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标题 2017年北京卷抛物线大题分析
范文

    金鑫 费连花

    一、背景分析

    1.研究对象是y2=2px(p>0)的抛物线,过y轴一定点P(且不为原点O)的动直线被抛物线所截弦为AB,设kOA+kOB=k,求证k为定值.

    证明? lPA: x a + y b =1, ①

    C:y2=2px(p>0), ②

    k= y1 x1 + y2 x2 = y1? y21 2p? + y2? y22 2p? =2p y1+y2 y1y2 ,

    將①代入到②式中,消x得y2=2pa 1- y b? ,

    整理得y2+ 2pa b y-2pa=0,

    由韦达定理得y1+y2=- 2pa b ,y1y2=-2pa,∴k= 2p b .

    2.过A作x轴的垂线交OB于点A′,取AA′中点M,判断M点与x轴的位置关系.

    解? 设A,B两点坐标分别为(xA,yA)(xB,yB).

    lOB:y= y2 x2 x,yA′= y2 x2 x,yM= y1+ y2 x2 x1 · 1 2 = x1 2?? y1 x1 + y2 x2? = p b x1.

    这说明P点在y轴正半轴上,M点必在x轴上方,反之在下方.

    3.求出射线OM的方程.

    答:y= p b x(x>0),说明此射线位置确定.

    结论:kOA+kOB=2kOM,三条直线斜率成等差数列.

    4.M点轨迹.

    解? M x1, p b x1 ,对应参数方程 x=x1,y= p b x1,

    ∴y= p b x(x>0)为M点轨迹.

    注意3,4对应的方程是完全一样的.

    5.求出Q点坐标.

    解? y= p b x(x>0), ①

    y2=2px(p>0). ②

    联立得x= 2b2 p ,y=2b,Q? 2b2 p ,2b .

    二、结论分析

    以上的5个结论始于P点,而P点的位置是y轴非原点,也可以理解成是过抛物线顶点且垂直于对称轴的直线上的点(异于顶点).笔者通过斜率的关系将过P点的直线与抛物线交出的交点弦的特征给出,笔者希望读者能够理解P点作为图形的先天环境之一,甚至是某些结论的决定因素,从另一个角度来说它是一个动因,它的位置影响着斜率和的值是否为定值,影响着M点的位置,影响着M的轨迹,影响着Q点位置.本文通过坐标法讲解,所以参量b作为动因P的代数形态表达,那么所有能用b表达的量且其他量确定的情况下,因P动而动,反之因P定而定之.

    三、真题分析

    2017(北京·理科)18题:已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1),过点 0, 1 2? 作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.

    (Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(解答略)

    (Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.

    (Ⅱ)初步分析:笔者在背景分析中为读者提供了这个高考题的原始形成过程,当然这并不能直接让读者受益,希望读者能够明白,我们可以根据研究其形成过程去对题目改编及创造或者重新赋值,接下来我们对这个高考题的数据进行具体的测试.

    我们假设已知A为线段BM的中点,然后找出影响的那个Q点,由题可知p= 1 2 .

    由背景分析中的5号结论可得Q(1,1),当然这里如果是笔者的话,会考虑直接赋这个值,反推出这个抛物线方程然后去编题.

    深度分析:现在来看,这个题目是先找到Q点然后编辑的题目,但是考生并不会立刻判断出这个Q点竟然如此特殊,考生往往以为条件用过一次可以忽略了,其实不然,还有一个问题就是考生总是怕设斜率k,因为设了以后他就知道联立韦达,其实我们很有必要对它进行真假动因的判断,而这种判断往往需要一定的计算能力,笔者在这个题目的分析中没有用斜截式,而是截距式.最后我们来说一下第二问的思路,分别计算BM中点坐标,还有BM和OP交点坐标,判断重合即可.

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更新时间:2025/3/10 16:40:01