《浅谈“数形结合”思想的数学应用策略》-教育论文，中小学教育教学-论文范文参考-科学狗论文网

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浅谈“数形结合”思想的数学应用策略

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黄晓纯

摘要：《新课程标准》要求学生通过学习数学的知识、技能和方法过程，能进一步形成自己的数学思想，并学会用数学的方法去解决生活中的实际问题。这就意味着教师要改变传统教学过程中对知识的传授倾向，必须更多地关注学生动态的发展过程，课堂上更要以学定教，注重培养学生的数学素养，明确要求学生对数学思想方法的掌握。而“数形结合”思想作为最重要的数学思想之一，在整个初中阶段都占据着十分重要的地位。其实质是将抽象的数学语言与直观的图象有机结合起来，使代数问题几何化，几何问题代数化，由数解形，以形帮数，使复杂的问题简单化，抽象的问题生动化，化繁为简，化难为易，使问题迎刃而解。

关键词：数学;应用;数形结合;思想方法

中图分类号：G4 ?文献标识码：A ?文章编号：（2020）-37-381

我国著名数学家华罗庚先生曾对数形结合的思想和方法赋诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直觉，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休;切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。” 由此可见，数形结合思想在学好数学起到的作用是不容小觑的。作为一种重要的数学思想方法，数形结合思想的应用更有利于我们分析题目中的数量关系，以便找到最简洁、最方便的方法来解决问题。下面我从初中阶段数学的三大知识板块——“数与代数”、“解析几何”、“统计与概率”中数形结合思想的应用进行探讨。

一、“数与代数”中的数形结合

初中阶段的数学，代数的学习是重点，也是难点。学生在解答代数问题时，如果仅仅运用代数的解答方法，那么在求解的过程中，则需要处理比较复杂的假设等问题。将抽象的代数与形象的函数图像结合起来，通过坐标、数轴等方式形象化地呈现出来，更便于学生理解与记忆。例如数轴，它是一种特定的几何图形，它用一条直线将实数紧密的联系在一起，同时又将相反数与绝对值直观的呈现在我们的眼前，它是中学数学中数形结合的起点。

例1：实数a、b在数轴上的位置如图所示，则|a-b|的化简结果正确的是

总所周知，实数与数轴上的点是一一对应的，我们利用数轴的直观性，让数与数轴这个“形”，紧密融合在一起。由图可知a

不等式内容也蕴藏着数形结合的思想。如“一元一次不等式和一元一次不等式组”的解集，如果适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，也让学生理解的更深刻。

函数及其图象内容更是凸显了数形结合思想。由于在直角坐标系中，有序实数对（x ，y）与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，因此应用数形结合这种思想方法来解答二次函数的相关题目更有效率。

例2：如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且点A与点B纵坐标相等，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为

分析：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且点A与点B纵坐标相等，其中点A的坐标为（0，3），结合图像可知AB与x轴平行且到对称轴距离相等，所以易得点B的坐标为（4，3）。

二、“解析几何”中的数形结合

初中阶段的几何知识相比代数知识来说更具难度，初中生的空间思维能力开拓不足，使得他们在学习几何图形的空间变化时，容易遇到瓶颈，难以真正理解几何图形的变换思路。这时如果借助以前学过的代数知识，将直观图形数量化，转化为代数运算，使学生意识到数形结合思想不仅可以用“形”的直觀来表达抽象的数，也可以将直观的图形数量化，转化为“代数运算”，这样就可降低几何学习的难度。这种领悟使学生对知识的理解更深刻，，同时也能进一步理解数学知识中蕴含的数形结合的思想，找出概念、定理、性质中的“数”与“形”的特征，从而找出最佳的解题途径。

例3：如图所示，已知∠AOB=90°，∠AOC是锐角。ON平分∠AOC，OM平分∠BOC。若∠AOB=a，求∠MON的度数。

解：设∠AOC=2x°

则∠AON=∠NOC=x°，∠BOC=90°+2x°

∴∠MON=∠MOC-∠NOC

=1/2∠BOC-∠NOC

=1/2 （90°+2x°）-x°

=45°.

又如在平面图形的几何变换时，教师可以引导学生通过自己动手的方式来亲自演练平面图形的空间变换。最典型的例子折叠问题，在“数形结合”中，我们不仅可以将代数转变为图像，从抽象的思维形象过度到具体图象，同时还可以分析判断几何图形中的“不变量”，从这个突破口找到更为简便的解题方法。

例4：如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为=

分析：由正方形边的性质可知CD∥AB，所以得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠的性质可以得到∠FEB=∠FEB=60°，进而得到∠AEB=60°，然后在Rt△AEB中，由30°所对的直角边等于斜边一半即可求解.

三、“统计与概率”中的数形结合

概率统计这部分知识内容抽象、公式繁多，学生在学习时不免觉得枯燥难懂，如果在概率与统计的教学中，适当运用数形结合思想，常常可以使难以理解的复杂问题图形化，直观化，简单化，解决问题有时会取得事半功倍之效。

如在计算简单事件的概率时采用树状图的方法，数形结合，就能化难为易。

例4：四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4（它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀。

（1）随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字2的概率;

（2）随机地从盒子里抽取一张，不放回再抽取第二张，求抽到的数字之和为5的概率。

解：（1）P（抽到数字2）=1/4

（2）画树状图：

所有均等机会的结果有12个，两次抽取到的数字之和为5的结果有4个，所以题目所求的P（抽到的数字之和为5）=1/3.

总的来说，加强数形结合思想在初中数学数学中的应用，有利于学生从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于学生扎实打好数学的基础，有利于数学教学质量的提高。借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。

参考文献

[1]《中学数学思想方法》湖南师范大学出版社;1999.5

[2]《广东省中考经典头名卷数学》广东教育出版社; 2016.2

[3] 妙用数形结合方法解题》北京教育出版社; 2014.2

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