从各种教学方法中循序渐进地获得相应的数学思想，在提高学科认识水平的基础上有效地提升数学核心素养.