| 标题 | 高斯函数性质的应用 |
| 范文 | 勉辉 【摘要】在各级各类考试中，高斯函数是一个重要的命题知识点，由它设计出来的题目涉及数学的各个学科.本文在高斯函数定义和性质的基础上，给出了涉及含[x]函数的不等式及含[x]函数的恒等式的应用. 【关键词】高斯函数;高斯函数性质;应用 一、高斯函数的概念及其性质 （一）概念 设x∈R，用符号[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[x]称为高斯函数，也叫作取整函数.显然y=[x]的定义域为R，值域为Z. （二）性质 （1）[x]≤x（等号成立当且仅当x为整数）. （2）高斯函数[x]是不减函数，即x≤y[x]≤[y]. （3）当n∈Z时，[n+x]=n+[x]. （4）对于x，y∈R有[x]+[y]=[x+y].一般地，有∑ni=1[Xi]≤∑ni=1Xi，Xi∈R. 特别地，n[x]≤[nx]，x∈R. （5）对x，y∈R+∪{0}，有[x·y]≥[x]·[y].一般地，有∏ni=1Xi≥∏ni=1Xi，Xi∈R+∪{0}. （6）我们以y=[x]和y={x}为例画出图像，由图像可知，y=[x]是阶梯形上升的函数，y={x}是以1为周期的周期函数. 由图像可知：（ⅰ）x1-x2≥1存在整数k，使x2 （ⅱ）[x1]=[x2]且x1≥x20≤x1-x2<1. （ⅲ）0≤x1-x2<1[x1]=[x2]或[x1]=[x2]+1. （ⅳ）|[x]|<|x|+1. 二、高斯函数的应用 1.不等问题主要涉及含[x]的不等式分析.此类问题的难度一般比较大. 例1求所有正整数n使得mink∈N*k2+nk2=1 991. 解mink2+nk2=1 991等价于（1）（2）同时成立： （1）存在k∈N*，使1 991≤k2+nk2<1 992. （2）对k∈N*，有k2+nk2≥1 991. 由（2）k4-1 991k2+n≥0k2-1 99122+n-1 99124≥0. 因mink∈N*k2-1 99122=1024-1 99122， 故有1 024-1 99122+n-1 99124≥0. 解得n≥1 024×967=990 208. 由（1）知，设k0∈N*，使k0-1 992k20+n<0 mink∈N*（k2-996）2+n-9962<0. 因为（k2-996）2的最小值为282， 故n<9962-282=1 024×968=991 232. 综上所述，990 208≤n≤991 231（n∈N*）. 2.恒等问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式. 例2已知n∈N*，求证：[n+n+1]=[4n+1]=[4n+2]=[4n+3]. 证因为（n+n+1）2=2n+1+2n（n+1）及n 所以有4n+1<（n+n+1）2<4n+3. 即4n+1 另一方面，設k=[4n+1]， 于是有k2≤4n+1<（k+1）2. 因为任何一个完全平方数被4除后不可能余2，也不可能余3，所以有k2≤4n+1<4n+2<4n+3<（k+1）2. 即k≤4n+1<4n+2<4n+3 结合以上两式知k=[n+n+1]=[4n+1]=[4n+2]=[4n+3]. 【参考文献】 [1]秦宗慈.一些取整数列求和公式及应用[J].数学通讯，1996（4）：25-26，27. [2]陈传理，张同君.竞赛数学教程[M].北京：高等教育出版社，2004. [3]吴康.奥赛金牌题典（高中数学）[M].桂林：广西师范大学出版社，2004. |
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