标题 | 关于代数不等式证明方法的应用分析 |
范文 | 宁剑茵 马红兰
摘 要 代数不等式证明在数学中有重要地位,具有题型多样、方法多变,技巧性强等特点。本文首先对证明不等式基本方法的概念进行说明,辅以举例说明方法的应用。其次对代数不等式证明方法的选择技巧进行解释说明,帮助学生掌握并灵活应用证明方法。再次对函数的性质、单调性、极值等多方面给予讨论。最后就是利用到分析法、归纳法对绝对值不等式的证明。 关键词 不等式 函数 代数 证明技巧 中图分类号:G633.6文献标识码:A 0绪论 可以发现代数不等式的证明在数学教材中占有很大的比例,不管是在初等数学,还是高等数学都能得到很好的体现。由于不等式证明方法的错综复杂、千变万化以及证明过程中思路不固定,导致学生对于不等式的研究要迟的多。解数学题实质上是把数学问题经过适当的加工、变换符合一定的模型樣式,从而使问题获解。代数不等式的基本证题法包括分析法与综合法﹑反证法,归纳法。分析法与综合法是古代希腊数学家﹑天文学家和机械技能的创始人欧多克斯(Eudexus,约公元前370年)创立的证题方法。 1证明不等式的基本方法 证明不等式就是根据不等式的性质,在所给定的数域内,来说明此不等式恒成立的过程。由于不等式的证明方法多种多样的,这里说的基本方法就是指那些在证明过程中,具有固定的思维程序和书写格式与步骤的证题方法。 1.1分析法 分析法是执果索因,即从结论出发,根据不等式的性质和有关的定理,一直推理到已知的不等式关系的证明方法(其中每一步均可逆)。 1.2综合法 综合法是由因导果。即由已知条件出发,或从被证明了的不等式出发,运用不等式的性质、法则等,推出所要证明的结论,称为综合法。 1.3比较法 用不等式概念,从两式的差是正数还是负数,来决定它们的大小;从两式的商是大于1还是小于1,来决定它们的大小的方法叫作比较法。即:欲证:只要证;或欲证只要证。 2不等式的证明技巧 由于不等式的证明方法错综复杂,千变万化,这里所说的证明技巧是指证明方法,思路不固定,证明时,可根据已知条件、解析式及不等式的特点,灵活应用的证明方法,称作证明技巧。 2.1放缩法 利用函数的单调性,不等式的传递性及已知不等式的知识,把不等式适当扩大(或缩小)较大(或较小)的一边的证明方法,称为放缩法。 2.1.1利用函数的单调性放缩 2.2代换法 根据徐利治先生的“关系映射反应原则”可知,解数学题实质上就是把数学问题经过适当加工、变换成为符合一定的模型样式,从而使问题获解。代换如下几种。 2.2.1和差代换法 对于任意实数,总有如下不等式成立。 2.2.2满足常数项代换法 当已知条件是三个或三个以上元素(项)之和时,代换必须应尽量满足常数。 下面分析不等式等号成立的条件:若个数,,,中有个数为零,则原不等式成立显然。反之若此个数中,至少有两个数异于零,不妨设,那么显然有,从而有,把他们带入的表达式,导出严格不等式。 参考文献 [1] 马晓虎,冯国勇.浅谈一个代数不等式的证明及应用[J].河西学院学报,2010(05). [2] 孙转松.代数不等式的证明与技巧[J].连云港育学院报,2007(04). [3] 欧阳资考.函数单调性的应用[J].中国西部科技,2012(11). [4] 余池增.柯西不等式在不等式中的应用研究[D].广州:广州大学,2012. |
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