标题 | 圆的切线的两种证明方法 |
范文 | 姜百军 【摘要】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;如果圆心到直线的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线. 【关键词】切线;切线判定;证明;分析;点评 在初中九年级数学上册“圆”这一章中,学生们学习了圆的切线,但如何证明一条直线是不是圆的切线,困扰着许多学生,下面笔者就结合自己的教学实践,谈谈圆的切线的两种证明方法. 一、用“圆的切线判定定理”证明 在人教版九年级数学上册第二十四章“圆”中,在“直线与圆的位置关系”这一节,给出了圆的切线判定定理:“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”.我们可以用这条定理来证明一条直线是圆的切线. 例1 如图所示,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证:DC是⊙O的切线. 分析 此类证明切线的问题,在已知条件中告诉了直线与圆的交点D,如果证明了DC是⊙O的切线,那么D点就是切点.因此,只需连接OD,因为OD是⊙O的半径,所以只需证明OD⊥DC,就可得出DC是⊙O的切线. 证明 连接OD. ∵AD∥OC, ∴∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC. 又∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO, ∴∠DOC=∠COB. 又∵OD=OB,OC=OC, ∴△ODC≌△OBC(SAS), ∴∠ODC=∠OBC. 又∵BC是⊙O的切线, ∴∠OBC=90°, ∴∠ODC=90°, ∴DC是⊙O的切线. 二、用“圆的切线定义”证明 直线与圆的位置关系中,我们很容易得到“如果直线到圆心的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线”,这个我们可以作为圆的切线的定义,用来证明一条直线是不是圆的切线. 例2 如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于点D,以D为圆心,DB的长为半径画圆. 求证:AC是⊙D的切线. 分析 要证AC是⊙D的切线,题目中没有告诉AC与⊙D的交点,因此,不能用圆的切线判定定理来证.我们可以用圆的切线定义来证明,作点D到AC的垂线段DF,垂足为F,然后证明DF与圆的半径BD相等,即可说明AC是⊙D的切线. 证明 过点D作DF⊥AC,垂足为F. ∵AD平分∠BAD, ∴∠BAD=∠DAC. 又∵∠ABC=∠AFD=90°,AD=AD, ∴△ABD≌△AFD(AAS), ∴DF=BD, ∴AC是⊙D的切线. 点评 比较圆的切线的兩种证法,当题目已知条件中告诉了“切线”与圆的交点(例1中告诉了交点D),用圆的切线判定定理(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线),连接交点和圆心,证明连接的半径垂直于这条直线,就可说明这条直线是圆的切线,口诀是“连半径,证垂直”;当直线与圆的公共点不明确时(例2中不知AC与圆的交点),用切线定义(如果圆心到直线的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线)去证,过圆心作该直线的垂线段,证明垂线段等于半径,这条直线就是圆的切线,口诀是“作垂直,证相等”. |
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