标题 | 计算线性递推数列通项的一个一般性方法 |
范文 | 王勇 【摘要】本文利用矩阵若当标准型理论,给出了计算线性递推数列通项的一般方法. 【关键词】若当标准型;线性递推数列;数列通项 一、引?言 根据数列的初始项和线性递推公式计算该数列的通项技巧性较强,因此,寻求解决这类问题的一般方法就很有必要. 二、若当标准型简介 定义?形如Ji=λi1λi1λiri×ri的矩阵称为ri阶若当块. 由若干个若当块构成的分块对角阵: J=J1J2Js 称为若当标准型. 定理?任一矩阵A∈Cn×n都與某一个若当标准型J相似,即存在可逆矩阵P∈Cn×n使得P-1AP=J. 由P-1AP=J得A=PJP-1,从而对任一正整数n, 有An=PJnP-1=PJ1J2JsnP-1 =PJn1Jn2Jns P-1, 其中Ji=λi1λi1λiri×ri,用数学归纳法可证得 Jki=λkiC1kλk-1iC2kλk-2i…Cri-1kλk-ri+1iλkiC1kλk-1i…Cri-2kλk-ri+2iC1kλk-1iλkiri×ri. 据此可以计算出任一方阵的n次幂. 三、线性递推数列通项的计算 根据上述理论,对线性递推数列:a1=a,a2=b,an+2=kan+1+lan(a,b,k,l均为已知常数),可以按如下步骤求出其通项: (1)根据条件得 an+2an+1=kl10an+1an =kl102anan-1=…=kl10na2a1 =kl10nba. (2)根据矩阵论相关方法求出矩阵kl10的若当标准型λ1δ0λ2(δ=0或1). (3)根据若当标准型λ1δ0λ2求出可逆矩阵P使得 P-1kl10P=λ1δ0λ2, 从而kl10=Pλ1δ0λ2P-1, kl10n=Pλ1δ0λ2nP-1, 其中λ1δ0λ2n=λn100λn2,当δ=0;λn1nλn-110λn1,当δ=1. (4)由an+2an+1=kl10nba=Pλ1δ0λ2nP-1ba,经计算后可得数列通项an+1. 四、算?例 例?给出线性递推数列:a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an,求出此数列通项. 解?an+2an+1=2-110an+1an=2-1102anan-1 =…=2-110na2a1=2-110n21, 经计算可求得可逆矩阵P=1110使得 P-12-110P=1101, 从而 2-110n=P1101nP-1=11101n011110-1 =n+1-nn1-n, 于是an+2an+1=2-110n21=n+1-nn1-n21 =n+2n+1, 从而an+1=n+1, 故此数列的通项为an=n(n=1,2,…,k,…). 五、结?语 本文给出了一个计算线性递推数列通项的一般性方法,此方法稍加改变也可用来求含有常数项的线性递推数列:a1=a,a2=b,an+2=kan+1+lan+c(a,b,k,l,c均为已知常数)的通项,这时只需把主要步骤:an+2an+1=kl10an+1an改成an+2an+11=klc100001an+1an1即可. 【参考文献】 [1]徐仲,等.矩阵论简明教程:第二版[M].北京:科学出版社,2005. |
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