与切线有关的计算与证明探析

    雷英托

    

    

    [摘 要]近几年，全国各省市中考题中，与切线有关的计算与证明多有呈现.文章结合典型例题，从四个方面对与切线有关的计算与证明问题进行探析，以夯实学生的基本知识与技能，进一步发展学生的空间观念和逻辑推理能力.

    [关键词]切线;证明;计算

    [中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2021）14-0034-02

    新课标要求学生探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能.在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展学生的空间观念;体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力.“圆的切线”是“圆”这一部分知识的重要内容，其综合了以前学过的众多几何知识，在计算与证明的过程中可进一步发展学生的空间观念与逻辑推理能力.与切线有关的计算与证明主要包括求线段的长、求角度、求三角函数值、判定四边形形状等.下面对相关类型进行探析.

    一、求线段的长

    求线段的长，一般有以下三条途径：一是通过勾股定理求直角三角形的边长;二是通过三角形相似，利用对应边成比例求边长;三是利用特殊角的三角函数值求直角三角形的边长.而直角三角形可通过已知、直径或切线得到.

    评注：图形中存在直角三角形，利用勾股定理求线段的长，图形中还有两组平行线，可两次使用平行线分线段成比例定理求线段的长，这些都是求线段长的方法与手段.

    二、求角度

    求角的大小，可以考虑以下思路：一是通过三角形全等、等弧或同弧得到等角;二是通过三角形内角和等于180°;三是通过三角函数求得特殊三角形的内角度数，而圆的切线为我们提供了直角.

    評注：本题求第一个角度时，主要利用了“直径所对的圆周角是直角”，求第二个角度时，主要利用了圆的切线垂直于经过切点的半径，它们都是圆中常见的垂直关系.

    三、求锐角三角函数值

    锐角三角函数是在直角三角形中定义的，所以求锐角三角函数值时，可以通过作垂线构造直角三角形，也可以通过等角将所求的角转化到直角三角形中，然后利用边与边的比得到锐角三角函数值，而圆的切线恰给我们提供了直角.

    评注：通过平行线将直角转移，从而证得圆切线，是证明圆切线常用的方法;本题在求线段PE长时，两次运用三角形相似，利用中间量将CP的长进行转化，这是此题较难的地方.

    四、判定四边形的形状

    在圆中判定四边形的形状，常表现为条件开放型试题，分析时应假定它是某一特殊四边形，推出应具备的条件，综合时再从这个条件出发写出推理过程.

    评注：OD所在的直线既是圆O的对称轴，也是半圆[ACB]的对称轴，本题在判定两个四边形的形状时，多次使用了这种对称性，使证明过程简化了许多;另一方面遇到圆切线，需要将圆心与切点连接.

    总之，与切线有关的计算与证明问题，一方面考查学生基本的知识与技能，另一方面也考查了学生的抽象能力与推理能力等，近几年，各省市中考题中都有所呈现，应引起关注.

    （责任编辑 陈 昕）