关注知识综合，聚焦方法策略

2022.07.22

苗晓丽

[摘? 要] 反比例函数与几何综合题在中考中十分常见，问题的考查内容、命制形式、解析方法具有极高的研究价值，对问题开展教学探究有利于培养学生的数学思维. 文章对问题背景进行探讨，结合实例开展思路突破、拓展探究，提出相应的教学建议.

[关键词] 反比例函数;几何综合;图像;模型;数形结合

问题背景

反比例函数是初中数学的重点知识，需要掌握其性质和图像，而中考常综合考查反比例函数和几何知识，以常见的动点、平移、翻折、存在性等形式命题. 其问题类型多样、难度较大，对学生的知识理解、方法掌握和解题思想有着较高的要求. 反比例函数与几何综合的突破关键为点坐标，由点坐标可以确定反比例函数曲线，而结合几何点则可以建立几何图形. 对于该类综合题有以下两种突破思路：一是从关键点或线段入手，联系点坐标和直线线段进行互化，联合探究反比例函数与几何特征;二是转化、整合函数与几何特征，构建相应的方程，或将问题转化为相应的函数模型，利用对应性质来探究突破.

问题探究

中考中常见反比例函数与几何的综合题，其设问形式和解析思路均具有一定的代表性，具有极高的研究价值，下面以2019年江苏省徐州市的一道压轴题为例开展解题探究.

（2019年江苏省徐州市中考卷第28题）平面直角坐标系中，O为原点，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上. △AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=■的图像上. PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD.

（1）求∠P的度数及点P的坐标;

（2）求△OCD的面积;

（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积;若不存在，请说明理由.

思路突破? 本题目主要考查反比例函数的性质、角平分线的性质和几何三角形等相关知识，解题的关键是把握函数与几何的关联点——点坐标，合理构建模型来转化突破，对于其中的面积问题则需要充分结合面积公式，合理采用面积模型的构建方法进行转化解析.

解析? （1）该问求∠P的度数及坐标，需要充分利用角平分线的性质，以及三角形内角和定理. 已知AP和BP分别为△AOB的两条外角平分线，则∠PAB=■∠BAY，∠PBA=■∠ABX，所以∠PAB+∠PBA=135°，则∠APB=45°. 过点P作AB的垂线，垂足为点H，再过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为N和M，如图2所示. 分析可证△PMA≌△PHA，△PNB≌△PHB，所以PM=PN. 根据反比例函数解析式可设点P的坐标为a，■，则a=■，可解得a=3，所以点P的坐标为（3，3）.

（2）该问求△OCD的面积，首先需要理解三角形构建的过程，是两条角平分线的延长线与坐标轴的交点，求三角形面积应从关键点或关键线段入手. 由于△OCD为特殊的直角三角形，则其面积可以表示为S■=■·OC·OD，显然解题的关键是确定OC和OD，可以求线段长，也可以直接确定OC·OD的值.

结合条件分析可知不易直接求点C和点D的坐标，故需要求OC·OD的值，可将其视为相似三角形对应边成比例的一部分. 连接OP，并按照图3标识角度. 分析可知∠7+∠8=45°，又知PM∥BC，PN∥OM，则∠3=∠7，∠4=∠8，所以∠3+∠4=45°，同理可证∠1=∠4，所以△POC∽△DOP，由相似性质可得■=■，则OP2=OC·OD，从而有OC·OD=18，所以S■=■·OC·OD=9，即△OCD的面积为9.

（3）该问探讨△AOB的面积是否有最大值，三角形面积最值探究一般需要利用函数或不等式性质，因此可以采用如下思路：整合几何特性，结合面积公式将问题转化为关于线段长或坐标参数的面积函数，通过函数分析来确定最值.

设BN=x，AM=y，则OA=3-y，OB=3-x，由（1）问可知AB=x+y，在Rt△AOB中使用勾股定理可得（3-x）2+（3-y）2=（x+y）2，整理可得y=■，所以S■=■（3-x）（3-y）=■. 设■=k，整理可得x2+（k-3）x+3k=0. 由于x为实数，则Δ=（k-3）2-12k≥0，可解得k≥9+6■或k≤9-6■，△AOB的面积小于9，则k≤9-6■，所以S■有最大值27-18■，即△AOB的面积存在最大值，且为27-18■.

评析? 上述反比例函数与几何综合题主要考查几何面积，解析时需充分利用函数与几何的性质. 其中第（2）问构造了相似三角形，利用相似性质来转化条件;而第（3）问则利用面积模型将问题转化为面积函数及方程，利用一元二次方程根的判别式来分析函数的最大值. 总体来看，问题突破过程中需要充分把握函数与几何特性，借助函数及方程性质来分析转化.

拓展探究

上述考题主要探讨反比例函数与几何面积，属于反比例函数背景下的面积问题，而反比例函数与几何综合的考查视角较多，几何特性判断是另一重要考查内容，问题解析时需要充分把握几何特性与函数性质间的关联，下面举例探究.

（2018年浙江省金华市中考卷第23题）如图4所示，四边形ABCD的四個顶点分别在反比例函数y=■与y=■（x>0， 0<m<n）的图像上，对角线bd∥y轴，且bd⊥ac于点p.

（1）当m=4，n=20时.

①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式;

②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由.

（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系;若不能，试说明理由.

解析? 本题目考查反比例函数背景下几何图形的形状，需从几何特性出发来探讨.</m

（1）①该问求直线AB的表达式，只需要提取反比例函数图像上点A和点B的坐标即可，可求得y=■x+3.

②该问探讨四边形ABCD的形状，需要根据点坐标来确定线段长，由线段长度关系来分析几何形状. 易得B（4，1），D（4，5），则点P（4，3），分析可得PA=PC=■，又知PB=PD，所以四边形ABCD为平行四边形;又知BD⊥AC，则四边形ABCD为菱形.

（2）该问探究四边形ABCD能否为正方形，根据几何特性可知需有PA=PB=PC=PD（设为t>0）. 分析可得点B坐标为4，■，则点A坐标为4-t，■+t，所以（4-t）■+t=m，化简得t=4-■，则点D的纵坐标值为8-■，所以点D的坐标为4，8-■.则4·8-■=n，整理可得m+n=32，即四边形ABCD为正方形时有m+n=32.

评析? 上述综合题以反比例函数为背景考查特殊图形的性质，解析时充分把握平行四边形对角线互相平分、正方形对角线互相平分且相等的特性，而后联合点坐标来构建相应的代数关系，从而高效解题.

教学建议

1. 夯实基础，方法积淀

反比例函数与几何考题属于综合性问题，其中涉及函数的性质与图像、几何定理定义、性质变换等基础知识，问题形式和知识背景变换多样，但考查内容均大同小异，解题的方法技巧是相通的. 开展考题探究需要从问题所涉的基础知识、基本方法和基本思想入手，处理好通法和技巧之间的关系，合理构建类型问题的突破思路. 例如上述问题的突破充分利用了函数与几何的性质，把握点坐标与几何特性之间的联系，以此作为突破口开展解析推导，同时融合待定系数法、交点坐标法、代数方程法等方法技巧. 因此在教学中教师需要引导学生关注问题的考查内容，夯实基础知识，归纳总结知识技巧，进行解题方法的積淀，从根本上提升学生的能力.

2. 延伸拓展，开放思维

把握问题内容的主干，在此基础上开展拓展训练，有助于学生对问题的理解，培养学生思维的灵活性和广阔性. 例如上述“拓展探究”阶段中从反比例函数与几何形状入手开展问题探究，让学生对该类型综合题的考查视角有了更深刻的认识，总结了相应的突破思路. 在拓展探究过程中还体现了数学的拓展迁移方法，对于培养学生的数学思维有着一定的帮助. 因此在实际教学中，教师应引导学生开展问题拓展延伸，从问题的内容、解法入手进行深度教学，让学生感知问题中融合的思想方法，感悟通法解题的优势所在.

3. 承启高中，数形结合

函数与几何问题是中学数学知识融合的典型代表，该类问题具有一定的导向性，可为函数与几何问题的突破提供解法参考. 如上述从关键点入手，联系几何特性的思路不仅适用于初中的反比例函数与几何综合题，对后续高中数学的同类考题也具有参考价值，因此学生在学习中需要洞悉考题结构，总结方法思路，形成解题策略. 另外数形结合也是解析函数与几何类考题的常用方法，数形结合解析问题，即以形助数，以数辅形，是实现“数”与“形”有效融合的方法. 通过数形结合可以把握曲线图像与几何图形的结构及关联，打开问题的突破口，构建问题解析的思路.

总之，开展考题探究应关注问题的考查内容、解析思路和拓展方向，形成类型问题系统的知识与方法储备. 反比例函数与几何综合题是中考的典型问题，其问题结构和突破思路具有广泛适用性，教师要在教学中引导学生关注问题，总结方法，强化思维，稳步提升.