| 标题 | 空间解析几何中向量数量积的引入与讲解 |
| 范文 | 左占飞 摘 要：众所周知，空间解析几何是数学专业学生必修的一门重要课程.传统的教学方式主要以教师讲授为主，学生通过适量的课后练习巩固课堂学习的知识点.但这种教学模式，学生缺少主动的思考，课后的知识内化也很难得到有效落实，因而往往难以达到预期的教学效果.本文针对这些问题，以向量数量积的引入和讲解为例，让学生在探究问题的过程中学习抽象概念，即通俗又实用，为解析几何的教学改革提供一些参考方法. 关键词：解析几何；数量积；概念引入 1 前言 空间解析几何是是大学数学专业的基础课程之一，是对中學平面解析几何及立体几何的进一步扩充和延伸，同时，它也是学习高等几何、微分几何等其它几何课程的基础. 如何让学生尽快理解其相关的概念，并将其应用到自己的后续课程中，是提高解析几何教学质量的一个重要环节.现阶段普遍的教授方式是从抽象的概念出发，推导出一些性质再来讲解概念在解题中的应用。这样的教学方式容易导致学生在学习知识时感到枯燥乏味，对所学概念的前因后果没有一个整体的认识，不知概念从何处来，也不知这些概念会应用到那些实际问题中去，从而使学生丧失了探索知识的本领，失去了对数学学习的兴趣.本文通过空间解析几何中向量数量积的引入，来探讨如何将抽象的数学概念形象化和实用化. 2 向量数量积的引入与讲解 空间解析几何教材数量积这一节内容，首先介绍了数量积的概念，然后探讨了一些与概念有关的性质、定理及计算方法等理论知识，最后是数量积的一些数学应用实例.针对上述特点，我们设计了一些与概念相关的一组问题，问题简单但具有代表性，主要目的是帮助学生建立一个学习的阶梯，由浅入深、循序渐进地掌握数量积的知识细节. 2.1 向量数量积的定义和几何意义 对于数量积的定义和几何意义，我们设计了下面的问题让学生理解定义中的关键字词，让学生透过问题的表象抽象出概念的本质。 通过上面两个问题的讲解，让学生自己观察、分析、讨论，抽象出不同学科问题之间的共有属性，从而提炼出向量数量积概念的通用性，从而水到渠成的引入了下列数量积的定义. 数量积的定义： 这样以问题为中心的教学法不仅提高了学生学习数学的兴趣，而且锻炼了学生自主探索知识的能力，因此有助于提升教学效果。 2.2 向量数量积的计算与运算律 引入了向量数量积的定义以后，学生首先对数量积的来源有了一个初步的认知，然后为了加深对概念的巩固和理解，我们把定义再做进一步的延伸，比如启发学生观察出数量积的定义与向量射影之间的关系， 为后面证明运算律做准备. 然后进一步通过定义， 推导出向量模和向量夹角的计算公式，便得到了几何中最重要的两个概念：距离和角度。 在讲解数量积的运算律时，如果直接用数量积概念来推导运算律，学生在接受这些知识点时，会缺少主动的思考，被动地接受老师讲授的知识，学习效果往往不是很好。在处理这一部分内容时，我们可以将一些应用的问题提前，比如可以让学生先考虑下面的问题： 问题3：平行四边形的对角线平方和等于各边的平方和推导. 学生在解答问题的过程中，发现要想解决这些实际问题，就必须要研究向量计算的运算律，比如结合律、交换律、分配律，是否和数的运算律一致？带着这些问题展开研究，为学生指明研究的基本方向，让学生带着“问题”推导出数量积的运算律，从而提高学生学习的能动性。 2.3 数量积的应用 教材在讲解数量积的应用时，举的例子基本全是在数学中的应用，没有数量积在生活实际中的应用，这样便给学生这样一种错觉，数量积既然是这么重要的一个数学概念，却没有体现出在生产实践中的广泛应用性。我们应该在讲解数量积应用时，加入聚光灯的效果计算问题： 由于向量的数量积与它们夹角的余弦成正比，因此可以根据数量积来判断光照效果，因此数量积越大，说明夹角越小，则离光照的轴线越近，光照越强。由于数量积的坐标计算比较容易，所以上述方法在应用时具有很强的操作性。而且通过计算数量积的符号，还可以来判断计算机中的图形方向，如两向量数量积为正，则它们的方向朝向相近，如果数量积为负，则方向朝向相反，而且此方法还可被用于动画渲染。通过将抽象的概念实用化，才能让学生觉得数量积的概念不是无源之水，更不是无用武之地，这样讲解往往会收到更好的效果. 3 结语 本文以解析几何中的数量积为例，阐述了通过以问题为中心，进行教学设计的过程.不仅可以激发学生学习数学的积极性和兴趣，从而让知识内化在课堂中得以落实， 这种教学方式在大学数学课堂中具有潜在的应用价值。 参考文献 [1]吕林根， 许子道等编.解析几何[M].北京： 高等教育出版社， 2005. [2]高德宝， 李春雷.《空间解析几何》与空间思维能力的培养[J].通化师范学院学报，2010，（08） ： 87-89. |
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