局部点蚀故障滚动体的滚动轴承动力学模型研究
李志农 李云龙 任帅 徐可君 秦海勤
摘要：现有的滚动体故障模型是理想化的，即把滚动体局部点蚀故障当作矩形缺口处理，滚动体缺陷与内、外圈滚道接触产生碰撞时，变形量瞬间全部释放，离开的瞬间变形量重新恢复。针对以上存在的问题，分析了具有滚动体局部点蚀故障的滚动轴承的实际运转状态，提出了滚动体故障渐变模型，探索了滚动体故障经过内、外圈时变形量的释放变化规律，给出了渐变释放的变形量的计算方法，建立了含滚动体点蚀故障的滚动轴承动力学渐变模型。通过仿真和实验分析，得到了滚动体局部单点故障的特征频谱，证实了当滚动体存在局部故障时所建的模型的正确性，为有效地诊断滚动轴承故障提供了理论支撑。
关键词：故障诊断;滚动轴承;滚动体;渐变释放;动力学模型
中图分类号：TH165+。3;TH133.33+1文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）03-0597-07
DOI：10.16385/i.cnki.issn.1004-4523.2020.03.019
引言
在旋转机械中主要起支撑回转作用的滚动轴承，使用寿命的长短对国民经济能否高速发展有着极其显著的影响。从长远看，滚动轴承总是不可避免的出现各种故障，这是导致滚动轴承振动和产生噪声的重要原因之一。因此，有必要对滚动轴承的非线性力学性能展开进一步研究。目前，针对滚动轴承动力学特性的问题，研究者们建立了一些行之有效的动力学模型，例如，Walters考虑了滚动体的四自由度，首次建立了包括滚动体的位移、速度和各元件之间的相对滑动情况等滚动轴承全部特性的运动方程，然后利用4阶Runge-Kutta法积分，可以计算出任意时刻滚动体的位移和转速。Harris等在Walters的研究基础上，把由于滚动体受力与力矩不平衡所带来的惯性力及其力矩加入到建立的模型中，使得滚动轴承的动力学模型更加成熟。Gupta改进了正常工作状态下滚动轴承的动力学分析方法，考虑了从开始启动阶段的整个运动过程，建立了较为完善的滚动轴承动力学研究模型。Meeks等把滚动体与保持架之间的碰撞按照非完全弹性接触处理，在Gupta的理论基础上发展了滚动轴承的动力学分析方法。Sopanen等提出了一种具有六自由度的动力学模型，该模型考虑了赫兹接触变形和弹性流体动力学，给出了可以根据轴承的形状、材料特性和径向间隙计算的动力学模型。Cong等基于动态载荷分析提出了滚动轴承故障研究方法，并考虑了冲击次数的影响，通过动力学分析，得出了故障计算方程。Kogan等在经典动力学和动力学方程的基础之上，提出了三维轴承动力学模型，该模型使用双曲正切函数模拟摩擦力，使用Hertz接触弹簧阻尼模型来表示轴承各元件之间的相互作用。孙红原等建立了轴承支承的单转子动力学方程，采用龙格-库塔算法对动力学方程进行积分，模拟分析了轴承质心旋转状态下的稳定性。Niu等建立了具有六自由度的滚动轴承动力学模型，在此基础上研究了三维立体空间里滚动体的动力学非线性响应，对滚动体与滚道之间的离心力和润滑对于轴承运转性能的影响进行了深入研究。徐可君等在考虑了滚动体故障与内、外圈滚道碰撞时变形量变化的基础上，建立了中介轴承存在局部故障的动力学模型，并研究了内、外圈旋转方向的相同与否对中介轴承振动的影响，得出了内、外圈旋转方向不同时调制效果较方向相同时更加强烈明显。
虽然滚动轴承动力学建模取得一些进展，但是仍存在一些问题。大部分模型仅研究滚动轴承的内、外圈故障，很少有人研究滚动体的局部损伤故障。据此，本文以SKF6205型轴承为例，以含局部损伤的滚动体为研究对象，针对目前轴承动力学研究中存在的主要问题，考虑滚动体缺陷与内、外圈滚道发生碰撞时接触变形量的变化，建立含局部故障的滚动体动力学新模型。通过仿真和实验分析，进一步证实建立的模型的正确性。
1 滚动体故障动力学模型的建立
滚动轴承处于正常状态时，滚动体与内、外圈滚道的弹性接触可以用弹簧阻尼模型近似代替。根据Hertz接触理论可知，滚动体与双侧滚道总的负荷-变形系数可以用下式计算得到。
由得到的主曲率差函数F（p）通过查阅文献表6-1可以得到nδ。
滚动體在正常工作过程中，不仅有自转，还有绕轴承几何中心的公转，它每自转一圈，就会与内、外圈产生接触。要对具有局部损伤的滚动体分析研究，就须进行一些假设：假设外圈固定不动，即外圈的旋转速度恒定为零;假设轴承工作过程中滚动体与两侧滚道之间的运动形式为纯滚动，不存在打滑现象，并且忽略轴承润滑影响。因此滚动体某一点存在局部损伤故障时的具体情况如图1所示。
图1中，ωi为内圈的旋转角速度;φspall为含局部损伤的第j个滚动体中心对应的初始位置角;ri为内圈的半径;△φs为故障的跨度角;θi为第j个滚动体的中心位置角，△φs与θj的计算方法分别为：
式中 Z代表了滚动体数目;θ1为图1（a）中标记为第1号的滚动体的初始位置对应的角度;b为局部故障宽度的一半;ωc为保持架的实际旋转角速度，其计算方法为
式中 ωi为内圈的旋转角速度。在实际运转中，滚动体与内圈滚道瞬时接触点在滚道上的瞬时线速度可表示为
由于滚动体在自转同时也在公转，则瞬时接触点在滚动体上的瞬时线速度为
式中 ωb为滚动体的旋转角速度。
根据纯滚动条件，瞬时接触点在滚动体和内圈滚道上的线速度相等，即vib=vrb，得到
图1（b）为滚动体局部损伤与内、外圈滚道接触的示意图。实际的滚动体并不是完全意义上的刚性体，其本身也会发生变形。当滚道到达缺陷底部时，接触变形量将全部释放，最大为λmax;若滚道并没有完全到达缺陷底部时，接触形变量并不会完全释放，释放的最大变形量λmax是滚动体自身的变形量Cdr与内圈滚道变形量的和或与外圈滚道变形量Cdo的差，即：
式中 d为故障深度;ψs为滚动体故障中心的位置角，定义ψs的值為外圈滚道接触点沿径向顺时针旋转到滚动体缺陷中心的夹角，它的计算公式为
若第j个滚动体存在局部缺陷，则缺陷与内、外圈发生碰撞时会引起变形量的变化，所以在计算接触变形量时应考虑这个因素。同时由于滚动体与内、外圈滚道间存在一定的间隙，会对变形量有一定的影响，因此也应该把这一因素考虑在内。所以总的接触变形量为
式中 e为轴承径向间隙;λ为滚动体故障与内、外圈滚道产生接触时变形量的变化量;βj代表开关量，它的取值与缺陷中心位置角及缺陷跨度角有关，具体计算方法为
目前的滚动体故障模型是一种理想化模型，即如图2（a）所示。该模型是把滚动体局部点蚀故障当作矩形缺口处理。滚动体缺陷与内、外圈滚道接触产生碰撞时，变形量瞬间全部释放，离开的瞬间变形量重新恢复。
而更符合工程实际的滚动体局部故障模型是如图2（b）改进模型所示的圆弧形缺口，变形量的变化是渐变的过程。所以，实际变形量的变化应该是在式（16）的基础上，考虑变形量渐变之后的结果如下式所示
2 数值仿真
数值仿真使用SKF6205型轴承，它的一些主要参数为：质量0.13kg，外圈直径52mm;内圈直径25mm;共有9个滚动体;滚动体与两侧滚道的接触角相等且均是零;初始速度和加速度x=y=0，x=y=0，系统的等效阻尼c=200N·s/m，转子转速为1772r/min;缺陷为0.2mm×0.5mm。基于以上参数计算可得，理论的滚动轴承滚动体故障的特征频率值为139.2Hz。
图3是滚动体局部单点故障的仿真得到的结果。从图3中可以看出，振动的速度和加速度脉冲信号呈周期性的出现，其信号主要是故障产生的冲击振动，其x和y方向的速度和加速度脉冲信号在0.2s内约有28次冲击，说明了频率为140Hz左右，这恰好对应于滚动体缺陷特征频率的理论值139.2Hz，证明了本文建立的模型的正确性。此外，虽然图示脉冲冲击的时间大致相同，但振动的幅值差异却异常明显，这是由变载荷的变化所引起的。
图4是滚动体局部故障低频段的频谱。由图4可知，包含了139.2和278.4Hz的频率，这两个频率成分正好对应着滚动体故障的特征频率及相应的二次谐波成分，同时，保持架的转动频率11.72Hz也反映明显。由于11.72Hz的调制作用，出现了特征频率的变频带，如278.4-11.72≈266.7Hz和278.4+11.72≈290.1Hz等。与内、外圈滚道局部故障不同之处在于，滚动体局部故障的调制频率主要是保持架频率。
3 实验分析
本文使用美国西储大学的实验数据，实验装置如图5所示，实验平台主要由一个2马力（1.47kW）的电机（图左），一个检测转矩的传感器（图中），一个功率计（图右）和电子控制设备（没有显示）组成，用加速度传感器分别采集支承电机轴的轴承高速端与电机端的振动信号。采样频率为12kHz，电机的转动频率为1772r/min，使用电火花加工技术在SKF6205型轴承上布置了单点故障，故障直径分别为0.007in（0.1778mm）。通过理论计算得到的滚动轴承滚动体故障的特征频率值为139.2Hz。图6是滚动体故障实验结果的时域和频域波形图。
从图6（a）的时域波形图中很难发现任何信息。在图6（b）的低频段频域图中包含有159.7和359.7Hz等主要特征频率，并没有发现滚动体故障特征频率的峰值，初步判断对滚动体故障的实验信号无法直接利用傅里叶变换得出故障特征频率。图6（c）是对滚动体故障的实验信号求时域包络后再进行傅里叶变换，从图6（c）中可以看到，出现了明显的滚动体故障特征频率，即140.1Hz，与理论计算的滚动体故障特征频率139.2Hz非常接近，相对误差为0.64%，非常小。此外，由于保持架频率和保持架通过内圈频率及其倍频的调制，出现了一些边频带，如104.6，122.3，163.7Hz。
对比理论计算、仿真和实验结果，建立的模型是正确的，有必要考虑滚道变形量以及基于变形量渐变释放的客观事实。
4 结论
针对独立研究滚动轴承动力学模型的不足以及现有模型并不能很准确地反映滚动轴承实际运行状态的问题，本文将滚动轴承视为独立的运动单元，深入研究了滚动轴承的滚动体故障，并基于滚动体故障经过内、外圈滚道时接触变形量渐变的事实，得出了接触变形量的变化规律，建立了含局部点蚀故障的滚动体动力学模型，并采用龙格一库塔法对模型求解。通过对具有故障滚动体的动力学仿真进行分析，滚动体的故障特征频率及其二次谐波与计算的特征频率结果相吻合。通过实验台得到的故障数据无法直接利用傅里叶变换得出特征频率，因此改用先求时域包络再进行傅里叶变换的方法求解，实验结果与计算得到的特征频率相接近，误差在0.64%以内，充分证明了本文所建立的含局部点蚀故障的滚动体动力学模型是正确的，为有效地诊断滚动轴承故障提供了理论支持。
