标题 | 浅议利用导数解决生活中的优化问题 |
范文 | 张昱 摘 要 在日常生活中,我们经常遇到诸如产量多少、利润多少、用料多少、效率高低等问题,而这些问题我们称之为生活中的优化问题。数学中的导数是求函数最大(小)值的有力工具,我们利用这个工具,往往很方便解决这些优化问题。 关键词 生活 优化 导数 导数是数学中一个重要的概念,它在日常生活、工作和科学研究中有着广泛的应用,当需要定量研究相对于自变量的函数变化时,比如:物体的运动速度,电流强度等参数,我们可以利用数学中的一个重要工具——导数来处理这些问题,如果要进行这些问题的优化时,其中导数在这些解决方法或工具中显得最方便、快捷。 1 生活中的优化问题 1.1 优化问题 在实际生活中,导数的应用主要是解决有关函数最大值或最小值问题,包括以下几个方面:与几何有关的最值问题; &与物理学有关的最值问题; 与经济中利润及其成本有关的最值问题; o效率最值问题。 在经济学中,我们经常用到边际成本的概念:生产成本关于产量的导函数。边际成本是这样定义的:当产量为时,生产成本的增加速度。另一种意思表述为:当产量为时,每增加一个单位的产量,需要增加个单位的成本。 1.2 解决优化问题的基本方法与思路 常用解决优化问题的基本方法与思路又是怎样的呢?首先是需要分析这些问题中有哪些变量,这些变量关系如何?然后建立合适的数学模型,也就是转换用函数表示的数学问题,注意一定要确定函数的定义域。最后就是要通过解决数学模型来解决实际问题,当然解决方法有很多很多,而导数最实用、方便。具体路线见图1。 2 解决生活中的优化问题注意事项 利用导数解决优化问题,其本质上就是求函数的最大值或最小值,需要注意: (1)当问题涉及多个变量时,应该搞清楚这几个变量的之间关系,然后想办法建立这几个变量之间的数学函数关系式; (2)要注意数学函数关系式中自变量的取值范围,也就是确定它的定义域,这一步非常关键; (3)最后我们通过解答数学模型所得的结果,必须与我们所要解决生活优化问题一致,不能失去它的实际意义。 3 利用导数解决生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: (1)首先建立数学模型,研究变量间的关系,确定自变量的取值范围,列出函数关系式; (2)然后令导数,可以得到所有实数根; (3)将所有实数根代入函数得到各个根的函数值大小,与函数在定义域内端点的函数值进行比较,从而确定函数的最大值或最小值,当然我们必须考虑这些最值在生活中的实际意义。 3.1 用料问题 某一农民想利用自家现有的一面墙,利用篱笆围成一个面积为100平方米的长方形围场,如图2所示,要使围场所用的篱笆最节省,则这个围场的长和宽应该为多少米? (2)由(1)知, 令,得,所以=64。 当时<0,在区间(0,64)内单调递减; 当时,在在区间(64,640)内单调递增, 所以在=64处取得最小值,此时,。 故需新建9个桥桩才能使最小。 用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关,解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手),我们可以将该项指标表示为关于自变量的函数,在自变量的变化范围内,利用导数求出函数的最小值。 3.3 利润问题 为了适应市场的不断变化,某工厂为提高经济效益,现对现有的一条加工生产线进行升级改造,经过调查研究测算,工厂产值的增加值与升级改造投资之间满足函数关系式:,其中;为常数;,。工厂产值的增加值与升级改造投资的单位均为万元。(已知) 求: (1)工厂产值的增加值的表达式; (2)工厂升级改造后利润的最大值(保留一位小数)。 解:(1) 由条件可得解得: 则 (2), 则 令,则或, 当1≤x<5时,P'(x)<0,故P(x)在(1,5)内是减函数; 当5 当50 又∵(万元), P(1)=0.545(万元)。 ∴当x=50时,P(x)取最大值,(万元)。 即该工厂升级改造后利润P(x)的最大值为24.8万元. 3.4 效率问题 假设W为消耗汽油量(单位:L),s为汽车行驶的路程(单位:km),g为汽油平均消耗率(即汽车平均每小时消耗的汽油量,单位:L/h),v为汽车的平均速度(单位:km/h)。 (1)汽油的使用效率含义是什么? (2)若g与v之间有所示的函数关系: ,则汽油的使用效率最高时,汽车速度是多少(L/km)? 解:(1)我们一般定义汽油的使用效率为:消耗汽油量与汽车行驶距离之比,假设y为平均每千米消耗的汽油量,则。“汽油的使用效率”问题就转化为求平均每千米消耗的汽油量y的最小值。 (2)由题意,每千米汽油平均消耗量为,当且仅当,,即时,取得最小值。故汽油的使用效率最高时,汽车速度。 4 小结 通过前面分析与總结,我们将利用导数解决优化问题的基本方法归纳为如下:首先分析实际问题的各变量的关系,建立合适的数学模型,并确定函数自变量的定义域,从而根据数学模型来解决优化问题。在这个解决问题的过程中,我们可以充分利用导数的特点,快速、正确地解决问题。我们必须注意的是,我们建立的数学模型中的自变量不一定是求导的最“佳”变量,我们可以采用换元的方法解决问题。当然,在实际问题中,常常得到定义域内的根只有一个,无需与函数别的值比较,我们可以判断该极值就是最值。 参考文献 [1] 严士健,王尚志.数学(选修2-2)[M].北京师范大学出版社,2008.5. [2] 曲一线.高中数学知识清单[M].首都师范大学出版社,2013.4. [3] 邱天冲.关于高中阶段导数知识的深入讨论[J].科技风,2017(24). [4] 林海芹.如何利用导数解决生活中的许多优化问题[J].数理化学习(高中版),2012.1. [5] 吴红.课题:生活中的优化问题举例[J].新课程(中),2015.5. |
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