标题 | Taylor公式求极限时“阶”的分析 |
范文 | 吕志宇 【摘要】Taylor公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式,其充分运用“无限接近”这一数学理论,将一些复杂的数学函数转化为简易的多项式函数,是数学函数中最基本的理论.本文阐述Taylor公式,分析并归纳Taylor公式求极限的具体方法,以期为初学者提供理论参考. 【关键词】Taylor公式;极限;“阶” 引 言 在高等数学中,极限通常是讨论数学函数的基础方式,是解析数学函数的基本形式,还是数学微积分中重点学习的内容.在学习数学函数时,学生掌握求取极限的基本方法尤为重要.应用泰勒公式求取函数极限是高等数学学习的重点.Taylor公式作为表达数学函数的一种基本形态,其将“无限接近”作为解析数学函数的基本思想理论,让繁杂函数以多项式数学函数形态呈现出来,为数学函数解析提供多重解析方法.在运用Taylor公式过程中,未定式极限计算是其重点与难点,更是专升本考试中的一个重要考点.为进一步了解Taylor公式在求极限时的具体应用,本文主要就Taylor公式求极限时“阶”的具体计算进行分析. 一、Taylor公式求極限时“阶”的具体分析 1.Taylor公式求极限时的具体应用 1.1利用Taylor公式展开求极限 在求极限过程中我们可以将其中一项应用泰勒公式展开,将原复杂函数转化为多项式函数形式来求极限. 例 求limx→∞x-x2ln1+1x. 解 根据泰勒公式展开,ln1+1x=1x-12x2+13x3-1[]4x4+…, 其中x指数最高为2, 因此原极限=limx→∞x-x2×1x-12x2+o1x2=limx→∞x-x+12-o1x2[]1[]x2=12. 1.2求满足Taylor公式的θ的极限 例 如果f′(x)在D上存在连续导函数,f ″(x)≠0,那么对于x0+h∈D有 f(x0+h)=f(x0)+hf′(x0+θh)(0<θ<1),求limh→0 θ. 解 已知f(x0+h)=f(x0)+hf′(x0+θh), 那么应用泰勒公式可得出 f(x0+h) =f(x0)+hf′(x0)+12f ″(x0+θ1h)h2, 两式相减可得到 hf′(x0+θh)-hf′(x0) =12f ″(x0+θ1h)h2, limh→0f′(x0+θh)-f′(x0)h =limh→012f ″(x0+θ1h)=12f ″(x0), 又因为 limh→0f′(x0+θh)-f′(x0)h=limh→0f′(x0+θh)-f′(x0)θh×θ=f ″(x0)limh→0 θ=1[]2f ″(x0), 所以limh→0 θ=12. 同理,如果已知 f(x0+h)=f(x0)+hf′(x0)+12f ″(x0+θh)h2, 那么应用泰勒公式可得 f(x0+h)=f(x0)+hf′(x0)+12f ″(x0)h2+16f (x0+θ1h)h3, 两式相减可以得到 f ″(x0+θh)h2-f ″(x0)h2=13f (x0+θ1h)h3, 即f ″(x0+θh)-f ″(x0)θh×θ=13f (x0+θ1h),limh→0f ″(x0+θh)-f ″(x0)θh×θ=limh→013f (x0+θ1h), 最终得到f (x0)limh→0 θ=13f (x0), 所以limh→0 θ=13. 二、Taylor公式求极限时的方法 1.实例分析 在应用泰勒公式求极限时,一般情况下需要解决三个问题:一是函数具体需要在哪个点上进行泰勒展开,即需要明确展开泰勒公式所需要的函数点;二是泰勒公式需要展开到第几次幂结束,一般情况下,泰勒公式通常是展开至展开系数无法相互抵消为止;三是在应用泰勒公式展开过程中,具体需要应用哪种带有余项形式的泰勒公式.通常情况下,在计算未定式极限时,使用已知的麦克劳林公式较为常见,且并不需要客观评估余项,因此只需选择皮亚诺型余项. 例 求极限limx→∞x-x2ln1+1x. 具体分析 由题目可知从极限变化过程为x→∞,归属于∞-0×∞类型,这与洛必达法则定理不相符.其中x和x2皆是x的幂的形式,因此可以将ln1+1x展开成泰勒公式,由于x→∞时,1x→0,因此只需使用ln(1+u)在点u=0处的泰勒公式展开式,同时令u=1x便可. 然而 x2ln1+1x =x21x-12x2+13x3+o1x3, 将泰勒公式展开至三次幂是因为 x-x2ln1+1x =x-x21x-12x2+13x3+o1x3=12+o1x 的系数无法相互抵消,因此 limx→∞x-x2ln1+1x =limx→∞x-x21x-12x2+13x3+o1x3=limx→∞12+o1x=12. 在应用泰勒公式过程中,如果一般形式为f(x)xk或者xkf(x),那么f(x)展开至x的k次方,遵循上下同阶原则;如果一般形式为f(x)-g(x),那么将f(x),g(x)分别展开至其系数不相等的最低次幂为止. 2.错解分析 在计算极限过程中,应用泰勒公式能够快速解出答案,十分适用.但是在应用泰勒公式时,学生必须要掌握精准的计算技巧.学生在实际计算过程中极易计算错误,并且很难发现错误之处,这给学生掌握用泰勒公式求极限造成一定难度.再举一例. 例 用泰勒公式求極限limx→0ex(x-2)+x+2sin 3x. 错误解答 原式=limx→01+x+x22(x-2)+x+2x3=limx→012x3x3=12. 具体分析 以上解答表面看上去十分正确,实则存在多处错误.如在展开时没有写余项,此处乃初学者常犯错误之一.其实,按照正确计算方式将展开 至二阶ex=1+x+x22+o(x2), ex(x-2)+x+2=1+x+x22+o(x2)(x-2)+x+2=x32+o(x2)=o(x2),(x→0) 此刻再代入原式中问题便凸显出来了,实际上, limx→0ex(x-2)+x+2sin 3x=limx→01+x+x22+o(x2)(x-2)+x+2x3=limx→012x3+o(x2)x3≠12. 讨论:泰勒公式求极限时具体展开至几阶才算合适? 将ex泰勒公式展开至一阶,ex=1+x+o(x),那么 ex(x-2)+x+2=1+x+o(x)(x-2)+x+2=x-2+x2-2x+o(x)+x+2=x2+o(x)=o(x),(x→0) 进而 limx→0ex(x-2)+x+2sin 3x[ZK(]=limx→0(1+x+o(x))(x-2)+x+2x3=limx→0o(x)x3,[ZK)] 不存在正常极限. 将ex泰勒公式展开至三阶 ex=1+x+12!x2+13!x3+o(x3), 则ex(x-2)+x+2=1+x+12!x2+13!x3+o(x3)(x-2)+x+2=16x3+o(x3),(x→0)(1)将ex泰勒公式展开至nn≥4阶,那么 ex=1+x+12!x2+13!x3+14!x4+…+1n!xn+o(xn), ex(x-2)+x+2=1+x+12!x2+13!x3+14!x4+…+1n!xn+o(xn)(x-2)+x+2=12x3-26x3+13!x4-24!x4+14!x5+…+o(xn+1)=16x3+o(x3),(x→0)(2) 因此,由(1)(2)综合可得 limx→0ex(x-2)+x+2sin 3x=limx→016x3+o(x3)x3=16+limx→0o(x3)x3=16. 综上所得,应用泰勒公式求00型的limx→0f(x)-g(x)xa形式的极限,具体有以下几点结论:一是如果将分子展开至小于a阶时,那么得不到正确极限;二是如果将分子展开至a阶,那么可以得到正确极限,而且计算快速方便,较为节约时间;三是如果将分子展开至大于a阶,那么可以得到正确极限,但是比较浪费时间,精力. 3.题型分类探讨 类型1 limx→0f(x)-g(x)xa=limx→0cxa+oxaxa=c.(1.1) 例 使用泰勒公式求极限: limx→0exsin x-xx+1xsin x·tan x. 解 原式=limx→01+x+x22+o(x2)x-16x3+o(x3)-xx+1x3=limx→0x-16x3+x2+12x3+o(x3)-x-x2x3=13. 类型2 limx→0xaf(x)-g(x)=limx→0xadxa+oxa=limx→01d+oxaxa=1d.(1.2) 例2 使用泰勒公式求极限: limx→0x4ln1+sin 2x-632-cos x-1. 解 原式=limx→0x4x2-56x4+o(x4)-616x2-124x4+o(x4)=limx→0x4-712x4+o(x4)=-127. 公式(1.1),(1.2)的积为类型3: limx→0f(x)-g(x)u(x)-v(x)=limx→0cxa+oxadxa+oxa=limx→0c+oxaxad+oxaxa=cd. 4.结论 根据以上分析讨论可得以下几点结论:一是对于单侧极限x→0+,x→0-,以上分析讨论完全有效;二是当存在x→+∞,x→-∞,x→∞情况时,可以将变量进行替换,如t=1x,将其转化为x→0+,x→0-,x→0;三是当出现极限为0和无穷情况时,仍然可以使用泰勒展开式求极限,分别对应(1.1)中c=0和(1.2)中d=0的情况. 例 使用泰勒公式求极限: limx→0cos x-e-x22x2. 解 由于cos x-e-x22=1-x22!+o(x2)-1-x22+o(x2)=o(x2), 同时根据公式(1.1)可得知 limx→0cos x-e-x22x2=limx→0o(x2)x2=0. 注:应用洛必达法则可以验证此结论,实际上有 limx→0cos x-e-x22x2=limx→0-sin x+xe-x222x=limx→0-cos x+e-x22-x2e-x222=0. 根据公式(1.2)可得知 limx→0x2cos x-e-x22=limx→0x2o(x2)=∞. 结 语综上所述,泰勒公式是一种将复杂函数转化为多项式函数的公式,在求取函数极限时发挥着至关重要的作用.在应用泰勒公式求极限过程中,泰勒公式应用条件较为苛刻,限制性较大,函数必须是n阶可连续函数,且求取的函数值与函数阶数息息相关,阶数越小,最终结果误差便会越大.因此,在应用泰勒公式求极限时,要注意分析题意,了解题目特点与函数形式,准确把握泰勒公式基本规律,熟练掌握应用泰勒公式求取极限时的方法与技巧. 【参考文献】 [1]陈叻,赵向青,吴涛.Taylor公式求极限时“阶”的分析[J].高等数学研究,2019(05):16-18. [2]黄辉.巧用等价无穷小与泰勒公式求极限[J].江西电力职业技术学院学报,2019(04):50-51,54. . |
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