标题 | 平面几何常见添加辅助线的方法 |
范文 | 徐策 [摘要]学生在几何学习中,解平面几何问题,关键是要学会添加辅助线.教师应指导学生掌握平面几何常见的添加辅助线的方法,从中找出解题规律,进而有效解决问题. [关键词]平面几何;辅助线;添加 [中图分类号]G633.6? [文献标识码]A? [文章编号]1674-6058(2020)02-0023-02 解平面几何一些比较复杂的图形题,关键是如何添加适当的辅助线.其实,辅助线的添加也是有规律可循的.教师在教学过程中,应该指导学生对几何知识点进行系统性的整理,对常见的一些例题、习题进行深入分析,找出规律,掌握辅助线的添加方法. 一、在分界点上添加平行线 相似形的证明在初中几何中占据重要地位.中考命题中相似性的出题概率一直呈上升趋势.因此在讲这部分内容时,教师要紧紧把握住基本概念、性质以及基本题型. 在证明一些有关线段成比例的题型时,如果图形中没有呈现出相似三角形中的常见题型,即A字形或者X形,就可构造平行线去解决这类题目. [例1]如图1,D是AC的中点,EF交AB于E,与BC的延长线交点F,求证:. 分析:假如过点A作边BC的平行线AG,那么就有.剩下的任务就是证明AG=CF,这样问题也就迎刃而解了. 证明:过点A作BC的平行线AG,与FE的延长线相较于G点,连接GE. 又因为AD=DC, 这道题对初中生来说,还是比较复杂的.但是,我们通过作三角形定点的平行线这种辅助线,能轻松得到证明. 二、梯形中辅助线的作法 在初二的几何学习中,经常会遇到计算梯形面积的题目,课本中给出的解法中,往往是传统的“(上底+下底)x高”的做法,或者将一个梯形分解成两个三角形来计算.其实,在解有关梯形的题目中,还有以下幾种添加辅助线的方法. 1.已知梯形上底和下底之差,通过上底的其中一个端点,作一条与腰平行的线段.这样实际上就把梯形转化成平行四边形,另外加上一个三角形,如图2-1. 2.已知梯形的上、下底,求面积.常见的方法是在上底的两个端点处,向下底引垂线,形成高线,如图2-2. 3.延长梯形(特别是等腰梯形)的两腰,使其相交于一点,这样可以通过相似三角形计算长度,如图2-3. 4.已知梯形的对角线相等,或者对角线互相垂直时,可过梯形上底的一个端点,作另一条角线的平行线,使之与下底的延长线相交,如图2-4. 5.当梯形中出现中点时,都会过其中一腰的中点,作另一腰的平行线,最后分别与上底的延长线和下底相交,如图2-5. 6.当梯形中出现中点时,也会常常连接上底的一端点和另一腰的中点,并延长,最后与下底的延长线相交,如图2-6. 三、运用“三线合一”性质,给等腰三角形过顶点作底边上的高线 如果题目已知等腰三角形(或者等边三角形),并且知道其中的某一边,求面积或者证明某两条线段相等,这时,利用“三线合一”性质过三角形的顶点作底边上的高线,是最有效的办法. [例2]如图3,已知点D、E在三角形的底边BC上,且AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE. 分析:在本题中,呈现了两个等腰三角形,而且要证明相等的线段在等腰三角形的底边上,用等腰三角形的“三线合一”性质解决,可得线段BH=HC,DH=HE,再根据等式性质“等量减等量还是等量”,最终命题得证. 四、截长补短法 截长补短法常用于证明两条线段之和或者之差等于另一条线段.具体来说,有两种操作,一是截长,二是补短. [例3]如图4,已知在△ABC中,∠1=∠2,∠B=2∠C,求证:AB+BD=AC. 证明:在AC上截取AF=AB,并连接DF. 在△ABD和△AFD中, ∴∠B=∠AFD,BD=DF. 又因为∠B=2∠C, ∴∠AFD=2∠C. 又∠AFD=∠FDC+∠C, ∴∠FDC=∠C. ∴FD=FC(等角对等边),即AB+BD=AC. 总之,学生想学好几何,关键要学会添加辅助线.当做完一道题目后,应及时归纳、总结相关解题方法,长此以往,便可熟能生巧,从而提高数学解题能力,提升数学核心素养. [参考文献] [1]胡飞.浅谈初中数学几何证明的三种思维[J].都市家教(下半月),2012(1):89-90. [2]薛春青.浅谈初中数学教学中的“解图”与“解题”[J].新课程(教师版),2010(3):56-57. [3]申忠军.重视几何典型题解题思路指导[J].湖南教育(数学),2008(8):23-24. |
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