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浅谈数学专业大学生数学创新能力的培养

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[摘要]数学的发展离不开数学创新。本文讨论了数学创新的涵义及其具体表现，并给出了培养数学专业大学生数学创新能力的一些建议。

[关键词]数学;数学创新;数学专业大学生

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）08-0102-03

一、引言

数学是一门研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的学科，是各门科学和技术的基础和工具，在自然科学、工程技术、系统科学、管理科学及社会科学等领域起着举足轻重的作用。正如著名数学家华罗庚教授所说[1]：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”科学的进步，离不开数学的发展，而数学的发展离不开数学研究者的探索和创新。数学专业的大学生是数学研究者的主要来源，培养数学专业大学生的创新能力不仅是数学专业的学科要求，也是高等学校数学专业教师的职责所在。对于数学专业大学生创新能力的培养已有不少研究，但是关于数学创新的涵义及具体表现并没有明确地展现出来，并且关于创新能力培养方面的讨论缺乏一些切实的建议。本文将给出数学创新的涵义和具体表现，以及数学专业大学生数学创新能力培养的建议。

二、数学创新的涵义及其具体表现

“创新”简单来说就是“创造新的”，包含“更新”、“创造新的东西”和“改变”三层含义，具体来说指的是以现有的思维模式提出有别于常规或常人思路的见解为导向，利用现有的知识和物质，在特定的环境中，本着理想化需要或为满足社会需求，而改进或创造新的事物、方法、元素、路径、环境，并能获得一定有益效果的行为[2]。创新有广义和狭义之分，也即是相对和绝对的区分[3]。创新可以是广义上的、相对自身而言的创新，即创造得到自己尚未知晓的事物，虽然该事物可能已经存在，但自身并不知晓该事物;创新也可以是狭义上的、对全体而言的、绝对的创新，即创造得到新的事物，该新事物不仅对自己而言是新的，对全体而言亦是新的。创新中的“新”可以分为两类：一类是“无中生有”，这是一种前所未有的“新”，属于首创;另一种是“推陈出新”，即在原有事物基础上改进革新得到。

数学创新是指创造或革新数学中的定义、命题、定理等有关知识，既包括新定义、定理等的提出，又包括对已有定义、定理等的推广和深入，具体表现有：

（1）开创型的数学创新，即开创性的数学新知。如勾股定理的提出、微积分的发明、非欧几里德几何学的诞生等，这些都属于开创性的、前所未有的数学知识。

（2）衍生型的数学创新，即在原有知识基础上革新得到的数学新知。可分为横向推广型、纵向深入型和类比型。

（i）横向推广型的数学创新，即将原有的数学知识中的研究对象的范围扩大后得到的数学新知。如数系从“整数”到“实数”再到“复数”，这是数学概念的推广。再如微积分中微分中值定理的一步步推广，从罗尔中值定理到拉格朗日中值定理，再到柯西中值定理。

罗尔中值定理：若函数[f]在[[a，b]]上连续，在[（a，b）]内可导，且[f（a）=f（b）]，则存在[ξ∈（a，b）]使得[f（ξ）=0].

拉格朗日中值定理：若函数[f]在[[a，b]]上连续，在[（a，b）]内可导，则存在[ξ∈（a，b）]使得[f（ξ）=f（b）-f（a）b-a].

柯西中值定理：若函数[f，g]在[[a，b]]上连续，在[（a，b）]内可导，[g（x）≠0]且[g（a）≠g（b）]，则存在[ξ∈（a，b）]使得[f（ξ）g（ξ）=f（b）-f（a）g（b）-g（a）].

若要求拉格朗日中值定理的函数[f]满足[f（a）=f（b）]，则定理即是罗尔中值定理;若限制柯西中值定理中函数[g]为[g（x）=x]，则定理即为拉格朗日中值定理。从罗尔中值定理到拉格朗日中值定理，再到柯西中值定理，所研究的函数的范围不断得到扩大，这可视为数学定理的横向推广。

（ii）纵向深入型的数学创新，即对原数学知识纵向深入后得到的数学新知。比如微分方程中一阶常微分方程的延拓定理是相应的存在唯一性定理的纵向深入。再比如微分中值定理的泰勒定理，它是在拉格朗日中值定理縱向深入后得到的。

泰勒定理：若函数[f]在[[a，b]]上存在直至[n]阶的连续导函数，在[（a，b）]内存在[n+1]阶的导函数，则对任意的[x，x0∈[a，b]]，存在[ξ∈（a，b）]使得

[f（x）=f（x0）+f（x0）+f（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1].

当泰勒定理中的[n=0]时即为到拉格朗日中值定理，这可视为数学定理的纵向深入。

（iii）类比型的数学创新，即通过类比分析，在原数学知识上革新得到的数学新知。比如，通过类比分析，可从收敛数列的保不等式性，得到函数极限的保不等式性。再比如，在求一阶非齐次线性常微分方程[dydx=P（x）y+Q（x）]的通解时，用常数变易法将一阶齐次线性常微分方程[dydx=P（x）y]的通解[y=ceP（x）dx]中的常数[c]变易为[c（x）]后反解得到一阶非齐次线性常微分方程的通解。类比该思想方法，可从[n]阶齐次线性常微分方程[dnxdtn+a1（t）dn-1xdtn-1+…+an-1（t）dxdt+an（t）x=0]的基本解组出发，用常数变易的方法，得到[n]阶非齐次线性常微分方程[dnxdtn+a1（t）dn-1xdtn-1+…+an-1（t）dxdt+an（t）x=f（t）]通解，这可视为类比型的数学创新。

三、数学专业大学生创新能力培养现状

绝大多数高校的数学专业都将培养学生的创新能力列为培养目标之一，但是实际上，学生的创新能力却没有得到较好地培养。具体而言，主要有以下表现：

（1）教师缺乏培养学生创新能力的意识。有一部分教师认为，在数学教学中，只要教会学生课本上的数学知识，让学生学会解题即可，在教学中常常“照本宣科”，忽略了对学生创新意识和创新能力的培养。

（2）教师在培养学生创新能力方面能力不足。很多数学教师都认同培养学生数学创新能力的目标，但是由于教师的个体差异，有一部分教师往往因为自身缺乏创新意识、创新能力不足，甚至不了解数学创新的过程，不知如何培养学生的数学创新能力，在培养学生创新能力方面“心有余而力不足”。

（3）以考试为主的课程考核方式易造成“应试教育”。大多数高校在数学专业课程的期末考核中通常采用考试的方式进行，这使得学生在学习时往往以通过考试为目标，并且教师在教学中也主要关注的是教会学生解决问题，而忽略了培养学生思考问题和提出问题的能力，这无疑限制了学生创新能力的发展。

（4）学生参与数学科学研究的机会较少。让学生参与数学科研项目是对学生创新能力最直接的培养，但是一些高校，尤其是普通院校给学生提供的参与科研项目的机会较少。

四、数学创新能力培养的意义

数学创新能力是指创造或革新数学中的定义、命题、定理等有关知识的能力。在初等教育阶段，数学课程就已经提出了培养学生的创新能力的目标。这个阶段的创新主要是广义上的、相对学生个体而言的创新，学生学习的数学知识是已有的成果，但是这些成果对于学生个体而言却是“新”的，学生在学习数学新知的过程中，借助自身已有的知识储备，去接触、认识、理解新知，并将其融汇内化为自身的知识储备。在高等教育阶段，培养学生的数学创新能力包含两个层面：一是培养学生融汇内化数学新知的能力;二是培养学生创造、革新数学新知的能力。培养学生的数学创新能力有以下意义：

（1）有助于提高学生的数学学习能力和理解能力。数学创新能力的培养，离不开让学生知晓数学创新的过程，学生对这一过程的知晓，实际上就知晓了数学新知识与旧知识之间的关联，这有助于学生学习新知，有助于学生将数学知识系统化、结构化，从而有助于提高学生学习数学的能力和理解能力。

（2）有助于数学学科的推进和发展。数学学科的推进和发展离不开数学创新，尤其是数学研究者的数学创新。数学专业大学生是数学研究者的主要来源，培养他们的数学创新能力，实际上是提高了数学新知发现者的推陈出新的能力，这有助于数学新知的产出，进而推动数学学科的发展。

（3）有助于培养创新型人才。国家一直大力倡导培养创新型人才，创新型人才是复合型人才，在各行各业表现出突出的创新精神和创新能力。培养学生的数学创新能力，有助于让学生形成创新思维，这种创新思维的形成，对学生将来从事的职业和工作大有裨益，有助于让学生成为所在行业的优秀人才。

五、数学专业大学生数学创新能力的培养建议

培养数学专业大学生的创新能力，即是数学专业培养目标的要求，也是培养创新型人才的重要举措。数学创新能力的培养，不仅有助于学生数学学习能力的提高，更有助于推进数学学科的发展。作为高校数学教师，笔者结合自身的教学经验及感悟，总结了在教学中培养学生数学创新能力的一些建议。

（1）提高教师自身的创新意识和创新能力。只有教师自身具备了创新意识和创新能力，才有可能去培养学生的创新能力。作為数学专业的教师，应该学习数学创新的有关知识，不断探索新知，积极投身到数学的科学研究中去，锻炼并提高自身的数学创新能力。

（2）调动学生学习数学的兴趣。数学专业课程具有一定的难度，学好这些课程具有一定的挑战，要想有所创新，更加不易。数学的创新需要长时间的、持续的、专注的、深入的思考，如果没有兴趣作为支撑，那就无法对数学产生持久的热度，也就无法实现创新。因此教师在教学中要设法激发并调动学生学习数学的兴趣，尤其是第一堂课，因为课堂教学是教师与学生的双向交往互动，存在“首因效应”，即个体在社会认知过程中，通过“第一印象”最先输入的信息对客体以后的认知产生的影响作用。因此第一堂课中让学生形成的看法及印象，对以后学生学习具有深远影响[4]。比如，对于《数学分析》的第一堂课，可以通过[0.9·=1]的推证，曲边梯形面积求解的介绍，莫比乌斯带的制作，[2]、[e]和[sin30?1]的计算问题等，激发调动学生的学习兴趣和求知欲。

（3）展示教材中的创新，让学生知道什么是数学创新。对很多学生而言，数学创新仅仅是一个概念，他们对创新是什么基本一无所知。实际上，大学数学专业课程的教材是诸多数学研究着创新成果的总结。教师在教学中，展示教材中的创新，让学生清楚具体地认识到什么是数学创新，只有这样才有可能实现创新。

（4）适当拓展教学内容，加深学生对数学创新的理解。数学的历史久远，大学阶段数学专业学生学习的内容大多都是较早的数学知识，教师在教学过程中，如果能拓展有关的教学内容，补充最新的研究结果，这样更有助于学生理解数学创新。比如，在《高等代数》课程中介绍矩阵的概念及逆矩阵时，可以拓展介绍无限行或列的无限矩阵和广义逆矩阵，加深学生对创新的认识。

（5）在教学中展现数学创新的过程，让学生掌握如何创新。推广是数学创新的重要过程和方法，正如吴振奎等在《数学的创造》一书中的介绍[5]，数学发展的全史，无不与推广有关。说得狭隘点，数学的发展正是由数学中某些概念的推广和由此而引发的新内容、新概念、新方法、新问题的出现而导致的。教师在教学中展现数学创新的过程，让学生看清这个过程，掌握创新的方法。比如《数学模型》课程中，“安全渡河”包括“商人过河”问题和“船运狼羊菜”问题，这两个问题都使用了图解法，但是两种“图”却不一样，“商人过河”问题的图是基于坐标的网格，“船运狼羊菜”问题中的图是基于图论，在教学中引导学生思考，并展示渡河问题基于格的统一的图解法[6]，让学生看到实际的创新过程。

（6）在教学中注重类比联想和发散，训练学生的创新思维。类比联想思维和发散思维是重要的创新思维，很多数学上的创新都是通过类比得到的，并且很多数学创新是灵光一现得到的，不过这些创新的获得离不开对数学相关问题持续的思考，离不开对类似问题的联想和思维的发散。在教学中教师应注意相似知识的类比，注重一题多解的训练，通过这些方式训练学生的联想思维和发散思维，以此训练学生的创新思维。比如《数学分析》课程中收敛数列的性质到函数极限的性质，就有许多的相似性，注意这些知识的类比，不仅有利于学生知识的系统化，还有助于训练学生的联想思维。

（7）激发学生的问题意识，让学生学会发现问题并提出问题。在数学学习中，解决问题的能力固然重要，但是对于创新而言，发现问题、提出问题的能力更加重要。如果在大学数学课程的教学中，一味专注于提高学生解决数学问题的能力，而忽略激发学生思考、发问的意识，那样的话，大学阶段的数学教育就变成“应试”教育了，学生的创新能力就无法得到培养。因此在教学中，教师要注意激发学生的问题意识，让学生能发现问题，并能提出有价值的问题。比如，在《数学建模》课程“商人过河”案例介绍的是3名商人3名随从，对于n名商人n名随从结果怎样？m名商人n名随又是如何？能否根据m，n的值判别是否存在可行渡河方案？这些问题的提出实际就是引导学生进行具体的创新。

（8）教会学生读书，让学生学会自学。课堂时间是有限的，仅通过课堂教学去培养学生的创新能力是不够的，需要教会学生读书、自学的能力。书本虽然是死的，但是要让学生把书读“活”，让学生学会发问，让学生学会向课本提问，不能只是单纯的把书上的知识看懂，要思考，考虑作者为什么要这样安排章节？我可以怎样重新理解建构这些知识？为什么要用这种方法？还有其他方法吗？引导学生带着这些问题去看书，把书读“活”，这样不仅是在看书，而是在和书的作者交流。在这样的看书、自学过程中，学生会不断的思考，创新能力也在得到训练。比如在《解析几何》课程中，介绍了向量内积和向量积的混合积，二重向量积，为何不考虑二重内积？为何在[（k+m）a=ka+ma]的证明中要区分[k，m]是否为0是否同号？为何证明[（a+b）×c=a×c+b×c]时先考虑[c]是单位向量？在学习过程中，学生若能思考并解答这些问题，也就了解到了作者的一些思想和意图以及解决问题的方法。

（9）将数学创新作为考核的目标之一，推进学生的数学创新。目前很多高校数学专业课程的考核主要采取考试的方式，虽然这种考核方式能有效地督促学生学习，但是若仅将考试作为唯一的考核方式，这容易造成学生在学习中以应试为目的，这势必会阻碍学生创新能力的发展。将撰写小论文、研究报告等方式作为可供选择的考核方式，变革单一的考试考核制度，以此引導并推进学生进行数学创新。

[参考文献]

[1] 赵宏量. 大哉，数学之为用：纪念华罗庚教授诞辰 100 周年[M]. 重庆：西南师范大学出版社，2010.

[2] 吴怀宇，程光文，丁宇，等. 高校学生创新能力培养途径探索[J]. 武汉科技大学学报（社会科学版）， 2012（3）：334-336.

[3] 孙健伟. 学科竞赛对研究生创新能力的影响研究[D]. 南昌大学， 2012.

[4] 孙峰.关于上好高等数学第一堂课的探讨[J]. 乐山师范学院学报，2014（11）：118-120.

[5] 吴振奎，吴旻. 数学的创造[M]. 上海：上海教育出版社，2006.

[6] 孙峰，屈小兵，汪天飞. 格在安全渡河问题图解法中的应用[J]. 数学的实践与认识， 2013（8）：170-175.

[责任编辑：林志恒]

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