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论高中数学中导数解题策略及教学方法

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时好运

【摘要】运用导数来解决一些数学问题之前，需要了解导数的定义、导数的几何意义、导数的性质，然后再结合数学中的一些具体技巧方法来综合处理.本文提出几点高中数学中导数题的有效解题策略和一些教学方法，仅供参考.

【关键词】高考数学;导数的解题策略;教学方法;有效措施

首先需要熟练掌握几种常见函数的导数，比如，求两个函数的和、差以及熟记基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值.教师在引导学生提高解答技巧的时候也要注意考虑班级学生的具体情况，然后再安排教学计划.

一、教师在教学中的建议

（一）提供有针对性的教学措施

作为教师应该引导学生从最基本的教材知识入手，认真阅读和分析书上的例题，达到举一反三的效果.其次，教师选取一些比较有典型意义的高考例题来给学生练习，再讲解一些通用的解题步骤和解题思路，让学生达到融会贯通的效果，从而提高考生在导数这一压轴题型上的分数成绩.

（二）注意将相通的数学思想进行融合

利用导数研究函数性质，其研究的过程和方法具有普适性、一般性和有效性，可以迁移到其他函数的研究中.在导数题中，不论是对某个命题进行讨论还是证明，其解题特点一是强调逻辑的严谨性，二需要化归与转化，而且常常以基本初等函数为载体，利用方程、不等式、数学建模与导数、代数推理等知识点交汇，考查函数五大性质的应用、不等式问题和函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.

二、几种有效的解题策略

在进行高中导数学习的过程中，教师通常会教给学生很多的方法，但是在课堂中的教学并不能够让学生对这些方法融会贯通，所以他们需要在课下对教师传授的方法进行总结和升华，使这些方法能够真正成为自己做题中的有力武器.根据相关的调查和总结发现，按照题型特点进行方法总结是非常有效的.所以学生在进行导数学习的过程中一般会按照考试中遇到的各种题型进行方法总结.在高中的教学过程中应用导数的主要题型大概有以下几种：

1.利用导数求函数的切线问题

首先我们要讨论的便是利用导数求函数的切线问题，这种问题是考试中较为简单的，也是导数应用中最为基础的，并且求切线问题主要有四种常见的类型.类型一：已知切点，求曲线的切线方程，此类题较为简单，只需求出曲线的导数f′（x），并代入点斜式方程即可;类型二：已知斜率，求曲线的切线方程，此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决;类型三：已知过曲线上一点，求切线方程，解这种题首先要明确，过曲线上一點的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法进行求解.

2.利用导数求函数的单调性问题

其次是利用导数求单调性的问题，在利用导数求解单调性时，我们首先应该确定函数的定义域，再求导数，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号，来确定函数在该区间上的单调性.当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性.另一种类型的题目是利用函数的单调性来求解该函数的单调区间，这种问题在解决的过程中与上边的单调性几乎相似，但是我们一般要注意一些问题，也就是再找到单调区间之后的写法，相互独立的单调区间应该用“和”来连接而不应该用∪的符号连接.

3.利用导数求函数的极值、最值问题

这种题目的困难之处并不在极值和最值的求解，而是前边的问题无法解决导致后续问题无法入手.解决极值、最值问题的步骤较为固定，首先我们要对函数进行求导，确定函数在给定区间上的单调性，如果函数在该区间上单调，那么最值就是端点函数值，并且在该区间上没有极值;如果函数在该区间上不单调，那么有极值存在，而最值可能是端点值也可能是极值点处的函数值，所以要进行比较.

我们现在通过一个往年的高考压轴题来进行讲解.

题目：已知a∈R，函数f（x）=-13x3+12ax2+2ax（x∈R）.

（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间.

（2）函数f（x）是否在R上单调递减，若是，求出a的取值范围;若不是，请说明理由.

（3）若函数f（x）在[-1，1]上单调递增，求a的取值范围.

（1）通过分析我们发现这个问题属于利用函数的导数求解单调区间的问题，因为函数的定义域为实数集，所以利用给出的参数值我们可以直接求解.

当a=1时，f（x）=-13x3+12x2+2x，∴f′（x）=-x2+x+2.令f′（x）>0，即-x2+x+2>0，即x2-x-2<0，解得-1

（2）该题目也是我们前边分析的求解单调性的问题，但是里面含有未知参数，而本题也是为了讨论参数取值范围，所以该题要根据b2-4ac与0的关系来确定参数的取值范围.

若函数f（x）在R上单调递减，则f′（x）≤0对x∈R都成立，即-x2+ax+2a≤0对x∈R都成立，即x2-ax-2a≥0对x∈R都成立，∴Δ=a2+8a≤0，解得-8≤a≤0，∴当-8≤a≤0时，函数f（x）在R上单调递减.

（3）该题规定了函数中x的取值范围，所以我们要根据x的取值范围来判定参数的范围.

∵函数f（x）在[-1，1]上单调递增，∴f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，∴-x2+ax+2a≥0对x∈[-1，1]恒成立，即x2-ax-2a≤0对x∈[-1，1]恒成立.令g（x）=x2-ax-2a，则g（1）=1-a-2a≤0，g（-1）=1+a-2a≤0，解得a≥13，a≥1， ∴a≥1.

三、结语

综上所述，在高考题中导数题作为压轴大题，其难度还是比较大的，所以对其解答时利用导数研究函数性质，其研究的过程和方法具有普遍特性，可以融会贯通地运用到其他任何函数的研究中.

【参考文献】

[1]陈庆洪.浅析高考数学中的最值问题[J].福建中学数学，2012（1）：44-46.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]人民教育出版社中学数学室.数学[M].北京：人民教出版社，2004.

[5]高群安.运用导数巧解题[J].中学数学，2005（3）：22-23.

[6]徐智愚.用导数解初等数学题[J].数学通报，2000（10）：35.

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