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Hamel基与正交基的关系

范文

田汉阳

【摘要】本文介绍了Hamel基和正交基的概念，并讨论了它们的等价性.

【关键词】Hamel基;正交基;希尔伯特空间;关系

一、一般向量空间的基，Hamel基和正交基

我们想要知道Hamel基和正交基的关系，首先就要清楚它们的概念.

（一）一般向量空间的基

向量空间X的一组向量若满足：（1）线性无关;（2）X中任一向量可由此组向量线性表出，则称该组向量是X中的一个基（亦称基底）.

（二）Hamel基

非零线性空间X的一个子集H={xn}∈X，称为一个Hamel基指的是H是X中一个线性无关的集（H中任意有限个元都线性无关），且任意x∈X，都可以被H中有限个元唯一地线性表示.

（三）正交基

在一个内积空间中，元素两两正交的基称为正交基.

为了使读者更清晰地了解三者的关系，我们需要介绍线性空间中“线性无关”.

（四）线性无关

1.在有限维空间中：

对一组数量有限的集合{v1，v2，…，vn}，我们称这个集合是线性无关的：这个集合中的元素的任意线性组合等于0当且仅当系数都为0.

在此定义下，一个向量组{vi}是有限维向量空间V中的一组基，那么，任意一个向量x属于V，都可以被vi中的向量的线性组合表示.

2.在无限维空间中

对一组无限的集合{v1，v2，v3，…}，我们称这个集合是线性无关的：这个集合中的任意有限个元素的线性组合等于0当且仅当系数都为0.

那么在此定义下，可知如果一个向量组{vi}是无限维向量空间V的基，那么，任意一个向量x属于V，都可以被vi中的有限个向量的线性组合表示.

因此，我们可以知道，在无限维向量空间中的基，就是我们的“Hamel基”.所以，我们也称Hamel基是“一般线性空间下的基”.

由上面两者的定义可知，我们的讨论范围可以由线性空间缩小到内积空间.

二、内积空间中的Hamel基和正交基的关系

（一）在有限维内积空间中

由Hamel基的定义可知，任意有限维内积空间都含有Hamel基.我们取给定的有限维内积空间X的一组Hamel基H，H的元素数量一定是有限的.通过对H的元素Gram-Schmidt正交化，可以得到一组正交基.

所以在有限维的内积空间中，二者等价.

（二）在无限维的内积空间中

1.我们首先要讨论无穷维空间中，Hamel基与正交基的存在性

（1）任意向量空间都有基（Hamel基）[2]

考虑任意一个向量空间V中的线性无关的集合S1.如果S1 spans V，那么S1就是一个V的基;如果不是，我们可以选择任意一个向量v1，v1满足：属于空间V但不属于span{S1}.令S2=v1∪S1，是一个更大的线性无关的集合.然后考虑S2，若S2 spans V，S2为V的一个基;若不，我们可以再得到v2属于V但不屬于span{S2}.令S3=S2∪v2.不断重复这个过程，我们可以得到一个单调递增的线性无关的集合组：

S1S2S3……

显然我们知道，S=∪Si是线性无关的集合.（对任意有限个向量{xn}属于S，都存在一个i，使得{xn}属于Si.）

现在我们要证明S是V的基.

令P是V中的线性无关子集所组成的集族.由于V≠0，则P不是空集.在P中按照规定序，A≤B，指的是AB，则P是一个偏序集.由Zorn引理，P中必有极大元.

先证明S就是P中的极大元：

如果S不是，那么存在极大元M，使SM且S≠M.任取一个向量v，使v属于M但不属于S.那么我们可以知，v也属于V空间.v∪span{S}也属于V空间，这与S的定义相矛盾.所以S是P的极大元.

再证明S是V的基：

如果S不是V的基，那么存在向量v0∈V，但不属于span{S}.使得S0=v0∪S也属于V，且S0也是线性无关的集合，则S0∈P.显然SS0，且S≠S0.这与S是P的极大元矛盾.

所以S就是V的基.

证毕.即对任意一个向量空间，我们都可以找到它的一组基（Hamel基）.

（2）任意的希尔伯特空间都有正交基

由a知，任意的希尔伯特空间都有基.设V为任意的希尔伯特空间.因为V完备，那么我们设Vn是V的一个n维子空间.有限维的希尔伯特空间，对基Gram-Schmidt正交化，得到标准正交基Sn={x1，x2，…，xn}.设v∈V，但v不属于Vn.由投影原理可知，v与v在Vn的投影F之差：

b=v-∑ni（v，xi）xi，是正交于子空间Vn的.再将b单位化，令xn+1=b‖b‖，那么Sn+1={x1，x2，…，xn，xn+1}就是Vn在v上扩展的子空间span{x1，x2，…，xn，xn+1}的标准正交基.

不断重复这个正交基的延拓过程，就可以得到一组单调递增的集合：

S1S2S3……我们令S=∪iSi.

于是，由Zorn引理得S就是希尔伯特空间的一组正交基.

2.由于不完备的内积空间上正交基的存在性较为复杂，所以我们先讨论无限维希尔伯特空间下的正交基和Hamel基的关系

（1）对任意一个无限维的希尔伯特空间，它的正交基不再是Hamel基

我们可以先考虑比较特殊的情况，由Gram-Schmidt过程可知，我们得到的正交基在无穷维的情况下是可数的.

但是我们可以证明：没有希尔伯特空间有可数的Hamel基：

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