| 标题 | 利用函数图像探求方程和不等式的性质 |
| 范文 | 刘珍 【摘要】函数、方程、不等式是初中数学中的重点和难点，本文通过对函数概念和表达形式的深入理解，从函数图像的角度，给出了一种新的直观的角度看待方程与不等式，为挖掘方程和不等式的本质提供了思路，也为初中生掌握方程、不等式提供了帮助. 【关键词】函数;图像;方程;不等式 一、函数与函数图像 函数是初中数学中教学内容的重点，它贯穿了整个初中数学的教学过程，同时，函数也是初中数学教学内容的难点，由于它本身的抽象性、复杂性，导致无论是教学过程中，还是学习的理解运用过程中，都出现了很大的困难. 函数本身指的是自变量和因变量的相互变化关系，函数的提出本身就具有很伟大的价值.它是高度抽象的，大到银河宇宙，小到原子夸克，只要是可以量化的具有变化关系的两个量，就可以用函数表示出来，可以看到函数应用的广泛性，这也就决定了函数可以在多个领域有着广泛的应用，与多个学科知识存在深度交叉. 而自变量和因变量之间的变化关系可以有很多种，甚至说是无穷无尽.在教学过程中，从最基本的正比例函数，到一次函数，到反比例函数，再到二次函数，可以发现越来越复杂，虽然从我们的习题和例题中可以发现这些函数就可以用于解决很多的生活问题，然而这些只不过是函数中的沧海一粟，是学者前辈已经研究很久的、高度总结的一些经典函数，还有很多复杂的函数，他们的性质，他们的之间的变化关系值得我们去探讨. 为了认识和了解函数，我们有很多的形式去解开函数神秘的面纱.一般来讲，具有公式法、表格法和图像法三种，这三种方法各有千秋.公式法，指的就是我们常见的函数表达式，它也有多种表现形式，最常见的就是像y=kx这种格式.这种表达方式具有高度的总结性，它很深刻地将y和x之间的变化关系表示了出来，任意给出一个x的具体值，都可以很快地求解出y的值.反之，给定一个y的值，同样也能很快可以求解出x的值.在相关计算问题上，具有很大的优势，同样，由于它太抽象了，我们除了在计算具体值之外，很难对函数整体有所了解和把握;表格法是将一系列的自变量和因变量的取值对应地填写在表格中，可以认为它是将一系列的具体数值代入公式中，求解得到的，在某些特定的值上，它很快地就可以查询出来，通过比较相互的自变量与因变量的值的大小，可以对函数的增长和下降趋势有一些模糊的认识;图像法，顾名思义，是将自变量和因变量的相互变化关系在直角坐标系中表示出来，图像法具有很强的直观性，能够清晰全面地将函数的变化趋势呈现出来，比如，极值点，拐点，上升下降趋势等等都可以清晰地表示出来，不过整个函数图像中只有变化趋势，没有任何实际的数值. 可以发现函数的三种表达方式，从三个不同的角度刻画和呈现了函数的规律，各有千秋，而圖像法由于直观形象的特点，得到了广泛的关注和应用. 二、函数与方程 最简单的函数，形如y=kx+b，最简单的方程，形如ax+b=0，我们仔细观察这两个式子，会发现它们在形式上竟然如此的相似，不就是k=a且y=0的情形嘛.k与a都是变量，在形式上是等价的，而0只是y的取值范围中可能存在，可能不存在的一个取值而已.也就是说我们完全有理由把方程看成函数的一种情况，一种函数在y取0时，自变量x的取值情况的问题. 一元方程有没有解的问题，可以转化为对应的一元函数有没有零点的问题，同样也可以转化为一元函数图像与x轴有没有交点的问题，前一步可以归功于函数与方程在形式上的相似，而后一步就要归功于函数的多种表达方式，公式法和图像法对同一函数不同角度的刻画，为我们诞生了数形结合的思想，从而一元方程的解问题，就可以转化为对应的一元函数交点问题，从图形的角度，直观的角度为我们描述方程的表达. 再拓展开来，初中教学中，二元一次方程组是十分常见和重要的内容，我们接下来从函数的角度来理解它们.在正常的二元一次方程组的求解中，我们是通过消元的方法转化为一元一次方程解决，这是代数的，计算的方法.通过刚才的分析，二元一次方程组中的某一个方程，可以理解为函数公式中将自变量和因变量挪到一侧的形式，也就是函数表达的一般式，从图像的角度来看，二元一次方程组中的任意一个方程对应的都可以理解为一次函数的表达，即一条直线，那么二元一次方程组的解的问题，就可以转化为两条直线的交点问题.一个是抽象的计算的方程形式，一个是直观的直线的形式，就这样巧妙地联系在一起. 三、函数与不等式 不等式同样是初中数学中的一个重头戏，最简单的不等式，形如ax+b>0，可以发现它与方程ax+b=0的形式很像，而从刚才的分析可以看到，方程与函数有着很紧密的联系，接下来我们尝试从函数角度理解不等式ax+b>0的解x的取值范围，不就是函数ax+b=y，y>0时所有x的取值范围吗，也就是说函数图像在与x轴交点右侧或左侧x的取值范围. 我们拓展开来，在二元一次不等式组中，每个不等式形如ax+by+c>0（b不为0），它可以跟函数y=-ax+cb联系起来，可以发现，函数为一次函数，其图像为一条直线，这条直线将整个直角坐标系平面分为了两部分，一侧的所有点代入ax+by+c中都大于0，而另一侧的所有点代入ax+by+c中都小于0，二元一次不等式组的解的取值范围就可以理解成函数图像中，多条直线所围成的区域的取值范围，与方程一样，不等式也与函数图像巧妙地结合在了一起. 四、总结 本文从函数的概念、表达形式入手，通过分析函数与方程、函数与不等式的形式的相似性，利用数形结合思想，巧妙地通过函数图像的形式，展现出了函数与方程，函数与不等式的内在联系，利用图像的直观性探究了方程和不等式的本质，为学生更好地掌握初中数学知识提供了帮助. |
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