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高中数学空间向量在几何问题当中应用

范文

卡克木?哈德别克

摘要：教师以问题驱动和启发学生，进行空间立体几何中点、线、面之间距离的探究，重视学生对距离的深刻理解和刻画，而不仅仅是单纯地告诉学生距离是什么，在活动探究中以问题驱动和引领学生小组合作探究，培养分析解决问题的能力，提高学生的深度学习和智慧学习能力，同时反思教学问题的逻辑性和层次性是不是很吻合学生的基本认知规律，这是课程能否顺利实施和开展的重要保障。

关键词：合作探究;教学反思;高中数学;

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2021）-17-059

在当前的新课程改革背景下，为了提升数学课堂教学效率，教师要借助问题驱动，引导学生对问题进行深入探究，利用数学基本知识分析问题，提高问题解决能力。因此，为了打造问题驱动式的课堂，笔者以“用空间向量解决立体几何的距离问题”为例，深入开展探讨。在教学过程中，笔者把学生作为课堂的主体，引导学生针对问题开展练习，发散学生的思维，提高学生解题的积极性与主动性，同时教给学生正确的数学思想，建立数学模型，引导学生在进行问题探索的过程中不断提高自身能力，从而使数学课程教学得到有效的改革与发展。

一、借助函数思想解答立体几何问题

函数思想的本质是运动和变化规律。在立体几何数量关系的探索中，可以借助函数思想进行分析和探究，将多变、抽象的问题转变成函数关系，完成问题的思考和解答。在函数思想的应用中，教师需要结合函数基本性质，优化课堂指导，深入探究立体几何问题，加强学生逻辑思维能力和空间想象能力的培养。在立体几何解题中，可以借助函数思想进行分析，明确函数之间的关系，实现复杂问题的简单化，通过函数定义和知识，证明立体几何中的垂直和平行问题，求解异面直线距离。

例题：如图1所示，在圆O中，AB是经过圆心O的直径，PA和圆O所在平面相互垂直，C是圆上一点，∠BAC=α，PA=AB=2R，求解直线PB和AC之间的距离。在解题的过程中，结合图形对其进行分析，需要先分析AC和PB的距离，通过直线PB上的任意一点，分析其到直线AC距离，求解出最小值。之后，结合变量设定相应的目标函数，求解函数最小值。在PB上找出任意一点M，保证MD垂直AC，MH和AB垂直，垂足是H，MH=α，MH和平面ABC垂直，构建相应的函数关系式，求解出异面直线AC和HD的距离。在解题的过程中，需要将AC和HD的异面直线距离转变成两点距离，求解出最小值。在此种类型问题的解答中，结合函数定义进行引导，能有效解决立体几何问题。

二、引导学生以合作的方式探究数学概念

在学生建立了知识框架图、了解了要学习的新知识以后，教师要引导学生上台把学过的知识讲出来。教师引导学生讲知识，一方面，能够引导学生呈现学过的知识，与他人分享自己的学习成果;另一方面，学生在呈现知识时，其他学生也可以提出自己的疑问，学生在解答疑问的过程中，可以检验自己的学习成果。

比如，教师在引导学生学习空间向量时，可以将知识模块分成空间坐标系上的向量、直线的方向向量、平面的法向量等，然后要求学生以小组为单位进行探索，每个小组负责探索一个知识模块。每个小组要举出一个具象化的案例，应用案例来说明知识模块中的内容。有一个小组应用图3这个实例来说明概念。小组代表发言：“现建立一个正方体OABC-D′A′B′C′，其中O為空间坐标系的原点，分别以射线OA、OC、OD′的方向为正方向，以线段OA、OC、OD′的长度为单位长，画三条坐标轴，如图3中的x轴、y轴、z轴。在这个空间坐标系中，点M在三条坐标轴上的射影对应的实数分别为x、y、z。有序实数组（x，y，z）叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z），其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标。”此时，教师引导学生提出问题。有一名学生提出：“以上均是空间坐标的说明，这个空间坐标系与空间向量又有什么关系呢？”小组代表说道：“在这个空间坐标系中，任何向量都可以用false来表示……”（他详细地说明了小组探究的结果）教师在引导学生进行小组合作时，第一，要合理分配小组的学习任务，使每个小组能够集中探讨一个主题。第二，要控制每个主题探讨的内容，不能让一个小组探讨很多内容，另一个小组没有太多需要探讨的内容。第三，要科学地分解每个小组学习的模块，教师既不能让小组和小组之间的知识有太多重叠，避免学生在交流时，浪费小组合作的时间;又不能让小组和小组之间的知识存在割裂，避免小组在综合探讨时，发现一些没有交流和探讨过的知识。

教师在教学中，要引导学生把理论和案例结合起来，在具象化的案例中探究理论知识，然后把探究的结果说出来。教师应用这样的方法，学生能详细地探究出抽象知识的含意，相互完善探索结论。

三、突破教学的非公平性

为了让学生用向量方法解决空间中两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离的问题，教师需要根据学生的个人学习特点，进行因材施教式，尤其是针对一些数学成绩相对较差的学生，或者空间思维无法打开的学生，教师要重点教学，采用学生感兴趣的教学方式，帮助学生逐步树立学习数学的自信心。

同时，教师可以利用问题驱动式教学，逐步引导学生主动学习该知识点，从相对简单的知识开始，慢慢提升知识的难度，促使学生逐渐攻克空间向量，解决立体几何知识的难题，用化难为易、化繁为简的引导式教学，

提高学生数学学习的能动性。教师还可以进行互动式问题教学，利用数学小组讨论，使学生彼此之间分享学习观念，解决课堂提问中的问题，让优秀的学生带动学习能力相对较弱的学生，实现数学公平性教学，促进班级学生数学成绩的全面提高。

结论：利用空间向量解决立体几何中的距离问题的重点在于，发展学生对问题的转化能力，同时借助向量的方法和工具解决实际问题。教师要以问题驱动、问题引领，不断开启和训练学生的认知层，培养和发展学生的数学素养。与此同时，在数学课堂教学过程中，教师要不断借助问题驱动，激发学生对知识探索的欲望，使学生借助数学模型，学会正确的解题方法，要引导学生举一为三，使其对类似的题型进行练习，总结规律。这样，学生才能不断累积和形成属于自己的探究意识和探究能力。

参考文献

[1]韩玮.注重概念理解，提升核心素养——平面向量基本定理的教学思考[J].中学数学教学参考，2019（4）.

[2]张满红.基于核心素养的高中教学模式的研究[J].中外交流，2019（30）.

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