标题 | 巧用等价无穷小量求极限 |
范文 | 贾松芳 陈彦恒 【摘要】本文给出了无穷小量和差极限中等價无穷小替换定理,并举例说明它们的应用,对今后学生学习极限是有益的. 【关键词】极限;等价无穷小量;等价替换 【基金项目】该文由重庆市教委科研资助项目(KJ1710254),重庆三峡学院重点项目(14ZD16),重庆三峡学院数学与统计学院教改项目资助. 无穷小量并不是一个很小的数,它是在某个变化过程中极限值为零的函数,能作为无穷小量的数只能是数字0.两个函数在某一变化过程中为等价无穷小量,是说这两个函数在此变化过程中为无穷小量,且此变化过程中两个函数之比的极限值为1;从函数随自变量的变化趋势来说是两个函数趋近于0的速度基本相同. 求极限的方法有多种,包括定义法、分子(母)有理化法、因式分解法以及利用重要极限、洛必达法则、泰勒公式等.这些方法虽然非常实用,可是仍存在不足.比如,洛必达法则,有些复杂函数经过数次求导后,并不会达到简化计算的目的.同样,泰勒公式虽然可以解决一部分极限问题,可是在解题过程中对于大多数学生来说还是不容易掌握的,它对过程的要求过于严格,一环紧接着一环,并且计算量往往比较大.然而利用等价无穷小量替换定理,见文献[1,2],往往简化某些极限运算的计算过程,给极限求解带来方便.本文归纳总结等价无穷小量在函数和差极限中的应用,对今后极限的学习是有益的.该文所使用数学符号与文献[3]保持一致. 一、无穷小量和差极限中的等价替换 由等价无穷小量的替换定理知,乘除法函数的极限中的无穷小可用相应的等价无穷小替换,无穷小和差极限是否可以同时用等价无穷小替换呢?我们得到下面结论: 【参考文献】 [1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2008. [2]刘玉莲,傅沛仁,等.数学分析讲义(上册)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2011. [3]同济大学数学系.高等数学(上册)(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2014. |
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