基于牛顿谐波平衡法悬挂系统跌落冲击动力学性能评价

     杜兴丹 陈安军

    

    

    

    摘要：应用牛顿谐波平衡法求解跌落冲击条件下悬挂系统无量纲非线性动力学方程，获得无量纲位移及加速度响应的近似解析解，并给出无量纲位移最大值、加速度最大值与跌落冲击时间等跌落冲击性能评价的重要参数的解析表达。同时分别与四阶龙格一库塔数值解和变分迭代解析解比较，算例分析结果表明，由牛顿谐波平衡法获得的二、三阶近似解的精度满足工程需求，且三阶近似解精度优于二阶近似解。基于牛顿谐波平衡法解析解，建立系统跌落冲击破损评价的代数方程，使系统破损边界曲线的获得及相关参数影响分析更加方便，为非线性系统跌落破损评价提供了一种有效的分析方法。

    关键词：悬挂弹簧系统;破损评价;非线性;牛顿谐波平衡法;近似解

    中图分类号：TB485.3;0328文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）02-0331-07

    DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.013

    引言

    在产品流通过程中，跌落冲击是引起产品损伤的重要因素，跌落冲击条件下产品动力学性能研究对产品的防护具有重要的理论意义。牛顿以产品所能承受的典型加速度脉冲幅值与速度变化量问接描述产品脆值，提出破损边界理论，该理论适用于线性系统。实际应用中，由于缓冲材料的非线性特性，王志伟针对典型非线性系统跌落破损评价方法，建立了线性和非线性系统跌落破损评价统一理论。悬挂弹簧作为一种典型的结构非线性系统，其减振效果优于线性系统，特别适合低脆值精密仪器设备的减振防护，可使产品在不同方向获得缓冲保护。吴晓等对悬挂系统自振及其在基础位移激励下的振动特性进行了深人探讨;王蕾等分析了矩形脉冲激励下悬挂系统的冲击特性，以加速度响应峰值与脉冲激励幅值之比为系统冲击响应指标，脉冲激励时问、系统悬挂角为变量构建三维冲击谱;李辉等以考虑易损件的二自由度悬挂系统为对象，研究系统跌落冲击条件下易损件的响应特性，并讨论系统相关参数对易损件跌落冲击特性的影响。由于非线性系统的复杂性，关于悬挂系统动力學问题的分析多采用数值分析方法，但数值方法不易获得系统动力学响应的解析表达，系统参数对响应的影响规律难以显函数的形式描述。宋爽等用变分迭代（VIM）法求解动力学方程，获得悬挂系统动力学响应解析表达式，VIM法虽不依赖于小参数，但存在加速度最大值误差较大的问题，需用能量法进行校正，其推导过程较为复杂。

    牛顿谐波平衡法（NHB）将牛顿线性化方法和谐波平衡分析方法相结合，对非线性保守系统可避免单独使用谐波平衡法时求解复杂非线性代数方程组的问题，且不依赖于小参数。该法主要用于非线性微分方程近似解析分析，更多关注系统位移响应及频率或周期等，可获得满意的精度，但较少用于产品跌落冲击动力学分析。本文将NHB法应用于悬挂系统跌落冲击动力学分析，获得系统位移、加速度响应最大值等重要参数的解析表达，并将结果应用于跌落冲击动力学评价，建立系统跌落冲击破损边界的评价方程。

    1系统动力学方程

    低脆值精密仪器设备防护使用的悬挂式缓冲系统，在不考虑阻尼条件下，其力学模型如图1所示。

    3近似解精度比较

    为评价NHB法近似解的精度，与四阶龙格一库塔数值解及VIM近似解比较。当无量纲跌落冲击速度为V=0.6，系统悬挂角φo=60°时，系统无量纲位移、无量纲加速度时问历程如图2，3所示（R-K表示龙格一库塔数值计算结果，F，S，T分别表示NHB一阶、二阶、三阶近似解，V表示VIM近似解）。跌落冲击过程系统响应位移、加速度最大值以及跌落冲击时问是关注的重要参数。为进一步验证解的精度，不同无量纲跌落冲击速度及系统悬挂角，无量纲位移、加速度响应最大值以及跌落冲击时问比较及误差分析如表1-3所示。

    由图2及3可知，NHB法获得的二、三阶解析解（无量纲位移、加速度时问历程）与四阶龙格一库塔数值分析结果吻合较好，三阶近似解最为接近，NHB二、三阶近似解优于VIM。

    由表1，2及3知，相同悬挂角下，随无量纲跌落冲击速度增加，NHB获得的无量纲位移、加速度最大值及跌落冲击时问相对误差出现增大，三阶近似解相对误差最小，表明悬挂式非线性系统近似解对初始条件敏感;相同无量纲跌落冲击速度下，随悬挂角减小，NHB获得的无量纲位移、加速度最大值相对误差增大，表明系统近似解对悬挂角同样敏感。4跌落破损评价

    5结束语

    （1）应用NHB求解悬挂缓冲系统跌落冲击无量纲非线性动力学方程，获得系统响应一阶、二阶及三阶解析表达式，系统响应的重要参数如位移最大值、加速度最大值以及跌落冲击持续时问以代数方程表征，分析过程相对简单。

    （2）分别与四阶龙格一库塔数值分析及VIM近似解比较，结果表明NHB二、三阶位移及加速度响应时问历程与数值解基本吻合，无量纲位移响应最大值、加速度响应最大值以及跌落冲击持续时问的二、三阶近似结果，其精度满足工程要求。

    （3）系统的近似解对系统初始条件及悬挂角敏感。相同悬挂角下，随无量纲跌落冲击速度增加，系统响应无量纲位移、加速度最大值及跌落冲击时问相对误差增加;相同无量纲跌落冲击速度下，随悬挂角减小，无量纲位移、加速度最大值相对误差增大，其原因是当系统悬挂角小于90°时，动力学方程非线性项系数小于零，垂直方向系统恢复力特性表现为三次非线性软弹簧性能，且随悬挂角减小，软弹簧性能增加，非线性项的影响增加，但高阶近似解可以修正非线性项的影响，使其影响减弱。

    （4）NHB解析解用于跌落冲击破损评价，获得破损评价代数方程，有利于系统相关参数对跌落破损边界影响分析。系统设计的重要参数悬挂角对破损边界影响分析表明，随悬挂角减小，对给定脆值的产品，其安全区域增大，表明通过悬挂角设计可提高系统抗冲击能力。

    悬挂式非线性系统跌落冲击动力学响应分析表明，NHB提供了一种新的高精度解析方法，可推广到对其他保守非线性缓冲包装系统的动力学评价。