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标题 一类线段最值问题的探究和思考—三角变换类
范文

    【摘 要】路径最短问题是初中数学的重要题型,也是中考中的重点和难点.近年来中考中出现一类由胡不归问题改编的“PA+kPB”(k>0)型最短路径问题,普通方法求解可能就会失效,学生普遍感到困难。

    【关键词】胡不归;路径最短;三角变换

    【中图分类号】G610 【文献标识码】A

    【文章编号】2095-3089(2019)10-0294-01

    一、典型问题

    如图,某人在A地工作,家位于C地(公路AB旁的沙漠里).某日C地家中父亲病危,他急着赶路回家,在公路AB上行进的速度是在沙漠里行进速度的2倍.谁知最终没能见到父亲最后一面,其父离世之时思念儿子,连连问:“胡不归,胡不归……!”(怎么还不回来),那么,从A至C怎样行进才能最快到达?[1]

    〖XC70.JPG;%30%30〗

    分析:设沙漠里行进的速度为v,则在公路上行进的速度为2v.则所需的时间为1/v(AP/2+CP),要求时间最短即求AP/2+CP最小.由sin30°=1/2,考虑作∠BAE=30°,PE⊥AE,构造Rt△AEP可得PE=AP/2,故AP/2+CP=PE+CE.当C、P、E三点共线时,PE+CE=CE'最小.

    步骤总结:

    第一步:将所求线段和改写为PC+kPA的形式(0

    第二步:在PA的一侧(PC的异侧),构造一个角度α,使得sinα=k;

    第三步:过C作第二步所构造的角的一边垂线,该垂线段的长度即为所求最小值;

    二、例题解析

    例1(2018年江苏无锡市)如图,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2.过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC,点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD//OY交OX于点D,作PE//OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是〖CD#2〗.

    〖XC71.JPG;%30%30〗

    解:过点P作PQ⊥OY交OY于点Q.

    ∵PD//OY,PE//OX

    ∴四边形EODP是平行四边形,∠QEP=∠XOY=60°.

    ∵EP=OD=a

    ∴在直角三角形PQE中,∠PEQ=60°,EQ=EP/2=a/2.

    ∴a+2b=2(a/2+b)=2(EQ+EO)=2OQ.

    当P在AC边上时,Q与C重合,此时OQ的最小值=OC=OA/2=1,即a+2b的最小值是2.

    当P在B点时,OQ的最大值是1+3/2=5/2,即a+2b的最大值是5.

    ∴2≤a+2b≤5.

    注:本题中所要求的a+2b中k>1,解题之初要将a+2b改写为2(a/2+b),考虑a/2+b的取值范围.

    例2(2017年徐州二模)二次函数y=ax2-2x+c图象与x轴交于A、C两点,点C坐标为(3,0),与y轴交于点B(0,-3).

    (1)求抛物线的解析式.

    (2)若P是x轴上一动点,点D(0,1)在y轴上,连接PD,求PD+PC的最小值。

    〖XC72.JPG;%30%30〗

    解:(1)抛物线解析式为y=x2-2x-3.

    (2)作PH⊥BC于H.

    ∵OB=OC=3,∠BOC=90°

    ∴∠PCH=45°.

    当D、P、H共线时,PD+PH最小,此时,PD+PH为DH',

    例3.如图,已知AB是⊙O的直径,F是⊙O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O的切线BC于点C,过点E作ED⊥AF,交AF的延长线于点D.若DE=3,CE=2,点G为AE上一点,求OG+EG/2最小值.

    解:过点E作EH⊥AB于H,过点G作GP//AB交EH于P,过点P作PQ//OG交AB于Q,∴EP⊥PG,四边形OGPQ是平行四边形,∴∠EPG=90°,PQ=OG.

    ∵BC/AE=2/3∴设BC=2x,AE=3x,∴AC=AE+CE=3x+2.

    ∵∠BEC=∠ABC=90°,∠C=∠C,∴△BEC∽△ABC,∴BC/AC=BE/BC,

    ∴BC2=AC·CE,即(2x)2=2(3x+2),解得:x1=2,x2=-1/2(舍去)

    ∴BC=4,AE=6,AC=8,∴sin∠BAC=1/2,∴∠BAC=30°.

    ∴∠EGP=∠BAC=30°,∴PE=EG/2,∴OG+EG/2=PQ+PE.

    ∴當E、P、Q在同一直线上(即H、Q重合)时,PQ+PE=EH最短.

    ∵EH=AE/2=3,∴OG+EG/2的最小值为3.

    参考文献

    [1]孙晋芳.也谈“胡不归”问题[J].初中数学教与学,2016(12):32-33.

    作者简介:赵欢欢(1988-),女,山东济宁人,主要从事数学教育与初中数学教学研究.

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更新时间:2025/3/15 12:32:16