标题 | 空间解析几何中向量数量积的引入与讲解 |
范文 | 左占飞 摘 要:众所周知,空间解析几何是数学专业学生必修的一门重要课程.传统的教学方式主要以教师讲授为主,学生通过适量的课后练习巩固课堂学习的知识点.但这种教学模式,学生缺少主动的思考,课后的知识内化也很难得到有效落实,因而往往难以达到预期的教学效果.本文针对这些问题,以向量数量积的引入和讲解为例,让学生在探究问题的过程中学习抽象概念,即通俗又实用,为解析几何的教学改革提供一些参考方法. 关键词:解析几何;数量积;概念引入 1 前言 空间解析几何是是大学数学专业的基础课程之一,是对中學平面解析几何及立体几何的进一步扩充和延伸,同时,它也是学习高等几何、微分几何等其它几何课程的基础. 如何让学生尽快理解其相关的概念,并将其应用到自己的后续课程中,是提高解析几何教学质量的一个重要环节.现阶段普遍的教授方式是从抽象的概念出发,推导出一些性质再来讲解概念在解题中的应用。这样的教学方式容易导致学生在学习知识时感到枯燥乏味,对所学概念的前因后果没有一个整体的认识,不知概念从何处来,也不知这些概念会应用到那些实际问题中去,从而使学生丧失了探索知识的本领,失去了对数学学习的兴趣.本文通过空间解析几何中向量数量积的引入,来探讨如何将抽象的数学概念形象化和实用化. 2 向量数量积的引入与讲解 空间解析几何教材数量积这一节内容,首先介绍了数量积的概念,然后探讨了一些与概念有关的性质、定理及计算方法等理论知识,最后是数量积的一些数学应用实例.针对上述特点,我们设计了一些与概念相关的一组问题,问题简单但具有代表性,主要目的是帮助学生建立一个学习的阶梯,由浅入深、循序渐进地掌握数量积的知识细节. 2.1 向量数量积的定义和几何意义 对于数量积的定义和几何意义,我们设计了下面的问题让学生理解定义中的关键字词,让学生透过问题的表象抽象出概念的本质。 通过上面两个问题的讲解,让学生自己观察、分析、讨论,抽象出不同学科问题之间的共有属性,从而提炼出向量数量积概念的通用性,从而水到渠成的引入了下列数量积的定义. 数量积的定义: 这样以问题为中心的教学法不仅提高了学生学习数学的兴趣,而且锻炼了学生自主探索知识的能力,因此有助于提升教学效果。 2.2 向量数量积的计算与运算律 引入了向量数量积的定义以后,学生首先对数量积的来源有了一个初步的认知,然后为了加深对概念的巩固和理解,我们把定义再做进一步的延伸,比如启发学生观察出数量积的定义与向量射影之间的关系, 为后面证明运算律做准备. 然后进一步通过定义, 推导出向量模和向量夹角的计算公式,便得到了几何中最重要的两个概念:距离和角度。 在讲解数量积的运算律时,如果直接用数量积概念来推导运算律,学生在接受这些知识点时,会缺少主动的思考,被动地接受老师讲授的知识,学习效果往往不是很好。在处理这一部分内容时,我们可以将一些应用的问题提前,比如可以让学生先考虑下面的问题: 问题3:平行四边形的对角线平方和等于各边的平方和推导. 学生在解答问题的过程中,发现要想解决这些实际问题,就必须要研究向量计算的运算律,比如结合律、交换律、分配律,是否和数的运算律一致?带着这些问题展开研究,为学生指明研究的基本方向,让学生带着“问题”推导出数量积的运算律,从而提高学生学习的能动性。 2.3 数量积的应用 教材在讲解数量积的应用时,举的例子基本全是在数学中的应用,没有数量积在生活实际中的应用,这样便给学生这样一种错觉,数量积既然是这么重要的一个数学概念,却没有体现出在生产实践中的广泛应用性。我们应该在讲解数量积应用时,加入聚光灯的效果计算问题: 由于向量的数量积与它们夹角的余弦成正比,因此可以根据数量积来判断光照效果,因此数量积越大,说明夹角越小,则离光照的轴线越近,光照越强。由于数量积的坐标计算比较容易,所以上述方法在应用时具有很强的操作性。而且通过计算数量积的符号,还可以来判断计算机中的图形方向,如两向量数量积为正,则它们的方向朝向相近,如果数量积为负,则方向朝向相反,而且此方法还可被用于动画渲染。通过将抽象的概念实用化,才能让学生觉得数量积的概念不是无源之水,更不是无用武之地,这样讲解往往会收到更好的效果. 3 结语 本文以解析几何中的数量积为例,阐述了通过以问题为中心,进行教学设计的过程.不仅可以激发学生学习数学的积极性和兴趣,从而让知识内化在课堂中得以落实, 这种教学方式在大学数学课堂中具有潜在的应用价值。 参考文献 [1]吕林根, 许子道等编.解析几何[M].北京: 高等教育出版社, 2005. [2]高德宝, 李春雷.《空间解析几何》与空间思维能力的培养[J].通化师范学院学报,2010,(08) : 87-89. |
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