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深化数学教学过程,发展学生的数学思维

范文

王孝荣

【摘要】数学思维具有抽象性、严谨性、逻辑性等特点，这就需要教师在数学课堂教学中，深化数学教学过程，充分暴露数学的思维特点，潜移默化地影响学生，从而发展学生的数学思维.在数学知识学习中，展现知识的来龙去脉，尽显数学思维;在知识内涵理解中，揭示数学知识的内在联系，深化数学思维;在数学问题解决中，拓宽解决问题的思路，放飞数学思维.

【关键词】深化数学教学;数学思维;数学素养

数学思维具有与数学学科相似的抽象性、严谨性、逻辑性等特点，赋予数学以不可比拟的严密性和精准性，使数学在培养人的理性思维能力方面发挥着不可替代的作用.学生学习数学、解决数学问题的过程，是一个思维活动的过程，这就要求数学教学应以发展学生的数学思维、提高学生的数学素养为根本.但在课堂教学实践中，常出现一些非良性的数学教学现象.如：不求数学本质的理解，靠量的累积来追求技能强化训练的教学;不求数学知识内涵的联系，“就事论事”的单一化知识教学;运用数学解决问题时，一味追求结果、缺乏思路变通的教学……这样的数学教学不但不能从正面产生数学教育的价值，反而产生诸多负面影响，让学生形成刻板的数学思维.数学教学呼唤理性回归，渴求数学教学过程的“深度耕耘”.本文结合数学课堂教学实践，从以下方面阐述“深化数学教学过程，发展学生数学思维”的一些尝试.在数学知识学习中，展现知识的来龙去脉，尽显数学思维;在知识内涵理解中，揭示数学知识的内在联系，深化数学思维;在数学问题解决中，拓宽解决问题的思路，放飞数学思维.

一、展现数学知识的来龙去脉，尽显数学思维

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化.”这就意味着，数学知识的教学应注重让学生理解和掌握.数学知识都是有背景的，有来龙去脉的，与其他的数学知识、其他学科的知识及日常生活有关联.只有让学生了解这些知识背景及来龙去脉，理清所学知识与相关知识之间的区别与联系，学生才能真正理解知识的本来面目.

案例1 在“平方根”一节教学中，学生对平方根的意义及开平方运算缺乏理解，尤其刚接触时，有一种被强行灌输的感觉，总含糊不清.分析发现，教材注重数学学科知识的整体性及语言的简洁性，缺乏对知识形成的背景描述，新知识难以被纳入原有认知结构，势必造成学生理解的困难.奥苏贝尔的“先行组织者”理论认为，能促进有意义学习发生和保持的最有效策略，是利用适当的引导性材料对当前所学新内容加以定向与引导.这些引导性的材料，是其认知结构中已经具有了可以利用的同化新知识的适当观念.为此，我们可以从先前的加、减互逆运算和乘、除互逆运算关系类比，从平方运算着手设计如下教学环节.

环节一：在已知一个加数的情形下，观察另一个加数与和之间的互算过程.

如，4+x=a.（1）已知加数x，求a是什么运算？（2）已知和a，求加数x又是什么运算？从中发现加法、减法是建立在加数与和之间的一对互逆运算.

环节二：在已知一个因数的情形下，观察另一个因数与积之间的互算过程.

如，4x=a.（1）已知因数x，求积a是什么运算？（2）已知积a，求因数x又是什么运算？从中可以发现乘法、除法是建立在因数与积之间的一对互逆运算.

环节三：在平方运算情形下，观察底数与幂之间的互算过程.

如x2=a.（1）已知x分别取值3，2，1，0，-1，-4时，你能求出对应的a值是多少吗？这是一种什么运算？此时a叫x的什么？（2）已知a的值，如a分别取0，1，4，9，16时，你能求出对应的x值吗？这是一种什么运算？此时x叫a的什么？

环节四：（归纳概括）由x2=a.（1）已知底数x，求幂a的运算，是乘方（或平方）运算，这时a叫x的平方.（2）已知幂a，求底数x的运算，这是一种新运算，我们称之为开平方运算，这时x叫a的平方根.（3）在开平方运算中，a又叫什么？我们可以类比环节一、二，逆向运算时，a分别称为被减数、被除数，故这里的a叫被开方数.

学生认知结构中的原有观念和新的学习任务相关联，它们往往是数学知识发生、发展的源泉，教学中通过“先行组织”，能帮助学生确立意义学习的心向，在“已经知道”与“需要知道”之间架起“认知桥梁”，为新知学习提供观念上的固着点，理清知识的来龙去脉.学生所学数学知识的背景和由来，可称之为知识的“生长点”;所学数学知识的发展与应用，可称之为知识的“延伸点”.在数学知识教学中，关注知识的生长点和延伸点，注重知识之间的逻辑联系，就会使学生把局部的数学知识置于整体知识的体系中，增强对数学的整体把握和宏观认识，长此以往，对发展学生的数学思维和数学素养十分有益.

二、揭示数学知识的内在联系，深化数学思维

建构主义数学学习观认为，学生学习数学是一个不断同化新知识、构建新意義的过程，学生的数学学习是建立在已有知识和生活经验基础上的认识过程.对学生来说，数学知识并不是新知识，在一定程度上是旧知识.因为在他们的生活经验与知识储备中，已经有许多关于数学知识的经验，只不过这些知识与经验常是孤立的，缺乏内在的逻辑思考.我们的数学课堂教学，应该为学生“潜意识中的孤立知识”穿针引线，指引他们发现知识的内在联系，使数学学习由单一知识学习走向知识关联性综合学习，乃至内化为知识体系，达到融会贯通、运用自如.

案例2 “数式的规律探究”问题一直是中考的热点问题，也是学生学习的一个难点，但在现有教材中并没有系统学习，学生对这类问题的解决常建立在运用观察法或进行数量之间的简单推算发现规律，稍一复杂就无从下手.问题的根本是把这类问题片面化、孤立化，没有从本质上理解它的数学特征.现以2019年安徽省中考数学“规律探究”试题为例.

试题观察以下等式

第一个等式：21=11+11，

第二个等式：23=12+16，

第三个等式：25=13+115，

第四个等式：27=14+128，

第五个等式：29=15+145，? …

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：.

（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的代数式表示），并证明.

严格地说，数式的规律是高中涉及的数列知识.即使这样，在初中阶段我们也不能告诉学生仅凭经验观察或根据相邻两数关系简单运算推理，这样做没有任何深层次的数学思维活动.那么，这样的内容在现阶段出现到底有什么样的数学价值？学生如何运用所学数学知识解决？对于第一个问题，学生通过对特例观察、比较、推算、发现，形成一般化的猜想，再对猜想进行验证或证明.这样学生经历了由特殊到一般、先猜想再论证的数学发现过程，从中较好地发展了合情推理能力，有利于培养创新思维.

对于第二个问题，事实上可以这样引导学生分析.（1）观察5个等式的关系，哪些位置的数不变？哪些位置的数有变化？不变的数仍保持不变，变化的数用符号表示，如2□=1△+1○.

（2）变化的数随着哪个数的变化在变？随着“第1个，第2个，……”序号数变化，每一个变化位置的数与序号数是什么关系？（本质上就是函数）

（3）如果把每一个变化的数用变量表示：“□”用an表示，“△”用bn表示，“○”用cn表示，思考an，bn，cn分别与n的函数关系.

（4）列出表格分析：

学生由已学的“一次函数、二次函数、反比例函数”3个基本函数模型的性质，易知an，bn分别与n成一次函数关系，cn与n成二次函数关系，并由待定系数法得an=2n-1，bn=n，cn=2n2-n.

（5）问题解答：第6个等式为211=16+166.第n个等式为22n-1=1n+12n2-n，证明略.

数学学习的本质是学生获取数学知识、形成数学技能和能力的一种思维活动.没有数学思维，就没有真正的数学学习.在数学课堂教学中，要经常性地引导学生从数学的角度观察问题、思考问题，挖掘经验背后的数学原理，对数学知识进行数学思维加工，进而发展学生的数学思维品质，提升学生的数学思维能力.

三、拓宽解决问题的思路，放飞数学思维

从不同的思维角度分析、解决同一问题，可得到不同的解决方法，并且不同方法的背后隐藏着不同的数学原理及數学思想.从一个问题出发，对其进行变式教学或一题多解的训练，在教学中经常用到，有利于培养学生的发散思维.

案例3 解分式方程：12x-1=12-34x-2.

分析分式方程解法的思维历程，其根本在于把分式方程转化为整式方程，再解所得的整式方程;由于分式方程易产生增根，所以需要对解进行检验;根据检验结果，判断方程解的情况.这里最核心的步骤是如何把分式方程转化为整式方程，这一步骤正确操作的原理是什么？换句话说，根据哪些数学道理或性质，能实现这一转化？在课堂教学中，引导学生有意识地回顾梳理，师生经过交流讨论总结如下转化思路.

方法1：（根据等式性质）两边同时乘最简公分母2（2x-1），得2x-1-3=2.

方法2：（根据代数式恒等原理）两边通分母，得22（2x-1）=2x-1-32（2x-1），两个分式相等，分母相同，故分子必相等，即得2=（2x-1）-3.

方法3：（根据代数式恒等原理）两边通分子，得2x-4（2x-4）（2x-1）=2x-42（2x-1），两个分式相等，分子相同，故分母必相等，即得（2x-4）（2x-1）=2（2x-1）.

方法4：（根据比例性质）两边分别通分母，得12x-1=2x-42（2x-1），由比例性质，得（2x-1）（2x-4）=2（2x-1）.

方法5：（根据分式值为0的意义）方程移项，右边为0，得12x-1-12+34x-2=0，通分母，得2-2x-1+32（2x-1）=0，由分式值为0的意义，得5-（2x-1）=0.

在问题解决中，拓宽解决问题的思路，增加了题目涉及的知识广度，举一反三，减少了考查同样多知识所需的题量，提高了课堂教学效率.另外，对不同的解法进行比较，引导学生进行评价，能让他们更好地优化解题思路，总结解题规律，有利于提高思维的灵活性.如再解分式方程“1x+1-1x+2=1x+3-1x+4”时，思维不会停留在“去分母法”这种复杂的计算上，而是会改变思维方式，另觅捷径.

在数学课堂教学中，要遵循学生的思维发展规律，积极引导学生，以数学知识学习为载体，深入探索课堂教学，积极创设能让学生运用“数学方式的理性思维”进行思考的机会，发展学生的数学思维，培养学生以数学的眼光看世界，从数学的角度去分析问题的素养.

【参考文献】

[1]郑君文，张恩华.数学学习论[M].南宁：广西教育出版社，1996：17.

[2]杨玉东，黄伟胜.初中数学教师专业能力必修[M].重庆：西南师范大学出版社，2012：90-92.

[3]张振兴.一题多解，探寻教材例题的教学价值[J].中国数学教育（初中版），2012（12）：41-43.

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