自助法的改进及在结构参数不确定性量化和传递分析中的应用
骆勇鹏 刘景良 韩建平
摘要： 参数不确定性量化及传递分析常需假定参数的总体分布，概率分布的选取对分析结果有较大影响。自助法无需进行分布假设即可对总体的分布特性进行统计推断，可在一定程度解决以上问题，但是在小样本情况下容易导致计算结果偏离真实分布。为此，采用信息扩散理论对自助法进行改进，结合响应面理论，提出新的参数不确定性量化及传递分析方法。该方法首先对各个Bootstrap子样本的概率密度函数进行信息扩散估计，采用接受-拒绝法生成大量改进Bootstrap子样本，计算不确定性参数的概率统计特征值。其次，根据不确定性量化结果，基于响应面模型，快速计算结构响应的变化区间，根据所定义的区间灵敏度指标来判断参数不确定性对结构响应的影响程度，量化响应的不确定性。最后，通过一斜拉桥的参数不确定性量化及传递分析，验证了所提方法的可行性及可靠性。
关键词： 不确定性量化和传递; 斜拉桥; 改进自助法; 响应面模型; 有限样本; 信息扩散
中图分类号： TU311.4; U448.27 文献標志码： A 文章编号： 1004-4523（2020）04-0679-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.005
引 言
土木工程结构的材料属性、制造误差、几何特征、荷载、边界条件及服役环境等均存在不确定性[1]。采用确定性模型与确定性方法进行分析，将无法正确有效地估计和量化结构参数不确定性对结构响应的影响，难以对结构的实际力学特性进行准确地分析与判断。因此，如何有效地量化参数不确定性及其对结构响应的影响，对于工程结构的分析、设计和优化等具有重要指导意义[2]。
目前常用的不确定性分析方法主要有区间分析、模糊理论和概率理论，即可采用区间参数、模糊参数和随机参数来描述参数不确定性问题。概率分析方法是三种方法中最为常用方法，而Monte Carlo法又是概率分析方法中应用较为广泛的。该方法根据参数的概率密度函数进行随机抽样，通过多次有限元模型计算得到输出响应的统计参数[3-5]。目前该方法存在的主要困难在于如何准确描述试验参数和响应特征的概率统计分布规律。而不确定性源的描述方式直接影响不确定性分析结果的准确性与真实性[6]，概率模型参数的小偏差也可能引起结构分析结果出现较大误差[7]。当试验样本个数较多时，可用K-S检验等方法来估计不确定性参数的概率分布[8]。但是，实际工程中往往难以提供足够的实测数据，只能基于某种假设进行。当假设的概率分布与实际分布不符时，将导致较大误差。也有学者提出区间分析可用于参数概率分布未知的情况，但需要指出的是区间分析无法提供输入引起输出的详细信息和概率特性[9]，得出的不确定分析结果过于笼统，不能够有效地指导工程实践。因此需要一种能够充分利用统计信息，又避免因信息过少而造成量化失真的不确定分析方法[10]。
自助法（Bootstrap抽样）[11]运用模拟再抽样技术代替理论分析，基于有限的试验观测数据模拟，再抽样出大量符合原数据特征的模拟样本，提供足够的样本进行概率统计分析，避免对概率分布函数假定的依赖，适用于小样本不确定性参数量化。但是，研究发现自助法在每次重抽样过程中均是从原始样本中抽取，当原始样本容量较小时，再抽样得到的Bootstrap子样本可能非常相似于原样本，导致计算结果偏离真实分布[12]。为此，刘健等[13]通过对自助样本生成范围的拓展，在一定程度上克服了自助样本生成范围受限的不足。胡正东等[14]提出了利用验前信息来弥补原始样本不足的改进自助法。黄玮等[15]研究了用指数分布函数、Boltzmann函数和三次多项式函数拟合修正样本经验分布函数的可行性。Yu 等[16]综合了无模型抽样和自助法的优势，提出改进的Bootstrap抽样方法。
本文引入信息扩散理论对Bootstrap抽样进行改进，通过将单值样本转换成概率形式表达的模糊集值样本，进而对非完备样本信息进行有效处理，在一定程度上解决原始样本限制的问题。其次在改进自助抽样的基础上，提出新的不确定性参数量化及传递分析方法，探讨参数不确定性对结构动力响应的影响程度。以数值算例和斜拉桥动力响应不确定性分析为例，验证所提方法的可行性及可靠性。
通过比较各个参数的灵敏度因子的大小判断各个参数变异对结构动力响应不确定性的影响程度。
随后，将灵敏度因子较高的不确定性参数的B组改进Bootstrap子样本代入ACE响应面中，灵敏度因子较低的参数取均值，计算B组改进Bootstrap子样本所对应的B组动力响应，进而获得B组响应的统计特征值，如均值和标准差。用这B个统计量的分布去模拟结构响应均值和标准差的分布，从而得到响应概率统计特征值的抽样分布及分布参数，达到估计多个参数变异对结构动力响应变化的影响以及因随机抽样产生的结构响应概率统计特征的估计误差。
2 数值算例
为了考察改进Bootstrap抽样算法的可行性及可靠性，利用一组来自已知总体的观测样本估计总体的分布参数。已知原始样本X=[1.1124， 0.3679， -1.6876， -0.8223， -0.9069， -1.5200， 1.6908， -3.0461， -0.3754， -0.3704， -0.1325， 0.6321， -0.1546， 0.3655， 0.3436， 0.7355， 1.1339， -0.3106， 1.2065， -0.3256]是来自标准正态总体N（0，1）的独立随机观测样本，样本个数n=20。
分别采用自助法、正态信息扩散及改进自助法3种方法对该组样本的均值和标准差进行估计。表1给出了几种方法估计的均值和标准差。从表1可知：直接根据小样本数据得到的估计结果与实际结果误差较大，基于自助法和信息扩散的估计结果有所改善，而本文所提的改进自助法估计的均值与标准差最接近实际值。由此可得改进的Bootstrap法在小样本数据的情况下总体分布参数的估计精度高于自助法和信息扩散理论。
（3）抽樣随机性对结构响应统计特征值有一定的影响，在不确定性分析中应予以量化。
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Abstract： The population distributions of the measured data or parameters are usually assumed during uncertainty analysis in structure parameter uncertainty quantification and propagation. In fact， the different probability distributions can bring different uncertain results， which will have impact on judgments of the structure. The overall distribution characteristics can be statistically inferred without the assumption of distribution based on Bootstrap method. However， this method limits the generating range of the self-help sample， which causes the self-help sample being similar to the original sample， and the non-self-help probability distribution disagreeing with the genuine distribution. Therefore， a new method for structure parameter uncertainty quantification and propagation based on improved Bootstrap method and response surface model （RSM） is proposed. Firstly， the information diffuse theory is introduced to estimate the probability density function of the limited measured data， which can be regarded as a surrogate function of the empirical distribution function and used to establish random samples. Secondly， the random samples of uncertain parameters are put into the RSM to calculate the response. A new sensitivity index is defined to judge the influence of the uncertainty parameters on the response. Finally， the dynamic characteristic uncertainty analysis of a cable-stayed bridge is presented to investigate the feasibility and effectiveness of the proposed method.
Key words： uncertainty quantification and propagation; cable-stayed bridge; improved Bootstrap method; response surface model; limited data; information diffuse
