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标题 计算线性递推数列通项的一个一般性方法
范文

    王勇

    

    

    【摘要】本文利用矩阵若当标准型理论,给出了计算线性递推数列通项的一般方法.

    【关键词】若当标准型;线性递推数列;数列通项

    一、引?言

    根据数列的初始项和线性递推公式计算该数列的通项技巧性较强,因此,寻求解决这类问题的一般方法就很有必要.

    二、若当标准型简介

    定义?形如Ji=λi1λi1λiri×ri的矩阵称为ri阶若当块.

    由若干个若当块构成的分块对角阵:

    J=J1J2Js 称为若当标准型.

    定理?任一矩阵A∈Cn×n都與某一个若当标准型J相似,即存在可逆矩阵P∈Cn×n使得P-1AP=J.

    由P-1AP=J得A=PJP-1,从而对任一正整数n,

    有An=PJnP-1=PJ1J2JsnP-1

    =PJn1Jn2Jns P-1,

    其中Ji=λi1λi1λiri×ri,用数学归纳法可证得

    Jki=λkiC1kλk-1iC2kλk-2i…Cri-1kλk-ri+1iλkiC1kλk-1i…Cri-2kλk-ri+2iC1kλk-1iλkiri×ri.

    据此可以计算出任一方阵的n次幂.

    三、线性递推数列通项的计算

    根据上述理论,对线性递推数列:a1=a,a2=b,an+2=kan+1+lan(a,b,k,l均为已知常数),可以按如下步骤求出其通项:

    (1)根据条件得

    an+2an+1=kl10an+1an

    =kl102anan-1=…=kl10na2a1

    =kl10nba.

    (2)根据矩阵论相关方法求出矩阵kl10的若当标准型λ1δ0λ2(δ=0或1).

    (3)根据若当标准型λ1δ0λ2求出可逆矩阵P使得

    P-1kl10P=λ1δ0λ2,

    从而kl10=Pλ1δ0λ2P-1,

    kl10n=Pλ1δ0λ2nP-1,

    其中λ1δ0λ2n=λn100λn2,当δ=0;λn1nλn-110λn1,当δ=1.

    (4)由an+2an+1=kl10nba=Pλ1δ0λ2nP-1ba,经计算后可得数列通项an+1.

    四、算?例

    例?给出线性递推数列:a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an,求出此数列通项.

    解?an+2an+1=2-110an+1an=2-1102anan-1

    =…=2-110na2a1=2-110n21,

    经计算可求得可逆矩阵P=1110使得

    P-12-110P=1101,

    从而

    2-110n=P1101nP-1=11101n011110-1

    =n+1-nn1-n,

    于是an+2an+1=2-110n21=n+1-nn1-n21

    =n+2n+1,

    从而an+1=n+1,

    故此数列的通项为an=n(n=1,2,…,k,…).

    五、结?语

    本文给出了一个计算线性递推数列通项的一般性方法,此方法稍加改变也可用来求含有常数项的线性递推数列:a1=a,a2=b,an+2=kan+1+lan+c(a,b,k,l,c均为已知常数)的通项,这时只需把主要步骤:an+2an+1=kl10an+1an改成an+2an+11=klc100001an+1an1即可.

    【参考文献】

    [1]徐仲,等.矩阵论简明教程:第二版[M].北京:科学出版社,2005.

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更新时间:2025/3/10 11:19:37