| 标题 | 平面向量与其它学科的相关性 |
| 范文 | 赵金荣 摘 要：数学概念-向量与其他学科的相关性在本文中进行了探讨。主要从平面向量的加减法，数量积与物理学的关系，以及平面向量在飞机导航上的应用进行了讨论。 关键词：平面向量；向量的运算；数量积；导航 作为数学教师，都知道在给学生讲授数学知识，尤其是较为抽象的数学概念时，使用一些学生较为熟悉的问题，或者与其他科目相关的知识引入，学生更容易对即将要学习的知识产生兴趣，从而降低对新知识接受时的畏难情绪，从而提高学习效率。数学并没有一般人想象中的抽象和晦涩，日常生活和我们所熟知的一些学科中都能够找到恰当的课题与数学相关，比如说向量与物理学就有着息息相关的联系。在本文中，我们将会从很一般地角度探索一下数学概念-向量与其他学科的相关性。 1 从概念上，向量就是物理学中的矢量 从数学角度，向量是与我们日常所熟知的只有大小的数量相对应的量，这类量只用大小无法充分说明其特质，要充分描述这些量，必须使用既有大小，又有方向的量，比如说物体运动的速度，受到的力，产生的位移，都必须使用既有大小又有方向的量来描述，这类量在物理上叫矢量，与这类量相应的是标量，通常情况下，物体的温度、面积、体积、密度等，只需要大小就可以用标量来描述。在数学上，与标量对应的就是数量。使用这些分析引入向量的概念，既能够充分说明向量的特性：既有大小又有方向，又能通过对比告诉学生向量与数量的区别，同时也给出了这类量引入的物理意义之所在，从而说明了数学知识源于生活，高于生活，又被用来指导生活，让学生看到了数学概念与其所熟悉的知识的相互联系。 2 向量的运算与物理的关系 在向量的學习中，我们要学习平面向量的加减、数乘以及向量的数量积，在这类问题的讲授过程中，充分利用平面向量与物理的关系，更容易让学生学会向量的运算，同时，也能更顺利地让学生看到使用数学概念解决其他学科的问题需要的一般地思路。要说明这个问题，我们从几个方面进行说明。 （一）向量的加减法 从数学上，研究平面向量时，一般只需要考虑向量的大小和方向，不需要考虑其起点位置，所以数学上研究的平面向量可以在保证方向和大小不变的情况下在平面上自由地进行平移，因此又称为自由向量。所以，在把两个向量相加时，可以才取两种方法进行，方法一就是，把相加的两个向量进行平移，使得二者的起点一致，然后以这两个向量为平行四边形的两条边作出一个平行四边形，那么以这两个向量的共有起点为起点，并以与这个点相对的顶点为终点的对角线对应的向量就是这两个向量的和向量，而这个平行四边形的另一条对角线则是这两个向量的差。另一个方法是，把相加的两个向量首位相连，然后以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点决定的向量就是这两个向量的和向量。向量的加法最适合用力的合成进行解释。因为，经过试验证明如果两个力，F和G作用在用一个物体上，二者的净作用力与F+G的合力作用在这物体上的效果相同.再比如说，静止在一斜面上的物体，受到的合力为零，所以保持静止不动。物体之所以能够保持静止，是因为这个物体受到的力相互抵消，处于平衡状态，所以在分析这个物体的受力时，用到的就是力的差，而力是典型的向量。在数学上，研究的平面向量是自由向量，可以在平面内自由移动，但物理上的概念力，除了方向和大小之外，还需要有作用点，所以，尽管力在进行加法或减法时允许平移，但最终得到的结果还需要平移到与加和的向量相同的起点，才能够说明问题。利用力的合成与分解，说明向量的加法和减法，更能说明这类量的实际应用。让学生体会到向量这个知识点在解决问题中的应用. （二）向量的数量积 实际上，在有些数学教材中，平面向量的数量积这个定义的引入就是使用物理中功的概念引入的。物理上，力和位移都是向量，一个恒定的力对物体所做的功等于这个力在位移的方向上的分量与位移的乘积。而力在位移方向上的分量大小是这个力与力与位移夹角的余弦值的乘积。而功又是一个数量。所以，常力做功的过程表示为。把这个概念推及到向量的点乘积，就是，这个结果是一个只有大小的数量，所以，向量的点乘积又叫做数量积。 3 平面向量在导航中的应用 要说明这个问题，先需要引入一些术语。设一架飞机的航向是正东.这就意味着这架飞机正直向东行驶，如果没有风的影响，相对于地面，飞机应该的确由西向东行驶.空速是飞机相对于空气的速度，而地速则是飞机相对于地面的速度.如果没有风速的影响，飞机的空速和地速应该相等.现在，设飞机的航向和空速在图1中用速度向量V表示.（V的方向是正直；V的大小是空速.）还假设风速在图17中用向量W表示.然后，向量V+W代表飞机的实际相对于地面的速度.V+W的方向叫做航线；是飞机相对于地面的移动方向.V+W的大小是地速（前面已经定义过）. 在导航中，方向是通过从实际的北方按顺时针方向测量到的角.我们通过一个例题说明平面向量在飞机导航中的应用。 比如：一飞机的航向和空速分别是60。和250mph.如果风速是40mph，角度是150。，求这架飞机的地速，偏航角和航向. 解：如果用向量表示空速是250mph，方向60。.向量表示风速是40mph，角度是150。.而且，角WOA=90。.使用向量的平行四边形，可以得到向量和+=.的长度表示地速，角false表示偏航角.因为BOA是一个直角三角形，我们有，那么，而 根据这些计算结果，可以总结出这架飞机的地速大约是253.2mph，偏航角大约是9.1。.我们仍需要计算出航向（也就是，向量的方向）.于是有 因此，航向是50.9。，到小数点后1位数.（按照前面已经提过的惯例，这些方向是从正北开始按顺时针方向测量到的角.） 从上面可以看出，平面向量与其他学科的关联性非常密切，我们在给学生介绍这些内容时完全可以使用这些方面的内容，让学生消除对数学的偏见，从而提升学生的学习兴趣，提高其学习的积极性和主动性。 参考文献 [1]Precalculus A Problem-oriented-Approach，.Cohen，.Lee，.Sklar， 6ed. P666-667. |
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