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赏析解析几何中的典型问题

范文

陈伟斌张启兆

解析几何是高中数学的重要内容，也是高考考查的重点内容。解析几何的核心观点就是恰当运用代数的方法解决几何问题，基本思想是数形结合思想，核心方法是坐標法。数形结合思想和坐标法是统领全局的，解析几何就是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门学科。同学们在复习过程中要注意积累解决解析几何的基本问题及典型问题的常用方法、技巧，提高解题能力，确保复习效果。

一，存在性问题

解析几何中探究存在性问题实质上是探索结论的开放性问题，是在一定的条件下判断某种数学对象是否存在的问题，它有结论存在和结论不存在两种情形，解答这类问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此出发，结合已知条件进行推理论证。若导出矛盾，则说明先前假设错误;若推出合理的结论，则说明先前假设正确，由此得出问题的结论，“假设推证结论”是解答此类问题的三个步骤。

评注：（l）已知椭圆中的某些参数求椭圆方程是常见题型，因为椭圆中三个参数a，b，c三者之间已经有了关系a2=b2+c2，所以只要再给出两个条件就可以解出方程，若已知离心率，常见的处理办法就是利用离心率减少变量，即把a，b，c、都用一个变量来表示，比如这道题目就可得到a=2c，b=√3c。

（2）对于一道综合题，要能认真审题，发现其中隐含的条件，比如题目中的PF⊥x轴，这些隐含条件有时就是解决问题的关键点。该题涉及了解析几何中常见的两种处理办法，已知直线与椭圆的一个交点，可结合韦达定理求另一个交点，以及利用对称性用-k代替k得到另一个交点。在求k时，把A，F，B三点共线转化成斜率来运算也是简化计算的一个技巧，若写出AB的方程，再利用过点F求k就比较烦琐了。

（3）该小题中的两种不同的思路，其实都是在抓整个图形的关键元素，关键元素就是指这个元素定下后，整个图形也就定下了，解法一抓的关键元素就是A，B中的点，解法二抓的关键元素就是AB的斜率，然后把所有变量都由这个元素表示，这个思想和向量中的基底思想有点类似。

二、定点、定值问题

解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题曰中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值。

解析几何中的定点、定值问题的解法的一般规律：（l）定点问题：要探究直线或者网是否过定点，通常有两种策略，策略一：首先要表示出直线或者网的方程，这就需要恰当设好变量，选择合适的路径进行求解，而过定点就是要与变量无关，一般情况下利用系数为0就能解决问题;策略二：先通过特殊位置的图形进行猜测，猜出定点，再证明。（2）定值问题：主要是通过化简求值得到，只要恰当设好变量，合理进行运算，一般都能解决，得到的结果要通过特殊值进行检验，解析几何中的设法主要就是设点的坐标或者设直线的斜率，两种设法的本质是一样的，在不同的题目里各有优势，我们要在平常解题过程中认真总结，解题之前一定要通过比较选择最适合的解法。

评注：（l）求定值问题常见的方法有两种：一是从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关;二是直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

（2）在第②小题中，设直线l1的方程为y-y0=k1（x-x0），换元：记t=k1y0-x0，则直线l1的方程可优化为y=k1x+t，从而优化解题过程。

三，与面积有关的问题

解析几何中与面积相关问题的解题思路：（l）根据题曰条件确定所运用的面积公式;（2）不规则图形的面积问题需要割补，转化为我们熟悉的规则图形;（3）注意运用坐标的几何意义;（4）有些面积问题可通过几何性质去处理。

分析：（l）由于本题没有给图，所以在读题时应该在草稿纸上先画个图（如图2），再从目标出发：要求△OBC的面积的最大值，可以建立日标函数，那么以△OBC的哪一条边为底边比较好呢？结合图形和已知条件，选择合适的解题路径。在△OBC中，OB的长度为定值，故以OB为底边。第（l）小题转化为求点C到直线OB的距离的最大值，于是有两种解法。

（2）要求当△OBC的面积最大时，直线l的方程，通性通法是设出直线l的方程，然后把△OBC的面积表示出来，即建立目标函数，再去求△OBC面积的最大值。结合图形（如图3）和已知条件B（x1，y1），C（x2，y2），且3Y1+y2=0，选择怎样的解题路径呢？用割补法，将△OBC的面积转化为△BAO与△CAO的面积之差，而在计算这两个三角形的面积时均以AO为底边，因此巧设直线l的方程为x=my+n，用m，n表示出△OBC的面积，求出△OBC的面积最大时m的值，即可解决问题。

评注：第（l）小题如果以BC为底边去求△OBC面积的最大值，也可以解决问题，但运算稍微复杂一些，而且要讨论直线BC的斜率是否存在，请同学们试一试。第（2）小题采用割补法，并利用直线的横截距和两个交点的纵坐标表示三角形面积，使问题得到简捷解答，这种方法是解有关椭圆中三角形面积的最大值问题的常用方法。那么，是否可以利用直线的纵截距和两个交点的横坐标表示三角形面积呢？答案是肯定的，同学们不妨试一试。

解析几何中的运算往往比较复杂，因而解题需要先规划，认真分析题目，观察已知和未知，制定合理运算程序，选择有效策略，认真分析、观察解答过程中的每一步及题曰要求，便可施以技巧，从而优化解题方法，简化解几运算，提高思维品质，使做题达到事半功倍之功效。

（责任编辑王福华）

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