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一个具有二阶收敛速度的迭代法

范文

吴江

摘要：Newton迭代法和弦截法是对非线性方程求根问题的常用方法。Newton迭代法需要计算一阶导数值，具有二阶收敛速度。弦截法只需要计算函数值，但它的收敛速度没有Newton迭代法快。本文将给出一个不需要计算导数值且具有二阶收敛速度的迭代法（新迭代法），并用数值实验来验证其有效性。

关键词：迭代法；非线性方程；收敛速度

0引言

Newton迭代法具有二阶收敛速度.具有收敛速度快且形式简单等特点，具体有关Newton迭代法的内容可以参考文献。Helley迭代和Chebyshev迭代具有三阶收敛速度.并且它们只需要计算一阶导数值。而弦截法可以避免计算一阶导数值，而它是超线性收敛的，所以它的收敛速度没有Newton迭代法快。具体有关弦截法的内容可以参考文献。文献考虑到牛顿迭代法需要计算函数的导数值，而有些函数的导数值计算复杂，于是提出了一种可以避免计算导数值并且具有二阶收敛速度的迭代算法。本文从牛顿迭代法和文献的迭代算法出发，构造一个简单的迭代公式，该迭代法不必计算一阶导数值，且与Newton迭代法一样可以达到二阶的收敛速度。

1新迭代法及证明

Newton迭代法是求解非线性方程最为经典的迭代法，许多专家和学者在构造新的迭代法时，都会以Newton迭代法为基础。本文构造新的迭代法的依据是将Newton迭代法中用到的导数值用函数值的差商来替换，从而得到新的迭代法。Newton迭代公式为

从牛顿迭代公式可以看到.在迭代过程中.每一步迭代都需要计算函数值f（x）和导数值f（x），所以如果f（x）本身是较为复杂的函数，那么计算f（x）的计算也会相当复杂。于是文献为了避免计算函数的导数值，提出了下面的迭代公式。

文献迭代公式为其中A，B为任意实数。从该迭代公式可以看出，它在迭代过程中不涉及到f（x）的导数值，而该迭代法在实际的使用中，需要确定A，B的值，而文献[5]在最后说明当A取1，B取0时计算效果较好。

考虑到文献[5]迭代公式有待定参数，并且没有一种方法可以确定最佳参数值，所以本考虑用不带参数的来代替Newton迭代公式中的f（x）。這样可以得到下面新的迭代公式。

本文新的迭代公式为

在迭代公式（1）中，只需要计算函数值，不需要计算导数值。

定理1方程f（x）=0的根为xo，函数f（x）在包含‰的某个开区间内有连续的二阶导数，且广（x）=0，则迭代公式（1）在此开区间至少以二阶收敛速度收敛于xo。

证明设迭代误差en=xn-xo.用泰勒公式将f（xn）在xo处展开，并且注意到.f（xo）=0，得

2数值实验

下面将给出两个非线性方程求根的数值实验，来验证新的迭代法的有效性。首先大致确定非线性方程实数根所在的区间范围.然后在这个已确定的区间中，任取一个值作为迭代的初始值。输出的控制条件设定为[Xk-k-1]≤0（10-15）。

例1

求方程f（x）=e3-1=0在区间[-1，1]上的根（精确根xo=0）。例1的数值实验结果如表1所示。

例2求方程g（x）=x-e2=0在区间[0，1]上的根（精确根xo=0.56714329…）。例2的数值实验结果如表2所示。

运用新的迭代法，即式（1）迭代来求解非线性方程的根具有收敛速度快的特点。在例1中新的迭代法只需要5次迭代就达到了所要求的精度：例2中只需6次迭代就达到了所要求的精度。所以可以看出，新的迭代法快速稳定地收敛到非线性方程的实数根.且在迭代过程中只需要计算函数值，不需要计算导数值，从上面两个数值试验结果可以看出新的代法是非常有效的。

3结束语

本文新的迭代法具有简单有效的特点.从式（1）可以看出新的迭代法的迭代公式简洁明了，而且没有待定参数.所以在使用时不需要考虑参数的选择。另一方面，它具有和牛顿迭代法一样的二阶收敛速度.而且无需考虑导数值的计算.这就说明本文迭代法在计算复杂函数的根时.要明显优于牛顿迭代法。与此同时，迭代公式简单且无需计算导数也大大提高了计算机的使用效率，降低了编程的复杂度，体现出快速、有效、使用方便的特点。

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