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对称性在二重积分计算中的应用

范文

陈楚申廖小莲

【摘要】《数学分析》是所有高校数学与应用数学专业的一门重要的基础课，二重积分是《数学分析》的内容之一，解二重积分的常见方法是在直角坐标系或极坐标系下根据积分区域的类型将其转化为定积分后进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性.我们如果能灵活运用积分区域和被积函数的对称性，那么许多积分的解题过程可以得到简化.本文着重讨论了对称性在二重积分计算中的应用，并借助实例分五种情况进行了讨论，指出了对称性解题的优点及应该注意的条件.

【关键词】二重积分;对称性;应用

【基金项目】湖南省普通高校教学改革研究项目（编号：湘教通〔2019〕291号No920）

1 引言

二重积分是二元函数在平面区域上的积分，在《数学分析》中占据着重要的地位，对我们学习诸如《概率论与数理统计》等后续课程至关重要，其在几何、力学等多方面都有着广泛的应用.因此，灵活掌握二重积分的计算是十分必要的.我们知道，二重积分的计算是通过将该二重积分转化为定积分而实现的，但这个转化过程既要受积分区域的类型又要受被积函数的特点的约束.在直角坐标系下，我们将积分区域分为X-型区域和Y-型区域，或者将区域的划分转化为X-型区域与Y-型区域的和，然后再将二重积分化为先对y后对x和先对x后对y的累次积分.有时我们利用二重积分的变量变换公式，可使得被积函数简单化或积分区域简单化.除此之外，用极坐标来计算二重积分也是常见的办法.但是，有些二重积分，单纯用这些方法来计算，计算量会很大且容易出错.我们如果能够充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有时就可达到事半功倍的效果.因此，本文对对称性在二重积分计算中的应用进行较详细的探讨，并辅以实例来分析二重积分的具体计算过程.

2 文献综述

积分学是《数学分析》课程中的重要内容，而二重积分是积分学的重要组成部分，是学习曲线积分、三重积分问题的基础.许多学者对二重积分的计算的问题进行了研究，并给出了一些好的计算方法和计算技巧.张云艳在文献[1]中举例说明了积分区城的轮换对称性在积分计算中的应用，指出我们在某些复杂的积分计算过程中，若能注意并充分利用积分区域轮换对称性或被积函数的奇偶对称性，往往可以简化计算过程，提高解题的效率.马志辉在文献[2]中对对称性在积分中的应用进行了研究，文章首先阐述了对称性在多元函数积分下的性质，并借助实例对对称性在积分中的应用进行了研究，主要考虑了两种情况：一是当且仅当积分区域和被积函数都具有对称性时，我们可以利用对称性简化积分的计算，二是当积分区域和被积函数具有轮换对称性时，我们也可以利用对称性简化二重积分的计算.葛淑梅在文献[3]中通过由类比一元连续函数在对称区间上定积分的计算方法，导出二元连续函数在对称区域上二重积分的计算方法，使得对称区域上难于计算的二重积分得以简化.在原被积函数不具备奇偶性计算困难的情况下，利用积分对积分区域的可加性，将其转换为几个容易计算的二重积分来计算.景慧丽、屈娜在文献[4]中介绍了二重积分的计算具有较大的开放性，针对一道二重积分的题目存在许多计算方法，并且对每种方法的使用技巧及使用范围进行了说明，这可以培养学生的思维发散性.刘红梅在文献[5]中对二重积分的求解进行了研究，通过证明和推导指出二重积分在区域对称以及函数奇偶下有简便算法，并通过具体的实例进行求解进一步证明，巧妙利用二重积分的对称性质能极大地简化二重积分问题，提高求解的效率.

3 对称性在二重积分计算中的应用

利用对称性计算二重积分Df（x，y）dσ，既要考虑积分区域的对称性，又要考虑被积函数f（x，y）关于某一自变量x或y的奇偶性，而且还要将被积函数的奇偶性与积分区域的对称性相结合进行考虑.我们如果能充分利用对称性来考虑二重积分问题，那么很多时候可以简化计算.

3.1 平面区域D是关于y轴对称的情形

引理1 若二元函数f（x，y）在平面区域D上连续，且平面区域D关于y轴对称，则有如下结论：

（1）当被积函数f（x，y）关于自变量x为奇函数时，即f（-x，y）=-f（x，y），则二重积分

Df（x，y）dσ=0;

（2）当被积函数f（x，y）关于自变量x为偶函数时，即f（-x，y）=f（x，y），

则二重积分Df（x，y）dσ=2D1f（x，y）dσ，

其中D1是平面区域D的右半部分，即D1=（x，y）∈D|x≥0.

例1 计算二重积分Dxsin（x2+y2）dxdy，其中D=（x，y）x2+y2≤2y.

解因为积分域D关于y軸对称，被积函数f（x，y）=xsin（x2+y2）是关于x的奇函数，所以由对称性得Dxsin（x2+y2）dxdy=0.

3.2 平面区域D是关于x轴对称的情形

引理2 若二元函数f（x，y）在平面区域D上连续，且平面区域D关于x轴对称，则有如下结论：

（1）当被积函数f（x，y）关于自变量y为奇函数时，即f（x，-y）=-f（x，y），则

二重积分Df（x，y）dσ=0;

（2）当被积函数f（x，y）关于自变量y为偶函数时，即f（x，-y）=f（x，y），

则二重积分

Df（x，y）dσ=2D2f（x，y）dσ，

其中D2是平面区域D的上半部分，即D2={（x，y）∈D|y≥0}.

例2 计算二重积分Dxy2+xyex2+y22dxdy，其中D是由直线x=1，y=x与y=-x所围区域.

解由积分对区域的可加性，有

Dxy2+xyex2+y22dxdy=Dxy2dxdy+Dxyex2+y22dxdy.

设区域D：0≤x≤1，-x≤y≤x，区域D1：0≤x≤1，0≤y≤x，

则区域D是关于x轴对称的区域，且函数f（x，y）=xy2是关于y的偶函数，

函数g（x，y）=xyex2+y22是关于y的奇函数，因此，由上面的引理知，Dxy2dxdy=2D1xy2dxdy，Dxyex2+y22dxdy=0，

所以原二重积分Dxy2+xyex2+y22dxdy=D12xy2dxdy=∫10dx∫x02xy2dy=215.

3.3 平面区域D是关于y轴以及x轴均对称的情形

引理3 若二元函数f（x，y）在平面区域D上连续，且平面区域D关于y轴以及x轴均对称，则如果f（x，y）关于变量x，y都是偶函数，即f（-x，y）=f（x，y），且f（x，-y）=f（x，y），则Df（x，y）dσ=4D3f（x，y）dσ，

其中D3是平面区域D在第一象限的部分，即D3=（x，y）∈D|x≥0，y≥0.

例3 计算二重积分：D（x+y）dxdy，其中区域D的范围是x+y≤1.

解区域D是关于两坐标轴都对称的区域，同时被积函数f（x，y）=x+y关于变量x，y都是偶函数，由引理3知

D（x+y）dxdy=4D1（x+y）dxdy，

其中D1为区域D中的第一象限所在的部分且D1是关于直线y=x对称的，所以

D（x+y）dxdy[ZK（]=4D1（x+y）dxdy=4D1（x+y）dxdy=4∫10dx∫1-x0（x+y）dy=43.[ZK）]

其中D1是平面区域D在第一象限的部分，即D1={（x，y）∈D|x≥0，y≥0}.

3.4 平面区域D是关于原点对称的情形

引理4 若二元函数f（x，y）在平面区域D上连续，且平面区域D关于原点对称，则：

（1）如果f（x，y）关于变量x为奇函数而关于y是偶函数（或者f（x，y）关于变量x为偶函数而关于y是奇函数），则

Df（x，y）dσ=D1f（x，y）dσ+D1f（-x，-y）dσ=0;

（2）如果f（x，y）关于变量x，y都是偶函数（或者f（x，y）关于变量x，y都是奇函数），则

Df（x，y）dσ=2D1f（x，y）dσ，

其中D1为原点一侧的部分.

例4 计算二重積分：I=Dxydσ，其中平面区域D是由方程（x2+y2）2=2xy所确定的区域.

解因为区域D是关于原点对称的，且被积函数f（x，y）=xy关于变量x为奇函数，关于变量y也为奇函数，所以由引理4，有：

I=2D1xydσ，其中D1为平面区域D的第一象限部分.

下面利用极坐标计算此二重积分，得

I=2D1xydσ=2∫π20cos θsin θdθ∫sin 2θ0γ2dγ.（计算略）

3.5 平面区域D具有轮换对称性的情形

引理5 若二元函数f（x，y）在平面区域D上连续，则：

（1）如果积分区域D关于x，y具有轮换对称性，则

Df（x，y）dxdy=Df（y，x）dxdy=12D（f（x，y）+f（y，x））dxdy.

（2）如果区域D关于直线y=x对称，则：

①如果被积函数满足f（x，y）=f（y，x），则

Df（x，y）dxdy=2D1f（x，y）dxdy.

②如果被积函数满足f（x，y）=-f（y，x），则

Df（x，y）dxdy=0.

其中D1为D位于直线y=x上半部分的区域.

例5 计算二重积分I=Dx2-y2x+y+3dxdy，其中区域D=（x，y）丨x+y≤1.

解因为在积分区域中x与y互换不影响积分结果，所以该积分

具有轮换对称性，由引理5，我们可得：

Dx2x+y+3dxdy=Dy2x+y+3dxdy

所以

I[ZK（]=Dx2x+y+3dxdy-Dy2x+y+3dxdy=Dx2x+y+3dxdy-Dx2x+y+3dxdy=0.[ZK）]

小结：该题巧用了积分区域的轮换性简化了计算，解题十分容易，但如果用常规方法求解，计算量很大.

二重积分是《数学分析》中积分学的重要内容之一，是学习后续课程的基础.二重积分计算的方法灵活，常常是借助直角坐标系或极坐标系，将二重积分化为定积分进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性.对于被积函数或者积分区域具有某种对称性的积分计算问题，我们如果能灵活运用对称性，那么许多积分的解题过程可以化繁为简、化难为易，提高解题效率.

【参考文献】

[1]张云艳.轮换对称性在积分计算中的应用[J].毕节师范高等专科学校学报，2002（03）：90-92.

[2]马志辉.对称性在积分计算中的应用[J].高等数学研究，2017（01）：102-105.

[3]葛淑梅.对称区域上二重积分的简化计算方法[J].焦作大学学报，2018（01）：101-103.

[4]景慧丽，屈娜.一个二重积分的计算方法探讨[J].商丘职业技术学院学报，2018（01）：74-76.

[5]刘红梅.二重积分计算巧用对称性简化求解[J].普洱学院学报，2018（06）：45-47.

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