《“根”在课本上　“法”在模型内》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

标题

“根”在课本上　“法”在模型内

范文

周泽军　侯霞

摘要：习题教学的“根”就是数学模型，习题教学的“魂”在于数学思想方法.本文以课本习题为例，抓住习题中蕴舍的数学思想与方法，旨在让数学素养的培养“落地生根”.

关键词：习题教学;数学模型;数学想想方法

“众里寻它千百度，蓦然回首，数学模型与数学思想方法却在课本习题处.”如何将学生从穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目解脱出来？适当选择某些有意义但又不太复杂的课本习题，帮助学生挖掘习题的各个方面，让学生在解题过程中，提高才智与推理能力也许是一种有效的途径。文章通过一道习题的多种解法与课本题源蕴含的数学模型与思想方法进行对比，意在阐述研习课本习题的潜在教学价值，旨在提高解题能力，提升思维品质.

1 课本题源再现

题源1（新人教版83页第12题）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：BE= DC.

分析本题的实质就是借助等腰三角形中的“手拉手”模型，通过证明△ADE≌△ABE来证明线段BE=DC.其实本题的证法还可以将△ABD，△AEC都是等边三角形推广为：“任意三角形△ABD，△AEC中，AB =AD、AE =AC，且∠DAB=∠EAC”.证法相同，结论仍成立.

题源2（新人教版69页第14题）如图2，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于點F，求证：AE= EF.

分析本题的证明若以△ABE为“基础三角形”，借助“三垂直”模型，过点F作BC的垂线，构造一个直角三角形与△ABE全等来证明线段AE= EF，就会进入思维定势的误区.而正确的方法是反其道而行之，突破思维定势，以△CFE为“基础三角形”在AB上截取线段AM，连接ME，构造△AME与△ABE全等来证明.其实本题的证法还可以将点E推广为：“点E在直线BC上运动，∠AEF= 90°，且EB交正方形外角的平分线CF所在直线于点F”.证法相同，结论仍成立.

2 试题呈现

如图3，已知△ABC，AB =AC，∠BAC= 90°，点D为CB延长线上一点，连AD，以AD为边在△ABC的同侧作正方形ADEF.

（1）求证：∠EBD =45°;

（2）求2DC-BC/EB的值; （3）若AF =2，AC=√2，连BF，则S△EBF=____.

3 解法赏析

这里只针对第（1）问进行解法解析

解法l如图4，连接BF，过点E作EM⊥BF于点M，EN⊥ CD于点N.

因为正方形ADEF，∠BAC= 90°，∠FAB=∠FAD+ ∠DAB.∠DAC=∠CAB+∠DAB.所以∠FAB= ∠DAC.

在AFAB和ADAC中，

AF =AD，

∠FAB= ∠DAC，

AB =AC，

所以AFAB≌ADAC（ASA）.

所以∠ABF= ∠ACD =45°.

因为∠FBC= 90°，所以∠MEN =90°.

所以∠NED= ∠MEF.

在AEDN和AEFM中，

∠DNE= ∠FME，

∠NED= ∠MEF，

ED= EF，

所以AEDN≌AEFM（AAS）.

所以EN=EM.

所以∠NBE= ∠EBM= 45°.

即LEBD =45°.

解法2如图5，连接BF，过点E作EN⊥CD于点N，EH⊥EB交BF的延长线于点H

因为正方形ADEF，∠BAC= 90°，∠FAB=∠FAD+ ∠DAB，∠DAC=∠CAB+∠DAB，所以∠FAB= ∠DAC.

在AFAB和ADAC中，

AF =AD.

∠FAB= ∠DAC.

AB=AC.

所以AFAB≌ADAC（ASA）.

所以∠ABF= ∠ACD =45°.

所以∠FBC= 90°

所以∠EDB+ ∠EFB= 180°.

所以∠EDB= ∠EFH.

因为∠FED= ∠HEB =90°，

所以∠HEF= ∠BED.

在AFEH和ADEB中，

∠HEF= ∠BED.

EF= ED.

∠EFH= ∠EDB.

所以AFEHU≌ADEB（ ASA）.

所以EH=EB.

所以∠EBH =45°.

所以∠EBD =45°.

解法3 如图6，连接BF，过点F作FH⊥BF交BA的延长线于点H

因为正方形ADEF，∠BAC= 90°，∠FAB=∠FAD+ ∠DAB，∠DAC=∠CAB十∠DAB，所以∠FAB= ∠DAC.

在AFAB和ADAC中，

AF =AD，

∠FAB= ∠DAC，

AB =AC，

所以AFAB≌ADAC（ASA）.

所以∠ABF= ∠ACD =45°.

所以FB=FH.

因为∠EFA= ∠BFH= 90°，

所以∠EFB= ∠AFH。

在AEFB和AAFH中，

EF =AF.

∠EFB=∠AFH.

FB= FH.

所以AEFB≌AAFH（ SAS）.

所以∠EBF= ∠AHF =45°.

随便看

科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。