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妙用几何，简化函数值域求解

范文

王秀玲

【摘要】作为函数三要素之一的函数值域，经常会出现在高考中，因其求解涉及的知识面广、综合性高、解题技巧强的特点，很多学生不能很好掌握.因此，本文就从函数图像、几何意义、直线截距三方面，通过例子讲解如何妙用几何知识，降低函数值域求解的难度.

【关键词】函数值域;图像;几何意义;截距

运用代数方法可以研究几何问题，与此同时，运用几何知识也可以解决代数问题.代数和几何之间没有十分明显的界限，依据某些结构特征，两者可以相互转化，并为相关的解题带来便捷.本文就以运用几何知识求解函数值域为例，使数转化为形，进一步感受数学的美.

一、函数图像，点亮思路

函数图像和性质是不分你我，相辅相成，相互促进的，借助图像能够很好地理解函数性质，凭借函数性质又能加深对函数图像的掌握.在某些情形下，借助函数的图像，可以使得问题简单化，明了化，例如，在求解函数值域的问题中，函数图像画出来了，相关的性质也就一目了然，如：

例1 已知函数f（x）=max{sinx，cosx}，求其取值范围.

解析 sinx，cosx是我们比较熟悉的函数，因此，很容易画出相关的函数图像，又函数f（x）是sinx，cosx两个函数之间的较大值，而且f（x）的周期仍是2π，直接用文字叙述比较烦琐，而且很容易出现遗漏，十分不严谨，因此，在同一坐标系画出一个周期内两函数图像如图1所示，观察图像，易得函数值域是-22，1.

图1

反思数形结合是数学中常用的方法之一，根据题目灵活运用可以给解题带来意想不到的效果.此外，对基本函数的图像一定要熟记于心，保证在需要的时候能够随时调阅出来.

二、几何意义，简化求解

对具有几何意义的函数，在对此类函数值域求解的过程中，运用其几何意义，不仅可以帮助学生理解题目，更能促进问题的解决，如，

例2 函数y=sinx-1cosx+1（0

解析此题是基于三角函数的复杂函数求值域问题，观察函数y=sinx-1cosx+1的结构，运用几何知识，很容易联想到这是求动点（cosx，sinx）和定点（-1，1）这两点斜率的取值.又0≤x≤π，

图2

所以动点是在单位圆x2+y2=1的上半部分.由图2易得y≤0.所以函數的值域是（-∞，0].

反思运用几何意义进行函数值域的求解，需要学生仔细观察函数结构，不断将其与所学的几何知识进行对应，快速寻找出符合函数结构的知识，学生需要拥有扎实的基本知识;函数值域的求解之法不是固定不变的，在具体运用时可能会用到多种方法，可以多加练习，触类旁通，发散自己的思维.

三、直线截距，关联求解

点动成线，在运用几何知识求解函数值域问题中，除了利用与点有关的知识外，还经常会用到与直线关联的知识，如构造点到直线的距离公式、构造直线斜率的公式等知识求解函数值域，下面结合具体例子，感受一下直线截距对函数值域求解的便利之处，如

例3 求函数y=x-5-x的值域.

图3

解析观察函数结构，因其有根式，因此，引入参数μ，设μ=x，v=5-x，则原函数等价转化为μ-v=y，μ2+v2=5， μ≥0，v≥0，此时问题转为直线与圆弧之间的位置关系，-y代表直线与v轴的截距，由图3知-5≤y≤5.

反思此题除了利用到直线截距的几何知识外，还用到了设参数、图像，对此学生可以多加留意;此题也可利用x与5-x的平方和为定值，利用换元法，将原函数等价转化为求三角函数值域问题，再将三角函数式变形并简化，得出三角函数值域，进而得到原函数值域.但是此种方法比较烦琐，耗时耗力.

求函数值域的方法众多，除了以上几种方法，还有配方法、观察法、反函数法等，每种方法都有自身的特点，可以基于题目选择合适的方法，在具体求解过程中，每种方法也不是孤立的，在具体题目中灵活结合多种方法，确保耗时少、正确率高.

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