| 标题 | 初中数学华师版“平行四边形的性质”编写商榷 |
| 范文 | 刘成龙 摘? ?要 本文分析了初中数学华师版“平行四边形的性质”教材中存在的几个问题：一是定义地位认识不清，二是学情把握不准，三是课时安排失当，四是内容安排不妥，五是教材叙述不严谨。同时针对这些问题，提出了相应的教材编写建议。 关键词 初中数学? 数学教材? 平行四边形 数学教材是国家教育方针、素质教育精神、课程改革理念的具体体现[1]，是教师开展教学活动最重要的课程资源，架起了数学课程方案和教学实践两者间的桥梁。数学教材在教学活动中的基础性和权威性，使得它具有影响的深远，正如一些学者所说：“教材是亿万中小学生‘睁开眼睛看世界的主要通道。对于数以亿计的普通百姓来说，也许他们一生的文化记忆中只有中小学教材”[1]。因此，数学教材编写工作成为了一项神圣的使命。实践表明，数学教材中的绝大部分内容科学、严谨、合理，既丰富了师生教学活动，又提升了学生的认知能力，形成了基础学力和健全的人格[1]。但也有极少部分教材内容需要在实践中进一步优化和完善。比如初中数学华师版（2013年版）八年级下册“平行四边形的性质”一节[2]（下文简称八下教材）的编写就存在一些问题，值得商榷。 一、定义地位认识不清 中学数学是由概念、命题经推理证明组成的逻辑体系[3]。概念、命题和推理是逻辑思维的三大基本形式，其中，概念是逻辑思维的细胞，是反映事物本质属性和特征的思维形式。数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式[3]。因此，教材的编写应重视概念在整个教材中的地位与作用。平行四边形的定义是平面几何的重要概念，它既是菱形、矩形的上位概念，又是学习平行四边形性质和判定的基石。可以说，平行四边形定义是平行四边形整个章节学习的基础——整章节知识的生长点、思维的出发点和经验（推理方式）的获取点，但八下教材未凸显平行四边形定义的重要性。 1.呈现形式上忽视平行四边形定义的重要性 平行四边形定义具有性质和判定双重身份。定义作为性质时，它是平行四边形所有性质中最根本的性质。然而，八下教材对平行四边形的这一根本性质（两组对边分别平行）仅仅以小号字呈现，而由定义衍生的其他三个性质则用黑体字表述，并以定理冠名。显然，这样的呈现方式容易给师生造成平行四边形定义不重要，但衍生的三个性质很重要的误区。 2.学科逻辑上忽视平行四边形定义的重要性 钟启泉教授指出：当一门学科的教育内容具体化为教材来编制的时候，我们面临的重要研究视点与课题，首要是知识相互之间的内在关联性，这就是教材的“学科逻辑”问题，或是学科知识结构的问题[1]。平行四边形的定义准确揭示了平行四边形的内涵或外延，它是构建平行四边形知识逻辑系统的生长点，但八下教材在学科知识结构上忽视平行四边形定义的重要性。 （1）平行四边形定义是知识的生长点。基于知识系统的知识建构是研究数学的基本范式。由平行四边形的定义，很自然提出问题：定义展示了边这一基本要素的位置关系——两组对边分别平行，那么数量关系呢？角这一基本要素具有怎样的性质呢？对角线这一非基本要素又具有怎樣的性质呢？基于定义，可以自然衍生出基本要素和非基本要素的一系列有序而富有关联的问题。 （2）平行四边形定义是方法的生长点。美国著名学者布鲁纳指出：不论我们教什么学科，务必使学生理解学科的基本结构。平行四边形章节的基本结构是定义——性质——判定，这一结构基于定义，用逻辑推理的方法演绎出了性质和判定，这是推理几何的基本思想，为矩形、菱形、正方形以及其他问题的学习提供了思维方式和基本路径，为根植知识（定义）系统提出新问题、生成新知识积累了经验。 编写建议：将平行四边形的定义以性质定理冠名，且以黑体字呈现。同时，教材编写时基于定义演绎出性质定理1、2、3。 二、学情把握不准 钟启泉教授指出：当一门学科的教育内容具体化为教材来编制的时候，我们面临的第二个重要研究视点与课题是知识结构对于学习者的适切性，即教材的“心理逻辑”问题[1]。美国著名心理学家奥苏贝尔认为：“如果要我只用一句话来说明教育心理学的要义，我认为影响学生学习的首要因素是他的先备知识（包括经验）;研究并了解学生学习新知识之前具有的先备知识，进而配合设计教学，以产生有效的学习，就是教育心理学的任务。”“心理逻辑”和“先备知识”归结为一点，即学情，因此，理解学生是教材编写的基础。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称《标准2011》）指出：“教材编写要符合学生的认知规律，创设合适的问题情境，设计有效的数学学习活动”[4]。八下教材“探索”栏目，通过旋转得出平行四边形是中心对称图形，进而猜想平行四边形对边相等、对角相等，对角线互相平分。编者的意图是训练学生动手、观察、猜想的能力，这一操作符合研究几何图形性质的一般模式，但严重忽略了学情，抑制了数学抽象能力和数学思维能力的发展，属于无效的数学学习活动。 1.忽视学生已有水平 平行四边形是中心对称图形这一“先备知识”学生在7年级下学期已经具有。通过对教材7年级下册第127页“想一想”栏目的学习，学生已经对平行四边形是中心对称图形有了感性认识。八下教材再次通过动手实验得到平行四边形为中心对称图形是高耗低效、甚至无效的数学活动。 从多次课堂观摩来看，开展旋转活动大约需要10分钟，约占整个课堂时间的1/4，但这一活动并没有激发学生的兴趣、发展学生的思维，仅仅得到了两个学生已知的猜想，从经济学角度来看性价比不高。有研究者在课前对学生进行了前测，表明：绝大多数学生可以猜测、计算出平行四边形四个角的度数，而只有极少数学生不正确;有的学生可以“猜测”出平行四边形对边相等[5]。也就是说，平行四边形对边相等、对角相等也是绝大部分学生的“先备知识”。 2.忽视学生认知规律 瑞士著名心理学家皮亚杰将儿童认知发展划分为四个阶段：感知运动阶段（0～2岁）、前运算阶段（2～7）、具体运算阶段（7～12）和形式运算阶段（12～15）。其中，在形式运算阶段，儿童出现了接近成人水平的抽象逻辑思维，其思维超出了事物的具体内容和感知事实[6]。8年级学生，大都在14岁左右，抽象思维水平较高，逻辑思维层次有了较大发展。因此，这一阶段几何部分的学习应以逻辑思维、推理训练为主，尽量减少实物展示、动手操作，否则将会抑制抽象能力的发展。 编写建议：去掉教材中的“探索”栏目，基于定义提出问题，增加理性的推理论证活动，减少观察、操作等实验几何活动。 三、课时安排失当 教学系统化既是推理几何的根本方法，又是实现用几何发展逻辑思维能力的核心途径。用逻辑推理方法建立知识间的联系，是A.A.斯托利亚尔所说的“数学材料的逻辑组织化”心理过程，这一心理过程符合人脑用尽可能少的神经激活构建反应外部世界的神经激活模式的求简节能原理。同时，《标准2011》倡导：教材编写应当体现整体性，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学习的整体性;教材的编排应是逻辑连贯的，教师交给学生的不应该是碎片化的知识[4]。因此，教材编写要遵循逻辑化、系统化和简约化。八下教材将平行四边形性质设置为2个课时学习（第1课时学习性质定理1、2，第2课时学习性质定理3），值得商榷。 1.割离知识内在联系 从性质本身来看，三个性质定理地位平等，没有轻重之分。若分成2课时学习，则相当于人为设置障碍，割离了知识内在联系，这不利于三个性质系统化学习。边、角和对角线作为平行四边形的要素，是不可分割的整体，对性质的学习理应整体发现、系统构建，分成2课时，则人为地将统一的性质分割开，势必阻隔思维的一体化，不利于整体构建，不利于学生理解数学知识间的关联、感受数学知识间的逻辑顺序，也不利于推理几何中探索、建立新知识体系方法的积累。 2.增加认知负荷 边、角和对角线性质的一体化学习是思维的整体性、认知节能性的充分体现。分2课时学习，人为地设定了学生的思维：从教材编写来看，第1课时只允许发现性质定理1、2，性质定理3只能在第2课时发现，这是对思维一体化的限制和阻断。把性质定理3放在第2课时，学习时必然要对性质定理1、2进行回顾，还需要重新回到“探索”栏目，再次将学生的思维引领到发现对角线具有的特征上来，这相当于将学生火热的思维冷却后重新预热、升温。显然，这样的处理增加了认知负荷，不符合大脑的求简节能原理。 编写建议：将平行四边形性质定理1、2、3系统编排，设置在1课时内学习。 四、内容安排不妥 《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文简称《标准2017》）对于教材的编写提出了三点建议：1.教材编写要有利于教师的教;2.教材编写要有利于学生的学;3.教材编写要处理好几个关系：科学形态与教育形态之间的关系、过程与结果的关系、直接经验与间接经验的关系[7]。这三点可归结为一点：教材的编写有利于教学。因此，教材编写要充分体现数学内容的逻辑体系，合理安排学习内容[4]。實践表明，八下教材在内容安排上存在缺陷，亟待改进。 1.“试一试”太突兀 八下教材在性质定理1、2之后安排了“试一试”栏目。事实上，将平行线间距离相等这一性质编排在性质定理1、2之后，既不利于教师的一体化教，也不利于学生的系统化学，更不利于研究平面几何套路（定义——性质——判定）的建构：（1）性质定理1、2之后编排平行线间距离相等这一性质显得非常突兀，硬生生地卡在边角性质与对角线性质之间，与边、角、对角线的一体化学习格格不入，教师教棘手，学生学更是一头雾水，可谓是“节外生枝”。（2）此处介绍平行线的性质不利于学生积累提出问题、构建研究方法的经验——基于知识系统的知识建构（由定义展开对基本元素和非基本元素展开学习）。（3）教材对这一性质的介绍仅仅限于观察、测量等感性认识，这与本章的主题——增加理性的推理论证活动、减少直观相悖。 编写建议：将平行线间距离相等这一内容编排在教材86页判定定理3之后。同时，去掉本节中与这一性质对应的练习题。 2.“观察”显赘述 教材在探索环节，通过旋转发现平行四边形是中心对称图形，得到边角相等关系。在第2课时观察栏目，让学生重新观察第1课时中的探索过程得到对角线互相平分的猜想。事实上，对角线互相平分这一猜想可以与对边相等、对角互补同时提出，不必为提出对角线互相平分这一猜想而单独设置观察栏目。这既不利于整体性思维、一体化研究，又不简约。 编写建议：去掉“观察”栏目，对角线互相平分这一猜想基于平行四边形的定义提出。 五、教材叙述不严谨 爱因斯坦指出：“数学之所以有很高声誉，是因为数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性。”而提供可靠性的根源在于数学的严谨性。教材作为数学知识的载体，编写时应充分体现数学应有的逻辑性和严谨性。[4]但八下教材在叙述上不严谨。 1.错将测量结果叙述为数学结论 数学中要论证一个结论成立，需根据假设（包括公理和已知的定理），按着形式逻辑推演出来。除此之外，不允许任何其他东西作为导出结论的依据。在实验科学中，实验结果是结论的重要依据，但在数学中，则不能以任何实验结果作为结论的依据[8]。“试一试”栏目中内容为：“经过度量，我们发现这些垂线段的长度相等。由此得到平行线的又一性质：平行线间的距离处处相等。”显然“垂线段的长度相等”是实验结果，“平行线间的距离处处相等”是数学结论。而“试一试”栏目将数学实验结果视为数学结论，与数学的严谨性相悖。 编写建议：经过数学实验得到的“平行线间的距离处处相等”不能冠名为性质，只能叙述为猜想，证明后再以性质命名。 2.错将猜想叙述为定理 百度百科对数学猜想（或猜测）的解释是：“不知其真假的数学叙述。”对定理解释为：“经过受逻辑限制的证明为真的陈述。”显然，猜想不等同于定理。当然，猜想一旦被证明即成为定理，猜想也只有被证明后才能成为定理。八下教材将猜想叙述成定理，实为不妥。 八下教材“观察”栏目中的叙述为：“我们已经发现，？荀ABCD是一个中心对称图形，对角线交点O为对称中心，有OA=OC，OB=OD，由此可得：平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分。”首先，？荀ABCD为中心对称图形是实验结果，仅仅是数学猜想，其真实性未知;其次，将平行四边形的对角线互相平分以性质定理3冠名，必然为真;再次，叙述中隐含的推理为：猜想（论据）——性质定理3（论题）;最后，从逻辑上看，作为论据必须真实、充分，如果论据是假的或未经证明，这就犯了“虚假理由”或“预期理由”的逻辑错误[3]。显然，叙述中由一个真假性未知的猜想作为论据，得到數学定理，犯了“不能推出”的逻辑错误。 编写建议：证明“平行四边形的对角线互相平分”后，再冠以平行四边形性质定理3这一称号。 《标准2011》指出：教材编写应体现科学性和整体性、教材内容的呈现应体现过程性、呈现内容的素材应贴近学生现实、教材内容设计应有一定的弹性、教材编写应体现可读性。这既为教材编写指明了方向，也为衡量教材内容合理与否提出了标准。教材的编写处于动态变化之中，需要与时俱进，需要在实践中不断修正和完善。 参考文献 [1] 钟启泉.从课程标准的要素谈什么是“好教材”[J].素质教育课程，2011（09）. [2] 王建磐等.义务教育教科书数学八年级下册[M].上海：华东师范大学出版社，2013. [3] 翁凯庆.数学教育概论[M].成都：四川大学出版社，2007. [4] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：人民教育出版社，2012. [5] 金正龙.《平行四边形的性质》的课堂前后测数据分析[J].科教导刊，2013（01）. [6] 吴福元.皮亚杰形式运算思维述评[J].应用心理学，1984（03）. [7] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017. [8] 韩彦彬.和成人学员谈谈数学的特征与学习[J].河北大学成人教育学院学报，2004（06）. 【责任编辑? 郭振玲】 |
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