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一种利用求反函数推广反三角恒等式的方法

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马志良

【摘要】通过对三角函数在一般单调区间上求反函数，得出了反三角函数在一般单调区间上的解析式，并应用对应的反三角恒等式对反三角求值问题进行了求解。

【关键词】反函数；反三角恒等式；反三角恒等式的推广式

1.反三角恒等式

通常所说的反三角恒等式是指以下三个等式：

arc sin（sin x）=x x∈[-■，■]

arc cos（cos x）=x x∈[0，π]

arc tan（tan x）=x x∈[-■，■]

应用这组恒等式求解问题要求x必须属于上述特殊单调区间，但是很多时候x不属于该区间。一种可行的办法就是把上述恒等式在一般单调区间上进行推广，进而得到一般区间的反三角恒等式。

2.反三角恒等式的推广

由于反三角恒等式是把三角函数限制在特殊单调区间上求反函数并做代换得到的一类等式。那么推广式也应是把三角函数限制在一般单调区间上求反函数并做代换得到的等式。下面是三个反三角恒等式具体推导过程。

（1）arc sin（sin x）在一般区间上的恒等式

下面求y=sin x在[kπ-■，kπ+■]的反函数。

令x=t+kπ，则t∈[-■，■]，y=sin（t+kπ）=sin t cos kπ+cos t sin kπ=（-1）■sin t故t=arc sin[（-1）■y]=（-1）■arc sin y

所以y=sin x在[kπ-■，kπ+■]的反函数为x= kπ+（-1）■arc sin y

把y=sin x代入上式，得恒等式arc sin（sin x）=（-1）■（x-kπ）

（2）arc cos（cos x）在一般区间上的恒等式

下面求y=cos x在[kπ，（k+1）π]的反函数。

令x=t+kπ，则t∈[0，π]，y=cos（（t+kπ）=cos t cos kπ-sin t sin kπ=（-1）■cos t故。t=arc cos[（-1）■y]=■-（-1）■（■-arc cos y）=■[1-（-1）■]+（-1）■arc cos y

所以y=cos x在[kπ-■，kπ+■]的反函数为x=kπ+■[1-（-1）■]+（-1）■arc cos y

把y=cos x代入上式，得恒等式arc cos（cos x）=（-1）■（x-kπ）+■[1-（-1）■]

（3）arc tan（tan x）在一般区间上的恒等式

下面求y=tan x在[kπ-■，kπ+■]的反函数。

令x=t+kπ，则t∈[-■，■]，y=tan（t+kπ）=■=tan t

t=arc tan y x-kπ=arc tan y x=kπ+arc tan y

所以y=tan x在[kπ-■，kπ+■]的反函数为x=kπ+arc tan y

把y=tan x代入上式，得恒等式arc tan（tan x）=x-kπ

3.反三角恒等式推广式的应用

有了在一般单调区间上的反三角恒等式，对于反三角的求值问题可以通过先确定的取值，再代入对应的恒等式即可求解。

例1求arc cos[cos（-■π）]的值

解：因為当x∈[kπ，（k+1）π]时，arc cos（cos x）=（-1）■（x-kπ）+■[1-（-1）■]

由于-3π<-■π<-2π，所以k=-3

arc cos[cos（-■π）]=（-1）■[（-■π）-（-3）π]+■[1-（-1）■]=■π

例2求arc tan[tan（-■π）]的值

解：因为当x∈[kπ-■，kπ+■]时，arc tan（tan x）=x-kπ

由于-3π-■<-■π<-3π+■，所以k=-3

arc tan[tan（-■π）]=（-■π）-（-3π）=■π

【参考文献】

[1]冯国勇，贾青慧.一元微积分及其应用[M].北京：北京理工大学出版社，2010年

[2]刘春平，刘晓平.反三角函数的解析式及其应用[J].大学数学，2015年第1期

[3]刘兆德，于丰，杨国爱.利用三角函数线巧解反三角函数一类问题[J].松辽学刊，1992年第3期

[4]邓学清，杨贤仆.反三角式的对数表示法[J].重庆师范学院学报，1998年第2期

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