标题 | 在知识迁移、问题类化中探索多角形内角和问题 |
范文 | 袁乐 【摘要】数学讲究理性的推导,也讲究抽象的思考,讲究静态的逻辑,也讲究动态的过程,讲究生动的图像,也讲究简洁的符号.中学数学教学应促使学生学会用一双数学的慧眼观察世界,从数学的角度发现和提出问题、探索和解决问题.不仅要学会书本上的知识,更要学会在知识迁移和问题类化中发现新问题并探索新问题,由一得十,由十得百,由百得世间万千.笔者从“多边形的内角和与外角和”这一节内容出发,尝试去探索和解决“多角形的内角和”问题. 【关键词】多角形内角和;知识迁移;问题类化;环形跑道 一、基于教材,提出问题 在苏科版初中教材中,“多边形”一般泛指“凸多边形”.七年级的学生已经掌握了“多边形的内角和与外角和”的相关知识,得出了n边形内角和公式为180°×(n-2),n边形外角和为360°.并可以利用总结归纳好的公式快速计算,十分方便.在日常教学中,针对“角”的习题训练巩固方面,教师常常会选用五角形的图案(图1-1),要求学生计算其五个角之和.学生一般会找寻五角形图案中蕴含的三角形,利用三角形的外角定理,将要求解的五个角汇聚到同一个小三角形中,很容易得到五角形的内角和是180°. 既然五角形这样的图案可以解决其内角和问题,那么与其类似的其他图形的内角和问题是否也可以解决呢?是否也能得出一个统一的规律性的结论呢?这真是一个有趣的问题! 二、明确定义,尝试探索 由于形如上述的图案(图1-2、图1-3)在中学教材中没有明确的名称,为了叙述方便,本文不妨将这些图案称作“多角形”.它们可以看作是在同一平面内一条首尾相连的折线所组成的图形. 通过把复杂的多角形拆分转换成熟悉的三角形、四边形,利用它们的相关知识,可以计算得到六角形(图1-2)内角和为360°,七角形(图1-3)内角和为540°.但随着图形的进一步复杂,这样的推理计算难度会逐渐增大.不妨观察目前已经得出的数据,尝试总结其中蕴含的规律. 五边形内角和=540°,五角形内角和=180°, 六边形内角和=720°,六角形内角和=360°, 七边形内角和=900°,七角形内角和=540°, …… 对比数据,很容易有以下三点发现: 1.纵向对比数据,每增加一个边(角),其内角和都会增加180°; 2.再横向对比数据,后者总是比前者少了360°; 3.由于n边形的内角和为180°×(n-2),所以可以类似地尝试总结n角形的内角和为180°×(n-4). 这个结论是否适用于所有的多角形呢?大胆猜想之后,就必须小心求证了! 三、追本溯源,回到三角形 在思考和解决数学问题时,常常需要借鉴已经学过的知识和累积的经验结论,即所谓知识的迁移.当处理多角形内角和比较困难时,我们不妨去回顾当初是如何研究多边形内角和与外角和的.由于(凸)多边形造型简单,对其内部分割成三角形十分简单,而多角形造型复杂,内部线条较多,显然不宜再划线分割.此时切莫放弃,想想(凸)多边形外角和是怎么研究的呢? 回顾教材可以发现,在课后习题中,曾提出过一个有趣的“环形跑道”的问题情境.把△ABC图案实体化成生活中常见的环形跑道A-B-C-A.跑步者从点A出发依次经过点B、点C、最后回到点A,且跑道中间站立一名观测者.由于在各个顶点处转弯方向总是一致的,无论观测者面朝哪个方向,跑步者从A点出发再回到A点,都会从他面前经过一次,即跑步者绕着观测者跑了一圈.在每个顶点,跑步者转过的角度,就是这个顶点处的外角的大小,绕着这样的“三角形环形跑道”回到起点A,需要一圈,则可以说明“三角形外角和为360°”. 类似地,利用这种“环形跑道”的模型,可以解决所有(凸)多边形外角和问题,都是需要跑一圈,外角和为定值为360°. 四、对比观察、小心求证 对比五边形的环形跑道和五角形的环形跑道A-B-C-D-E-A(如图2所示),在各个顶点處跑步者的转弯方向总是一致的,可见在五角形的环形跑道中,无论观测者面朝哪个方向,跑步者从A点出发再回到A点,必然从他面前经过两次,即跑步者绕着观测者跑了两圈. 由于五角形图案比较复杂,不一定每名学生都能立刻体会出“两圈”,教师可以带领学生们举起胳膊,依照点的顺序,极其夸张地在空中比划画圈,当手臂挥舞越夸张,越能明确地感受到“两圈”.这个过程十分有趣,学生会有很大的兴趣参与其中,这样“玩”数学学习方式对初中的学生来说十分新奇. 再对比六边形的环形跑道和六角形的环形跑道A-B-C-D-E-F-A(如图3所示),同样的会得到在六角形跑道中,需要两圈. 通过两次对比,图中多角形的环形跑道总是比多边形的环形跑道还要多跑一圈,即意味着外角和增加360°.既然外角和多了,那么内角和自然就少了.这样就可以解释为什么一开始我们对比观察得出的:当n相同时,n角形内角和总是比n边形内角和少360°. 但是刚刚是用“跑圈”这种动态的角度去解释多角形的外角问题,缺乏严密的证明.现在以五角形为例,验证在“五角形跑道”(如图4所示)的模型下,回到起点,跑两圈,五个外角是如何转化成两个360°的. 过点A作AK∥BC,过点C作CL∥AE,可证得∠2=∠BAK,∠3=∠4,则可在顶点A处拼凑出一个360°,即∠1+∠2+∠4=360°; 再过点E作EM∥CD,可证得∠6=∠8,∠5=∠AEM,则此时在顶点E处又拼凑出一个360°,即∠6+∠5+∠7=360°; 综上,(∠1+∠2+∠4)+(∠6+∠5+∠7)=360°+360°,即∠1+∠2+(∠4+∠5)+∠6+∠7=720°,确实“跑两圈”等价于“外角和为两个360°”! 通过严格的推理论证,学生可以根据“跑两圈”等价于“外角和为两个360°”,进而自然就得出跑得圈数的多少直接决定着外角和的度数.掌握了这个方法,以后只要外角和能求出来,内角和自然用180°n减去外角和,即可得到多角形的内角和. 五、再探剖析,小结反思 图5-1也是一个七角形,但它的内角和显然比图1-3要小得多.再次利用“环形跑道”的模型,跑步者需要跑三圈,可见其外角和是3个360°,则内角和=180°×7-360°×3=180°. 小结:对n角形,如果在各个顶点处的转弯方向一致(即总是顺时针或逆时针转角),回到起点时,若跑了m圈,则外角和=360°m,内角和=180°n-360°m. 六、峰回路转,再探奇妙 在本文中,虽然我们对多角形从“环形跑道”角度进行了动态的研究,也得出了静态的规律和结论,但是关于“多角形”的研究这还只是冰山一角. 例如,图5-2也是一个七角形,你能求出它的内角和与外角和吗?仔细观察,在环形跑道各个顶点处的转弯方向一致吗? 七、教无定法、贵在得法 在本课题中,教师从已有的多边形的知识出发,从生活中常见的五角形入手,提出多角形的问题.由浅入深,由生活中提炼数学图形,激发学生的兴趣.在思考多角形问题一筹莫展的时候,引导学生温故知新,认准知识之间的衔接点,尝试从已经掌握的几种论证方法着手,探寻新思路.利用这种迁移进行教学,既符合学生的心理特征和认知规律,又有助于形成完整的认知结构,不但使得学生理清了算理算法,思维也得到了发展,既掌握了知识,还培养了能力.学生经历“大胆猜想、小心求证”,体会数学学习看似简单轻松的公式定律的背后,离不开严谨的理论支撑.再经历“峰回路转、再探奇妙”,体会数学探索的跌宕起伏,等闲平地起波澜,在低谷时燃斗志,在高峰时莫得意.每一次数学探索都是在原有的知识上小心翼翼地迈一步,再迈一步.猜想、归纳、求证、推翻、再猜想、再归纳、再求证.这正是数学的无限魅力所在! |
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