| 标题 | 万变不离其宗，寻求“不动点” |
| 范文 | 倪盼
摘 要 定值定点问题是圆锥曲线重点考察问题之一，亦是学生容易出错的难点问题。本文通过总结定值定点常考的四种类型：设而不求，找点取证，从猜想到证明，从推理到消元，帮助学生理清其思路，解决定点和定值问题，增强数学运算、逻辑推理等思维能力。 关键词 圆锥曲线 定值定点 数学运算 逻辑推理 思维能力 中图分类号：G633文献标识码：A 0引言 在高考圆锥曲线问题中，定值定点问题是老生常谈的话题。这类问题既考查学生的数学运算，又考查学生的逻辑推理能力，归纳梳理这类问题的思想和方法，有助于培养学生的数学运算和逻辑推理这两个数学核心素养，体现新课标对高中数学的重视程度，圆锥曲线中的定点定值问题，便是考察学生数学素养的一个重要途径。 1内容分析 1.1考点提要 此类问题主要涉及到直线、圆与圆锥曲线等方面的知识，渗透了函数与方程、转化与化归、数形结合，分类讨论的思想，所以是高考的热点题型之一。但是这类问题难度相对较大，学生在第一轮复习中的掌握情况较差。为了提高第二轮复习的有效性，本文通过归纳整合定值定点问题，梳理这类题的思想和方法，对问题进行剖析，希望给学生们一些指导。 1.2深究例题 发现例题的考点，举一反三，触类旁通，先用分析法分析，思考并尝试解决，寻找关键点。 1.3一题多解，多题多解 在选题时，要明确选题的目的在于解决本专题的重点或者难点内容，更好地发挥典型题目的示范作用和学生的正向迁移能力。 2定点定值的类型 2.1设而不求 （2014山东理）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有。当点的横坐标为3时，为正三角形。 （Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点， （i）证明直线过定点，并求出定点坐标。 解：分析：要求直线过定点，就要找斜率与截距的关系，由抛物线性质知，，，由得所以直线AB的斜率。因为直线与直线AB平行，所以设直线的方程可以表示出来，导出点坐标，最后找到斜率与截距的关系，得到直线AE恒过点。 知识小结：此类题由斜率入手，设点却不求出具体的点的坐标，通过分析法和逻辑推理能力，找到变量之间的关系，找到斜率和截距的关系，得到直线的表达式进而求出定点坐标。设而不求比较适合于直线与圆锥曲线的交点均未知的情况，化简要求比较高。 2.2“找点取证” （2016年全国新课标Ⅰ理模拟卷）已知椭圆经过点，离心率为。 （2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点。直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标;若不是，说明理由。 解：由第一问知：椭圆的方程是。分析：将题意转化为几何条件得。，设，，，，。，，假设存在这个定点，则有①转化为代数条件。 三点共线用斜率相等来证： 知识总结：利用点的位置关系，借助三点共线，斜率相等求出点的坐标，整体代入求出具体定值，培养学生贯穿知识点的能力，一步一步推理，借助其他点求出要求的点的坐标，学会触类旁通。定点问题：求某直线过定点，或者确定一个定点的坐标。定值定点问题是备受关注的问题，这类解答题既考验学生的数学运算能力，又考查学生的逻辑推理能力，注重知识的迁移和转换，具有较强的严谨性。 2.3从猜想到证明 （2015四川理）如图，椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆E截得的线段长为。 （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由。 解：分析：先猜后证，首先根据特殊位置和数值猜想定值，其次讲这个值代入题中，证明其与变量无关。先分析直线斜率存在，或者不存在得出的结论，再证明结论成立。当直线平行于轴时，设直线与椭圆相交于C、D两点，如果存在Q点满足条件，则有，即，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为。 本题的难点是通过作B的对称点将问题转化.这种类型题考查学生的推理能力和运算能力，利用数形结合思想，教会学生从特殊到一般，根据特殊情况找到结果，再证明其普遍性。从特殊到一般，是培养学生合情推理，通过对问题的理解和对知识的表征，先求当直线平行于轴或垂直于轴这样的特殊位置，再求任意位置，也突显出数学的逻辑推理性，适合学生理解和掌握，并且能很好地运用在数学教学中。 2.4从推理到消元 首先用推理和計算的方法，其次在计算过程中消去变量，得到定值。解答题的核心点在于分析，题和假设的关系，进而建立合适的方程或函数，利用变量关系统一变量，最后消元得到定值。 （2018北京理）已知抛物线：2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线与抛物线C有两个不同的交点A，B且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N。 （Ⅱ）设为原点，，，求证：为定值。 解：分析：由向量关系将和表示出来，最后在计算过程中消去变量，得到定值，设点，，则，，，，， 3归纳总结 （1）本质分析。定点、定值问题的本质在于对问题的分析和掌握程度，以及逻辑推理和数学运算的应用，用适当的方法建立变量之间的关系，通过分析和推理，转化成定值、定点问题，利用数学运算求出最后的结果。 几何条件的转化。例如求三点共线，线线垂直、线线平行、夹角。我们可以将几何条件转化为代数条件，转化的方向有两类，一类是向量，一类是斜率。 （2）考察能力。大部分学生遇到圆锥曲线问题只会用韦达定理，其实做这类题，应该首先用分析法，提前分析过程，分析考题的核心，韦达定理只是解题的手段，而不是解题的主要思路。主要考察学生数学运算和逻辑推理能力。常用方法：设而不求，找点取证，从猜想到证明，从推理到消元。 （3）总结反思。教师要教学生如何分析，比如假设直线方程时，考虑斜率不存在。教师要教如何思考，比如对定点问题，要分析是点还是斜率。教师要教如何总结，比如分析四中方法的核心和整个过程，可以一题多解，也可以多题多解。高考总复习要注意考试的核心，以及知识的整体思路，举一反三，灵活应用。 参考文献 [1] 赵玲燕.巧用变式探究方法，激活学生数学思维——对圆锥曲线中的定点、定值问题的教学思考[J].课程教育研究，2014（36）：208-209. [2] 袁清雯，王立振.圆锥曲线中定点、定值问题引发的思考[J].中学数学教学参考，2016（18）：35-37. [3] 张跃红.拨开迷雾 找准方向——从高三复习课《圆锥曲线》一道例题的化简方法谈起[J].数学通报，2017，56（09）：43-46+62. |
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