答题知技巧，事半功必倍

    刘红梅

    

    

    

    [摘? 要] 数学是一门以解决问题为主要任务的学科，对于学生而言，解决问题能力最直接的体现方式就是“答题”，答题的效果是反映学生知识掌握程度及能力水平的重要标志，因此学生的答题能力是数学教学的重要关注点.

    [关键词] 答题技巧;选择题;解决问题;中考数学

    初中阶段是九年制义务教育的冲刺阶段，学生将面临“中考”这一人生中重要的一次阶段性成果检测，中考成绩在师生心里有着举足轻重的作用. 诚然，答题以知识为基础，以方法为手段，双基的掌握是正确答题的重要保障，同时答题技巧在解题中有时也能发挥关键性的作用，能够熟练掌握并学会运用答题技巧，可以在一定程度上缩短解题时间、提高答题正确率，使解题达到“事半功倍”的效果. 本文参照南通市2019年的一道中考题，以选择题的答题技巧为例，谈谈不同的解题技巧在实际问题中的运用，给师生们作为参考，权当是抛砖引玉.

    在教学实践中不难发现，答题技巧并非在所有问题的解答过程中都很明显，而是无形地渗透于解决问题的所有环节. 其中能較为明显地体现出答题技巧的以选择题、填空题为主. 由于篇幅限制，本文仅初步盘点选择题的答题技巧.

    选择题常见的解题技巧有直接解答法、排除法、特殊值法、观察猜想法、测量法、归纳法、数形结合法、枚举法等，这些技巧常常能够给选择题的解决提供“捷径”，让选择题的解答更快、更准.

    问题展示

    （2019·南通）如图1，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°<α<120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E. 设CD+DE=x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图像大致为（? ? ? ）

    问题剖析

    该问题以△AEC′的面积为考查对象，探究三角形的面积随CD，DE两线段之和变化而变化的关系. 从选项中可以看出，我们需要辨别出自变量及因变量的关系是一次函数关系还是二次函数关系及这个函数的增减性. 在解答过程中，确定三角形的面积计算方式是基础，找准△AEC′的面积与CD，DE两线段之和所存在的联系为关键.

    问题解决

    方法一：巧观察，细猜想

    观察是对问题的解读，猜想是对问题的分析，观察与猜想是解决数学问题的首要心理活动. 尤其对于几何问题的解答，观察与猜想更是不可缺少的重要步骤.

    如图2，对于△AEC′而言，要求面积，首先确定它的底边为EC′，接着作出EC′边上的高AF，经过观察发现AF的长度，其值与△AB′C′即△ABC的高相等，为定值，因此△AEC′的面积只与线段C′E长度相关，可以确定y与x的函数为一次函数，随即排除C和D两个选项，再由观察可知，随着CD+DE的增大，EC′的长度减小，则三角形的面积随之减小，因此即可将答案确定为选项B.

    在上述过程中，我们采用了观察猜想法及排除法，其中发现三角形的高为定值是解题的关键，同时对三角形的面积与线段之和的关系为一次函数关系作出正确的判断是锁定答案的重点.

    方法二：特殊值，静制动

    特殊值代入法是选择题中较为实用的技巧，它可以使抽象的问题具体化，降低问题的难度. 对于几何动态问题来说，“以静制动”是不变的原则，也是解决该类问题的必备思路. 在该问题中，将“以静制动”与特殊值代入法相结合即可使问题迎刃而解.

    在上述问题中，我们观察到CD+DE的值随α的变化而变化，△AEC′的面积同样会随之变化，α可以作为探究的对象，题中给α限定的范围是0°<α<120°，我们可以依据这个范围将临界值确定为特殊值进行讨论.

    ①当α逼近0°时（如图3），可见△AEC′的面积趋近于0，此时CD+DE近似等于BC的长度2■，则我们可以近似地将（2■，0）作为该函数图像上的一个参照点.

    ②当α逼近120°时（如图4），△AEC′的面积与△ABC的面积近似相等，趋近于■，此时CD+DE趋近于0，则（0，■）也可以近似认为是函数图像上的一个参照点;

    由①②可知答案在选项B和C之间，但依旧无法确定究竟是哪一个，这时需要再取一个特殊值，根据0°<α<120°可以考虑将特殊值选定为α=60°.

    ③当α=60°时（如图5），不难看出△AEC′的面积是△ABC面积的一半，为■，此时CD+DE的长度是BC长度的一半，为■，即此函数图像还经过■，■，以此为依据便可以确定最终结果为选项B.

    选择题因为其题型的特殊性，使得特殊值法可以在选择题解题过程中使用而不能在解答题中进行使用，这种方法实则是演绎推理的体现，即从一般到特殊的思维方式. “以静制动”是几何动态问题的基本原则及思路，只有找准“动”中的“静”，才能让问题具体化，从而找到解决问题的突破口.

    方法三：二合一，找关系

    在针对这个问题的常规方法中，找准自变量及因变量的关系是解决问题的关键，由函数关系是一种“一一对应”的关系可知，将CD+DE这两个变量之和合并为一个变量是找到函数关系的重要任务.

    如图6，我们经过观察与猜想可以发现B′D的长度与CD长度相等，这个猜想可以经过“双子”型的全等得到证明，方法也不唯一：①记AB′与BC的交点为F，易证△ABF≌△AC′E，从而得出AF=AE，所以FB′=EC，进而可证△DFB′≌△DEC，因此B′D=CD;②连接BB′及C′C，可证△ABB′≌△AC′C，得知BB′=C′C，∠BB′A=∠C′CA，所以∠BB′D=∠C′CD，进一步可证△DBB′≌△DC′C，同样可证B′D=CD. 以此为依据，即可将线段CD与DE合并成一条线段B′E，再次借助三角形面积的一般公式，作出△AEC′的高即可将三角形的面积表示出来：y=■·（2■-x）·1=-■x+■（0<x<2■），因此对应的图像为选项B.

    在解决问题的过程中发现一般的数学模型及数学思想不仅是选择题的技巧，也是所有问题的有效思路. 在上述解决问题的过程中，以数学模型及基本方法为依据，同时结合观察猜想、数形结合的技巧，既保证了答题的正确率，也提高了解答速度.

    题后反思

    本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及一次函数的图像，是一道代数与几何相结合的综合问题，难度中等，问题的实质是将三角形进行旋转后把三角形的底边隐藏，解决问题的突破口即是找到隐藏的条件. 综合问题的解决要求学生在掌握基础知识的基础上了解知识间的彼此联系及相互融合，以掌握的知识作为依据，结合选择题的答题技巧，高效率解决这个问题、确保答案的正确性便可实现. 由上述的解答过程不难看出，不同的答题技巧可以同时运用于同一个问题，一个问题的解答技巧也不是唯一的，所以答题技巧的使用和知识的掌握一样需要灵活变通.

    解答技巧并非是一种投机取巧，而是作为帮助解题的“辅助手段”而存在. 作为题型特殊的选择题，因为正确答案必存在于几个特定的选项中，所以是最适合运用技巧的题型. 技巧虽能帮助解决问题，但却不能作为解决问题的唯一路径，知识与方法才是基础. 对教师而言，在进行选择题解题指导时，重点依旧是问题背后隐藏的知识及常规方法，技能技巧是建立在基础知识上的一种有效手段而非独立存在. 解题技巧以知识作为载体与依托，与基本知识及基本方法相辅相成，只有充分掌握双基才能使解题技巧发挥最大的成效，达到事半功倍的效果.