| 标题 | 数学高考选择题考前预测 |
| 范文 | 李昭平 一、命题趋势 纵观近几年的数学高考题，无论是全国卷还是省市自主命题卷，选择题在高考卷中都占有很大的比例． 除上海外，其他高考卷中选择题的个数均在１０—１２题之内，占总分的３３．３３％－４０％这些选择题主要有以下几个特点： （１）以基础题和中档题为主，着重考查数学基本知识与基本思想方法；（２）加大对新增内容的考查力度，如“三视图、定积分、函数的零点、线性相关性、条件概率、极坐标与参数方程、证明不等式的基本方法、回归分析、２×２列联表”；（３）突出“能力立意”和“创新思想”．为了激发学生的创新思维，挖掘学生在数学方面的潜能，使优秀学生脱颖而出，满足不同的大学录取新生的层次要求， 选择题题型也在尝试创新， 在“形成适当梯度”“用学过的知识解决没有见过的问题”“活用方法和应变能力”“知识的交汇”等四个维度上不断出现新颖题，这些新颖试题成为高考试卷中一道亮丽的风景线；（４） 立体几何类选择题的位置逐渐后移，并常常作为选择题的压轴题、以创新题的面貌出现在试卷之中． 二、考点透视 考点１：即时定义型问题 例１． 给出定义：设ｆ′（ｘ）是函数ｙ＝ｆ（ｘ）的导函数，ｆ″（ｘ）是函数ｆ′（ｘ）的导函数，若方程ｆ″（ｘ）＝０有实数解ｘ０，则称点（ｘ０，ｆ（ｘ０））为函数ｙ＝ｆ（ｘ）的“拐点”．已知函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｓｉｎｘ－４ｃｏｓｘ的拐点是Ａ（ｘ０，ｆ（ｘ０）），则ｔａｎｘ０＝（） Ａ． －■Ｂ． ■Ｃ． －４Ｄ． ４ 解析： ｆ′（ｘ）＝２－ｃｏｓｘ＋４ｓｉｎｘ，ｆ″（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋４ｃｏｓｘ＝０，ｓｉｎｘ０＋４ｃｏｓｘ０＝０，所以ｔａｎｘ０＝－４． 点评：本题主要考查基本函数的导数运算和阅读、理解、运用新定义的能力，运用直接法按步骤“弄懂新定义、按定义运算、构建方程求ｔａｎｘ０”进行． 例２． 一般地，我们把三条侧棱两两垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”．在长方体的８个顶点中任取四点构成三棱锥，组成“直角三棱锥”的概率是（） Ａ． ■ Ｂ．■ Ｃ． ■ Ｄ． ■ 解析：基本事件总数是Ｃ ４８－６－６＝５８，“直角三棱锥”有８个，所以概率为■． 选Ｄ． 点评：本题主要考查三棱锥中的线线关系和古典概型，属难度较大题．理解“直角三棱锥”的意义，根据长方体中的线线特征寻求三棱锥个数和直角三棱锥的个数．注意易犯基本事件总数是Ｃ ４８或Ｃ ４８－６的错误． 说明： 在高等数学与高中数学的知识交汇处命题是近几年高考命题的一种新趋势， 其中以函数、导数和立体几何为载体的即时定义型试题是高频考点． 此类问题往往具有背景新、结构新、覆盖面广、交汇性大、综合性强的特点，成为高考试卷的亮点． 考点２：嵌套型函数问题 例３． 设定义域为Ｒ的函数ｆ（ｘ）＝５ｘ－１－１，ｘ≥０ｘ２＋４ｘ＋４，ｘ＜０ 若关于ｘ的方程ｆ ２（ｘ）－（２ｍ＋１）ｆ（ｘ）＋ｍ２＝０有７个不同的实数解，则实数ｍ的值为（） Ａ． ２Ｂ． ０Ｃ． －１Ｄ． ０或２ 解析：当ｍ＝２时，ｆ ２（ｘ）－５ｆ（ｘ）＋４＝０，ｆ（ｘ）＝１或ｆ（ｘ）＝４．观察图像可知，ｆ（ｘ）＝１有四个解，ｆ（ｘ）＝４ 有三个解，ｍ＝２适合． 当ｍ＝０时，ｆ ２（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０，ｆ（ｘ）＝０或 ｆ（ｘ）＝１． 观察图像可知， ｆ（ｘ）＝１有四个解，ｆ（ｘ）＝０有三个解，ｍ＝０适合．当ｍ＝－１时，ｆ ２（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋１＝０，无实数解，不合． 选Ｄ． 点评：本题主要考查分段函数的图像、对嵌套型函数的理解和数形结合的能力．直接求解比较困难， 逐个代入验证， 结合图像特征，排除错误选择支， 得到正确答案． 例４． 若函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ有极值点ｘ１，ｘ２，且ｆ（ｘ１）＝ｘ１，则关于ｘ的方程３（ｆ（ｘ））２＋２ａｆ（ｘ）＋ｂ＝０的不同实根个数是（ ） Ａ． ３Ｂ． ４Ｃ． ５Ｄ． ６ 解析：ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ａｘ＋ｂ，则ｘ１，ｘ２是方程３ｘ２＋２ａｘ＋ｂ＝０的两根，即嵌套型函数方程３（ｆ（ｘ））２＋２ａｆ（ｘ）＋ｂ＝０中有两个ｆ（ｘ）使得等式成立，ｘ１＝ｆ（ｘ１），ｘ２＞ｘ１＝ｆ（ｘ１）．如图知有３个交点，即ｆ（ｘ１）＝ ｘ１＝ｆ（ｘ３），ｘ２＝ｆ（ｘ４）．故选Ａ． 点评：本题主要考查函数极值的导数式条件、函数零点的概念、对嵌套型函数的理解，以及数形结合的能力．利用函数极值点ｘ１，ｘ２的导数式条件得到系数与嵌套型函数方程３（ｆ（ｘ））２＋２ａｆ（ｘ）＋ｂ＝０系数相同的方程是解题的关键．通过观察三次函数ｆ（ｘ）的图像与直线ｙ＝ｆ（ｘ１）、直线ｙ＝ｘ２的交点个数使问题解决． 说明： 嵌套型函数是近几年悄然升温的高考热点． 这种问题往往与复合函数、抽象函数、方程实根以及相关知识融为一体，有较高的难度和很好的区分度，能有效考查考生的思维水平和综合能力，复习中要引起重视． 考点３：一般情况特殊化问题 例５． 设坐标原点为Ｏ，抛物线ｙ２＝２ｘ与过焦点的直线交于Ａ、Ｂ两点，则■与■的数量积为（ ） Ａ． ■ Ｂ．－■ Ｃ． ３ Ｄ． －３ 解析：对动直线ＡＢ，取其垂直于ｘ轴的特殊位置，即线段ＡＢ为抛物线的通径（如图）． 由于焦点Ｆ的坐标为（■，０），则Ａ（■，－１）、Ｂ．（■，１）． 于是■·■ ＝（■，－１）·（■，１）＝■－１＝－■．排除Ａ ，Ｃ， Ｄ， 答案Ｂ正确． 点评：本题若直接求解，必须设动弦ＡＢ的一般式方程，并经历解方程组和相关变形的过程， 费时较多． 而运用“特殊化思想”，通过取直线ＡＢ的特殊位置，解题过程十分简捷、明快． 例６ ．一般地，我们把各项的倒数成等差数列的数列叫做调和数列．若ｘ，ｙ，ｚ是调和数列，且有ａｘ＝ｂｘ＝ｃｘ（ａ，ｂ，ｃ为正数），则 ａ，ｂ，ｃ （） Ａ． 成等差数列Ｂ． 成等比数列 Ｃ． 成调和数列Ｄ． 各项平方成等差数列 解析：取特殊数列１，■，■，显然其倒数１，２，３成等差数列，１，■，■是调和数列．于是ａ１＝■＝■，所以ｂ＝ａ２，ｃ＝ａ３，ａ，ａ２，ａ３成等比数列． 排除Ａ ，Ｃ， Ｄ，选答案Ｂ． 点评：这里根据调和数列的定义，取一个特殊数列１，■，■，ａ，ｂ，ｃ的关系立即明朗化，避免了复杂的推理． 说明：有许多高考选择题涉及到一般图形、一般数列、一般函数、一般位置（动点、动线、动图）等等，直接求解比较复杂、比较困难，有的甚至无法处理． 这时若能将一般问题特殊化，通过取特殊值、特殊位置、特殊图形、特殊函数、特殊数列等等，根据“命题在特殊情况下为假，则在一般情况下也为假” 迅速排出错误答案，快速选出正确答案． 大大缩短了思维流程，节约了时间． 考点４：函数图像问题 例７． 函数ｙ＝■，ｘ∈（－?仔，０）∪（０，?仔）的图像可能是下列中的（） 解析：∵函数ｙ＝■，ｘ∈（－?仔，０）∪（０，?仔）为偶函数，∴Ａ选项错误．又∵当ｘ＝■时，ｙ＝■＝■＞１，排除Ｂ，Ｄ，∴正确选项为Ｃ．
点评：本题是超越复合型函数，其图像画法超出了中学范围．但可以根据函数式的结构特征得到函数的奇偶性和特殊函数值，进而排除谬误Ａ， Ｂ，Ｄ，得到正确答案Ｃ． 说明：比较复杂或非常规的函数图像问题也是近年来高考常考常新的热点． 排谬法通常是指根据题干获得相关信息，通过这些信息迅速排除错误选择支，从而得出正确答案的一种方法．在某些图像或曲线问题中，此法往往十分有效． 点５：类比猜想问题 例８． 设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，则下列不等式中，一定成立的是（） ①（■）３≤■；②（■）２≤■； ③（■）４≤■． Ａ． ①②Ｂ． ①③Ｃ． ②③Ｄ． ①②③ 解析：我们知道：若ａ，ｂ∈Ｒ＋，则有不等式（■）２≤■成立． 类比这个不等式发现①②正确，选答案Ａ．事实上 （１）（■）３－■＝■－■ ＝■＝－■≤０． （２）（■）２－■＝■＝－■≤０． 点评：这里从熟知的不等式（■）２≤■类比， 在指数和元数上进行推广，立即发现①②符合这种变化特征．其实此不等式中的指数和元数还可以不断升级，得到更多的推广， 大家可以试一试、写一写． 例９． 下列命题中，不正确的是（） Ａ． 正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值 Ｂ．四面体的中轴线（顶点到对面重心的连线）相交于一点 Ｃ． 若ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，则 ■＋■＋■＞■ Ｄ． 如果■·■＝■·■，且■≠■，那么■＝■ 解析：对Ａ，与“正三角形内任意一点到各个边的距离之和是定值”类比，通过面积法立即获证，Ａ正确．对Ｂ，与“三角形三条中线相交于一点”类比，利用三角形重心定理立即获证，Ｂ正确．对Ｃ，与“ａ＞ｂ＞ｃ，则■＋■＞■”类比，通过拆项法立即获证，Ｃ正确．对Ｄ， 与“如果ａ·ｂ＝ａ·ｃ，且ａ≠０，则ｂ＝ｃ”类比似乎是正确的，但如果取■＝１，■＝■，■与■的夹角为４５°，■＝■，■与■的夹角为００，显然■·■＝■·■＝■，且■≠■，但■≠■．选答案Ｄ． 点评：这里将待证的命题与熟知的结论作类比， 探求类比的正确性． 说明：“从某类事物的特征类比出另类事物的类似特征”，称之为“类比猜想”型开放题． 这种开放题往往以已有事物的性质及其证法为基础，融探索、猜想、证明于一体，能有效考查学生的想象能力、类比联想能力、合情推理能力以及创新能力，也是近几年高考中的高频考点， 要引起关注．一般有结构类比、方法类比、概念类比、性质类比、平面向空间类比等等，但类比不一定都正确．类比正确需要逻辑证明，类比错误只要举一个反例． 以上介绍了高考选择题的五大考点． 这些例题都很好地体现了解选择题减少过程、提高速度的思想． 解题的关键是根据试题的特点，灵活选择相应的方法，有时还需要多种方法融为一体，共同发挥作用． 三、复习建议 数学高考不仅是能力之战、心理之战，还是速度之战． 在数学高考中，若能正确、快速地处理好第一部分的选择题， 既有助于增强考试信心、保持积极良好的考试心态，又能为后面的主观性试题的解决赢得时间． 有人说，正确、快速地解决了前面的选择题，你的数学高考就成功了一半，这话很有道理． 为此，提出以下建议： 第一，重视课本，立足基础．选择题旨在考查中学数学的基础知识、基本技能和基本方法，所以回归“三基” 仍然是第二轮、第三轮复习的第一要务． 第二， 限时训练， 提高速度． 在第二轮、第三轮复习阶段， 要加大对选择题的训练力度，可以根据自己的实际， 每隔２－－３天完成一份高考模拟卷中的选择题， 时间控制在３０分钟之内，自测自改． 坚持下去， 就会明显提高解题速度和正确率． 值得注意的是，对于选择题中的压轴题往往新颖、非常规且难度较大， 如果自己的基础较差，就不要过分追求， 学会大胆猜测和合情推理，不留空白． 第三， 及时总结，领会方法． 选择题往往有四个选择支和唯一正确答案的特点， 决定我们常常可以运用直接法、数形结合法、特殊化法、代入验证法、排谬法、整体思考法、估算法、类比猜想法等等，尽量缩短思维流程，快速解决问题． （作者单位：安徽省太湖中学） 责任编校徐国坚
点评：本题是超越复合型函数，其图像画法超出了中学范围．但可以根据函数式的结构特征得到函数的奇偶性和特殊函数值，进而排除谬误Ａ， Ｂ，Ｄ，得到正确答案Ｃ． 说明：比较复杂或非常规的函数图像问题也是近年来高考常考常新的热点． 排谬法通常是指根据题干获得相关信息，通过这些信息迅速排除错误选择支，从而得出正确答案的一种方法．在某些图像或曲线问题中，此法往往十分有效． 点５：类比猜想问题 例８． 设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，则下列不等式中，一定成立的是（） ①（■）３≤■；②（■）２≤■； ③（■）４≤■． Ａ． ①②Ｂ． ①③Ｃ． ②③Ｄ． ①②③ 解析：我们知道：若ａ，ｂ∈Ｒ＋，则有不等式（■）２≤■成立． 类比这个不等式发现①②正确，选答案Ａ．事实上 （１）（■）３－■＝■－■ ＝■＝－■≤０． （２）（■）２－■＝■＝－■≤０． 点评：这里从熟知的不等式（■）２≤■类比， 在指数和元数上进行推广，立即发现①②符合这种变化特征．其实此不等式中的指数和元数还可以不断升级，得到更多的推广， 大家可以试一试、写一写． 例９． 下列命题中，不正确的是（） Ａ． 正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值 Ｂ．四面体的中轴线（顶点到对面重心的连线）相交于一点 Ｃ． 若ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，则 ■＋■＋■＞■ Ｄ． 如果■·■＝■·■，且■≠■，那么■＝■ 解析：对Ａ，与“正三角形内任意一点到各个边的距离之和是定值”类比，通过面积法立即获证，Ａ正确．对Ｂ，与“三角形三条中线相交于一点”类比，利用三角形重心定理立即获证，Ｂ正确．对Ｃ，与“ａ＞ｂ＞ｃ，则■＋■＞■”类比，通过拆项法立即获证，Ｃ正确．对Ｄ， 与“如果ａ·ｂ＝ａ·ｃ，且ａ≠０，则ｂ＝ｃ”类比似乎是正确的，但如果取■＝１，■＝■，■与■的夹角为４５°，■＝■，■与■的夹角为００，显然■·■＝■·■＝■，且■≠■，但■≠■．选答案Ｄ． 点评：这里将待证的命题与熟知的结论作类比， 探求类比的正确性． 说明：“从某类事物的特征类比出另类事物的类似特征”，称之为“类比猜想”型开放题． 这种开放题往往以已有事物的性质及其证法为基础，融探索、猜想、证明于一体，能有效考查学生的想象能力、类比联想能力、合情推理能力以及创新能力，也是近几年高考中的高频考点， 要引起关注．一般有结构类比、方法类比、概念类比、性质类比、平面向空间类比等等，但类比不一定都正确．类比正确需要逻辑证明，类比错误只要举一个反例． 以上介绍了高考选择题的五大考点． 这些例题都很好地体现了解选择题减少过程、提高速度的思想． 解题的关键是根据试题的特点，灵活选择相应的方法，有时还需要多种方法融为一体，共同发挥作用． 三、复习建议 数学高考不仅是能力之战、心理之战，还是速度之战． 在数学高考中，若能正确、快速地处理好第一部分的选择题， 既有助于增强考试信心、保持积极良好的考试心态，又能为后面的主观性试题的解决赢得时间． 有人说，正确、快速地解决了前面的选择题，你的数学高考就成功了一半，这话很有道理． 为此，提出以下建议： 第一，重视课本，立足基础．选择题旨在考查中学数学的基础知识、基本技能和基本方法，所以回归“三基” 仍然是第二轮、第三轮复习的第一要务． 第二， 限时训练， 提高速度． 在第二轮、第三轮复习阶段， 要加大对选择题的训练力度，可以根据自己的实际， 每隔２－－３天完成一份高考模拟卷中的选择题， 时间控制在３０分钟之内，自测自改． 坚持下去， 就会明显提高解题速度和正确率． 值得注意的是，对于选择题中的压轴题往往新颖、非常规且难度较大， 如果自己的基础较差，就不要过分追求， 学会大胆猜测和合情推理，不留空白． 第三， 及时总结，领会方法． 选择题往往有四个选择支和唯一正确答案的特点， 决定我们常常可以运用直接法、数形结合法、特殊化法、代入验证法、排谬法、整体思考法、估算法、类比猜想法等等，尽量缩短思维流程，快速解决问题． （作者单位：安徽省太湖中学） 责任编校徐国坚
点评：本题是超越复合型函数，其图像画法超出了中学范围．但可以根据函数式的结构特征得到函数的奇偶性和特殊函数值，进而排除谬误Ａ， Ｂ，Ｄ，得到正确答案Ｃ． 说明：比较复杂或非常规的函数图像问题也是近年来高考常考常新的热点． 排谬法通常是指根据题干获得相关信息，通过这些信息迅速排除错误选择支，从而得出正确答案的一种方法．在某些图像或曲线问题中，此法往往十分有效． 点５：类比猜想问题 例８． 设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，则下列不等式中，一定成立的是（） ①（■）３≤■；②（■）２≤■； ③（■）４≤■． Ａ． ①②Ｂ． ①③Ｃ． ②③Ｄ． ①②③ 解析：我们知道：若ａ，ｂ∈Ｒ＋，则有不等式（■）２≤■成立． 类比这个不等式发现①②正确，选答案Ａ．事实上 （１）（■）３－■＝■－■ ＝■＝－■≤０． （２）（■）２－■＝■＝－■≤０． 点评：这里从熟知的不等式（■）２≤■类比， 在指数和元数上进行推广，立即发现①②符合这种变化特征．其实此不等式中的指数和元数还可以不断升级，得到更多的推广， 大家可以试一试、写一写． 例９． 下列命题中，不正确的是（） Ａ． 正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值 Ｂ．四面体的中轴线（顶点到对面重心的连线）相交于一点 Ｃ． 若ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，则 ■＋■＋■＞■ Ｄ． 如果■·■＝■·■，且■≠■，那么■＝■ 解析：对Ａ，与“正三角形内任意一点到各个边的距离之和是定值”类比，通过面积法立即获证，Ａ正确．对Ｂ，与“三角形三条中线相交于一点”类比，利用三角形重心定理立即获证，Ｂ正确．对Ｃ，与“ａ＞ｂ＞ｃ，则■＋■＞■”类比，通过拆项法立即获证，Ｃ正确．对Ｄ， 与“如果ａ·ｂ＝ａ·ｃ，且ａ≠０，则ｂ＝ｃ”类比似乎是正确的，但如果取■＝１，■＝■，■与■的夹角为４５°，■＝■，■与■的夹角为００，显然■·■＝■·■＝■，且■≠■，但■≠■．选答案Ｄ． 点评：这里将待证的命题与熟知的结论作类比， 探求类比的正确性． 说明：“从某类事物的特征类比出另类事物的类似特征”，称之为“类比猜想”型开放题． 这种开放题往往以已有事物的性质及其证法为基础，融探索、猜想、证明于一体，能有效考查学生的想象能力、类比联想能力、合情推理能力以及创新能力，也是近几年高考中的高频考点， 要引起关注．一般有结构类比、方法类比、概念类比、性质类比、平面向空间类比等等，但类比不一定都正确．类比正确需要逻辑证明，类比错误只要举一个反例． 以上介绍了高考选择题的五大考点． 这些例题都很好地体现了解选择题减少过程、提高速度的思想． 解题的关键是根据试题的特点，灵活选择相应的方法，有时还需要多种方法融为一体，共同发挥作用． 三、复习建议 数学高考不仅是能力之战、心理之战，还是速度之战． 在数学高考中，若能正确、快速地处理好第一部分的选择题， 既有助于增强考试信心、保持积极良好的考试心态，又能为后面的主观性试题的解决赢得时间． 有人说，正确、快速地解决了前面的选择题，你的数学高考就成功了一半，这话很有道理． 为此，提出以下建议： 第一，重视课本，立足基础．选择题旨在考查中学数学的基础知识、基本技能和基本方法，所以回归“三基” 仍然是第二轮、第三轮复习的第一要务． 第二， 限时训练， 提高速度． 在第二轮、第三轮复习阶段， 要加大对选择题的训练力度，可以根据自己的实际， 每隔２－－３天完成一份高考模拟卷中的选择题， 时间控制在３０分钟之内，自测自改． 坚持下去， 就会明显提高解题速度和正确率． 值得注意的是，对于选择题中的压轴题往往新颖、非常规且难度较大， 如果自己的基础较差，就不要过分追求， 学会大胆猜测和合情推理，不留空白． 第三， 及时总结，领会方法． 选择题往往有四个选择支和唯一正确答案的特点， 决定我们常常可以运用直接法、数形结合法、特殊化法、代入验证法、排谬法、整体思考法、估算法、类比猜想法等等，尽量缩短思维流程，快速解决问题． （作者单位：安徽省太湖中学） 责任编校徐国坚
|
| 随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。