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关注几何本质，科学备考解析几何

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卢会玉

解析几何是代数与几何的完美结合，是代数解决几何的典范。由于解析几何蕴含丰富的数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等），所以通过对解析几何的考查，可以有效检测同学们的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象和数学建模等数学核心素养。

解析几何在高考中的考查内容包括：直线与方程、网与方程、网锥曲线等内容。题型有选择、填空及解答题，考查形式有纯粹的解析几何试题，以及蕴含在线性规划、导数等试题中的直线方程问题。纯粹的解析几何试题基本保持为两道小题和一道解答题，分值为22分。选择与填空题常有一道较低起点题，另一道则为较难题或者压轴题。解答题的第（1）问侧重考查网锥曲线的定义与基本性质;解答题的第（2）问，尽管可能有多种不同的呈现形式，但总离不开直线与网或网锥曲线的位置关系这一本质的模式或套路。

通常解析几何试题的计算量都比较大，导致同学们在学习过程中有恐惧心理，使得很多同学在解决解析几何问题时只能走三步：求方程，联立方程，韦达定理，然后就继续不下去了。其实这种思维主要是由只重视代数运算，而忽视几何本质所导致的。解析几何应该以几何问题为导向，关注几何本质，以几何为切入点，这样更容易找到解题思路。想要快而准确地解决解析几何问题，应遵循解析几何三部曲：厘清几何问题，几何问题代数化，代数思想解决（方程思想）。显然第一步是前提，第二步是关键，第三步是保障。

考向一、直线方程的求解问题

总结：求直线方程的常用方法有：（l）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程。（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组）求系数，最后代入求出直线方程。（3）求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥O。

考向二、和圆有关的最值问题

总结：和网有关的问题，多数情况下都是利用数形结合的思想方法来解决的。在求网上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。涉及网的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

考向三、圆锥曲线的定义和标准方程

总结：（l）椭圆定义的集合语言：P={M||MF1|+|MF2| =2a，2a>|F1F2|）往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。解决焦点三角形问题常利用椭网的定义、正弦定理和余弦定理。

（2）在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”。若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支。同时注意定义的转化应用。

（3）求双曲线的方程时，一是要注意判断标准形式;二是要注意a、b、c的关系。

考向四、有关离心率问题

总结：（l）求离心率时，由条件寻找“a，c、满足的等式或不等式，在双曲线中，“a，b，c的关系为c2=a2+b2，在橢圆中，a，b，c的关系为a2=b2+c2，然后进行变形即可。

（2）求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合c2=a2十b2和e=c/a，得到关于e的不等式，求解即得。椭网问题用类似方法求解。注意区分双曲线的离心率e∈（1，+∽），椭网的离心率e∈（0，1）。

考向五、求轨迹方程

总结：（l）直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性。通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性。

（2）求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足网、椭网、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程。理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键。利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的网、椭网、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制。

（3）动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x'，y'）的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x'，y'表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程整理化简即得动点P的轨迹方程。

考向六.圆锥曲线中的定点、定值问题

总结：定点、定值问题多以直线与网锥曲线为背景，常与函数、方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明，难度较大。定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值。化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

考向七、直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用

总结：（l）判断直线与网锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0。

（2）依据直线与网锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元二次方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程;若不为O，则将方程解的个数转化为判别式与O的大小关系求解。

考向八.直线与圆锥曲线的弦长问题

总结：直线与网锥曲线的弦长问题：

（l）过网锥曲线的焦点的弦长问题，利用网锥曲线的定义可优化解题。

（2）将直线方程与网锥曲线方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点之间的距离公式求弦长。

（3）解题过程体现了解析几何中的设而不求思想，其实质是利用两点之间的距离公式，以及一元二次方程根与系数的关系。

解答解析几何问题的关键是把几何问题转化为代数问题，那么怎样才能进行合理的转化呢？笔者认为有几点值得注意：（l）要主动去理解几何对象的本质特征，这需要在审题上下功夫;（2）要善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来，这需要对特殊图形的代数表示非常明确;（3）恰当选择代数化的形式，这需要很好的大局观，方便后续的代数研究;（4）要注意等价转化。

总之，解析几何题综合性强、应用面广，有些题目对运算求解能力要求高、有些题曰对推理论证能力要求高，所以在高三复习中，既要注重基础，又要有所创新提高，既要注重通性通法，又要注意技巧锻炼，要做到灵活多变，养成良好的学习习惯，自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算，这样才能快速准确地解答问题。

（责任编辑王福华）

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